2021徐州沛县高二上学期第一次学情调研数学试题含答案

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高二数学第一学期第一次质量检测命题人： 审核人：单项选择题：（每题5分，共8题）1．命题“，”的否定是 （ ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】【分析】本题直接写出命题的否定为：，，即可判断选项.【详解】解：命题“，”的否定是：，.故选：C.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，是基础题.2．设，则“”是“”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知 推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分条件，故选B．【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．3．抛物线的准线方程是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】 抛物线的准线方程为，焦点在轴上，，即，，准线方程是，故选D.4．过点，焦点在x轴上且与椭圆有相同的离心率的椭圆方程为（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】首先设所求椭圆方程为，再将代入即可得到答案.【详解】设所求椭圆方程为，将点代入可得，即，所求椭圆方程为.故选：D【点睛】本题主要考查根据椭圆的离心率求标准方程，属于简单题.5．已知向量，满足，则等于（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据向量平行坐标表示列方程，解得结果.【详解】因为，所以.故选：B【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题.6．如图，已知空间四边形，其对角线为，分别是对边的中点，点在线段上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据向量的加减法运算和数乘运算原则可表示出，进而得到结果.【详解】，，故选：【点睛】本题考查用基底表示向量，关键是能够熟练掌握向量的加减法运算和数乘运算原则.7．已知点，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别是和的离心率，点为和的一个公共点，且，若，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,焦点坐标为,由椭圆与双曲线的定义和余弦定理,可得,再由求的取值范围.【详解】设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,焦点坐标为,不妨设为第一象限的点,由椭圆与双曲线的定义得,①,,②,由余弦定理得,③联立①②③得,由,,得,,,,则,,,,,,又,,.故选:D.【点睛】本题考查椭圆､双曲线的离心率的范围,考查余弦定理和定义法的运用,需要一定的计算能力,属于中档题.8．已知点在离心率为的椭圆上，是椭圆的一个焦点，是以为直径的圆上的动点，是半径为2的圆上的动点，圆与圆相离且圆心距，若的最小值为1，则椭圆的焦距的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由圆与圆相离且圆心距，以及的最小值为1，可得圆的直径，即的长，再由在椭圆上，可得，进而可求出结果.【详解】因为是以为直径的圆上的动点，是半径为2的圆上的动点，圆与圆相离且圆心距，又的最小值为1，所以，解得，又因在椭圆上，所以，因为离心率为，所以,所以，故，所以.故选C【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，做题的关键在于，由两圆相离先确定的长，进而可根据椭圆的性质，即可求出结果，属于常考题型.二、不定项选择题：（选对得5分，漏选得3分，共4题）9．“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）A． B． C． D．【答案】BD【解析】【分析】先根据“关于的不等式对恒成立”求出的范围，再根据充分条件、必要条件的定义判定即可.【详解】解：关于的不等式对恒成立，则,解得：.选项“”是“关于的不等式对恒成立”的充要条件；选项“”是“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件；选项“”是“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件；D选项“”是“关于的不等式对恒成立”必要不充分条件.故选：.【点睛】本题考查二次不等式恒成立、充分条件和必要条件，属于基础题.10．已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的是（ ）A．M的离心率为B．M的标准方程为C．M的渐近线方程为D．直线经过M的一个焦点【答案】ACD【解析】【分析】依题意可得，再根据两条渐近线的夹角为及，即可求出双曲线的方程、离心率、渐近线及焦点坐标；【详解】解：依题意得，则，因为两条渐近线的夹角为，所以两条渐近线的倾斜角分别为，所以，所以，所以双曲线方程为，离心率，渐近线方程为，焦点坐标为、，显然直线过点；故选：ACD【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质的应用，属于基础题.11．若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中错误的是（ ）A．若为椭圆,则 B．若为双曲线,则或C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则【答案】AD【解析】【分析】就的不同取值范围分类讨论可得曲线表示的可能的类型.【详解】若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；若，方程即为，它表示圆，综上，选AD.【点睛】一般地，方程为双曲线方程等价于，若，则焦点在轴上，若，则焦点在轴上；方程为椭圆方程等价于且，若，焦点在轴上，若，则焦点在轴上；若，则方程为圆的方程.12．已知椭圆的离心率为，的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，且三条边所在直线的斜率分别，，，且，，均不为0．O为坐标原点，则（ ）A．B．直线AB与直线OD的斜率之积为-2C．直线BC与直线OE的斜率之积为D．若直线OD，OE，OF的斜率之和为1，则的值为-2【答案】ACD【解析】【分析】根据离心率可得的关系，从而可判断A正确，利用点差法可得B、C、D的正误，【详解】因为椭圆的离心率为，由得，故A正确；设，，，则，且，两式作差得，即，所以，因为AB的斜率，OD的斜率，所以，同理，，故B错误，C正确.又，同理可得，， 所以，又直线OD，OE，OF的斜率之和为1，即，所以，故D正确．故选：ACD．【点睛】本题考查椭圆基本量的计算、点差法，注意圆锥曲线中与弦的中点、弦的斜率有关的问题，一般用点差法来处理，本题属于中档题.三、填空题：（每题5分，共4题）13.设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的_________条件．（从“充分不必要条件、必要不充分条件、充分条件、既不充分也不必要”中选填一个）14．已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率为 ▲ . 15. 已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1、F2，M是双曲线上一点，若，则三角形的面积为 .【答案】16. 已知椭圆 （）与双曲线 有公共的焦点，的一条渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于两点.若 恰好将线段三等分，则=__________________.【答案】四、解答题：17．（本小题满分10分）已知命题对数（且)有意义，关于实数的不等式成立.（1）若命题为真，求实数的取值范围.（2）若命题是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）真数大于0，则；（2）若是的充分条件，则是的解集的子集，所以只需，解得.试题解析：（1）因为命题为真，则对数的真数，解得.所以实数的取值范围是.（2）因为命题是的充分条件，所以是不等式的解集的子集.因为方程的两根为1和，所以只需，解得.即实数的取值范围为.18．（本小题满分12分）（1）若点到直线的距离比它到点的距离小，求点的轨迹方程.（2）设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差绝对值等于，求曲线的标准方程.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）由抛物线的定义即可求出点的轨迹方程；（2）由题意求出椭圆的几何量，再结合双曲线的定义求解即可.【详解】解：（1）因为点到直线的距离比它到点的距离小，所以到直线的距离等于它到点的距离，由抛物线的定义知的轨迹为以为焦点的抛物线，即抛物线方程为，即点的轨迹方程为；（2）因为椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为，所以，所以，，即焦点坐标为，，又若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于，所以曲线为以，为焦点的双曲线，且实轴长为，所以的方程为.【点睛】本题考查了抛物线的定义，重点考查了双曲线的定义，属基础题.19．（本小题满分12分）已知点是抛物线C：上的点，F为抛物线的焦点，且，直线l：与抛物线C相交于不同的两点A，B.（1）求抛物线C的方程；（2）若，求k的值.【答案】（1）；（2）1或.【解析】【分析】(1)根据抛物线的定义，即可求得p值；(2)由过抛物线焦点的直线的性质，结合抛物线的定义，即可求出弦长AB【详解】（1）抛物线C：的准线为，由得：，得.所以抛物线的方程为.（2）设，，由，，∴，∵直线l经过抛物线C的焦点F，∴解得：，所以k的值为1或.【点睛】考核抛物线的定义及过焦点弦的求法20．（本小题满分12分）已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上.（1）求双曲线的方程；（2）若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依题意得到方程组，解得即可；（2）设，于是，根据平面向量数量积的坐标表示及转化为二次函数，根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：（1）依题意有又，所以，故双曲线的方程为.（2）由已知得，设，于是，因此，由于，所以当时，取得最小值，.【点睛】本题考查待定系数法求双曲线方程，平面向量的数量积以及二次函数的性质的应用，属于中档题.21. （本小题满分12分）已知椭圆内有一点P(1,1),F为右焦点，椭圆上的点M.(1)求的最大值；（2）求的最小值；（3）求使得的值最小时点M的坐标.【答案】(1),所以的最大值为 （2）==10+()=10，为椭圆的左焦点，所以的最小值为10 22.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆与直线．四点中有三个点在椭圆上，剩余一个点在直线上．（1）求椭圆的方程；（2）若动点P在直线上，过P作直线交椭圆于两点，使得，再过P作直线．证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．22．解：（1）由题意有3个点在椭圆上，根据椭圆的对称性，则点一定在椭圆上，即 ①， ……………………………………2分 若点在椭圆上，则点必为的左顶点，而，则点一定不在椭圆上，故点在椭圆上，点在直线上， …………………………4分 所以 ②， 联立①②可解得， 所以椭圆的方程为； ……………………………………6分 （2）由（1）可得直线的方程为，设， 当时，设显然， 联立则，即， 又，即为线段的中点，故直线的斜率为， ……………………………………10分 又，所以直线的方程为， …………………13分 即， 显然恒过定点；……………15分 当时，直线即，此时为x轴亦过点； 综上所述，恒过定点． ……………………………………16分