2021赣州南康中学高二上学期第二次大考数学（理）试题含答案

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南康中学2020-2021学年度第一学期高二第二次大考数 学（理）试 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ）1．直线的方程为，则直线的倾斜角为（ 　　）A． B． C． D．2．在空间直角坐标系中，已知，，则的中点到坐标原点的距离为（　　）A． B． C．2 D．33．一个长方体切去一个小长方体,所得几何体的主视图与左视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为(　　) 4．圆锥的高扩大到原来的倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积（ ）A．扩大到原来的倍 B．缩小到原来的一半 C．缩小到原来的 D. 不变 5．等比数列，满足，且，，则（ ）A．31　　　　　 B．36　　　 C．42　 　　　 D．486．在棱长为1的正方体中，分别是和的中点，则直线与所成角的余弦值为(　 　)A． B． C． D．7．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是 (　　) A． 36 B． 18 C． 5eq \r(2) D． 6eq \r(2)8．在中，角，，的对边分别为，，，若，则为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形9. 已知空间中不同直线和不同平面、，下面四个结论：①若互为异面直线，，，，，则；②若，，，则；③若，，则；④若，，，则.其中正确的是（ ）A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①③10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A． B． C． D．11．已知正方体的棱长为1，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的表面上，且∥平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是（  ）A． B． C． D．12．如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成 （平面）．若、分别为线段、的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A．与平面垂直的直线必与直线垂直 B．异面直线与所成角是定值C．一定存在某个位置，使D．三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上的相应位置）13．已知向量，若向量与垂直，则 .14．如图,为水平放置的斜二测画法的直观图，且,则的周长为 .15．在平面直角坐标系中，若圆C：上存在两点A、B满足：，则实数a的最大值是 .16．已知边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）17．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点．（1）求证：；（2）求证：平面．18．（本小题满分12分） 在中，．（ = 1 \* ROMAN I）求的大小；（ = 2 \* ROMAN II）求的最大值．19．（本小题满分12分）设数列的前n项和为，且，,n∈N*．（ = 1 \* ROMAN I）求数列的通项公式；（ = 2 \* ROMAN II）设，求数列的前项和．20．（本小题满分12分）如图所示，正三棱柱的高为2，点是的中点，点是的中点. （1）证明：平面；（2）若三棱锥的体积为，求该正三棱柱的底面边长.21．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，，平面，，，，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.22．（本小题满分12分）如图，在直角坐标系中，圆与轴负半轴交于点，过点的直线，分别与圆交于两点,设直线的斜率分别为. （1）若，求△的面积； （2）若，求证：直线过定点.南康中学2020-2021学年度第一学期高二第二次大考数学（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上的相应位置）13. 7 14. 15. 16. 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）17.解: （1）直三棱柱，面，，又，，，，，，面，．----------5分（2）取的中点，连结和，，且，四边形为平行四边形，，面，，且，四边形为平行四边形，，面，，面面，平面．----------10分 18.解: （1），又∵，∴......................6分（2）由（1）知 ............................ 10分因为，所以当时，取得最大值.................................12分 19.解:（1）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn﹣1+1（n≥2），两式相减得an+1﹣an=2an即an+1=3an（n≥2）．又a2=2S1+1=3，所以a2=3a1．故{an}是首项为1，公比为3的等比数列．所以an=3n﹣1． ................................................................5分（2）因为 ，所以．则，两式相减得：． 所以=．...........................................................12分20. 解：（1）如图，连接，因为是的中点，是的中点， 所以在中，, 平面， 平面， 所以平面. -------------5分（2）由等体积法，得，因为是的中点，所以点到平面的距离是点到平面的距离的一半.如图，作交于点，由正三棱柱的性质可知，平面.设底面正三角形的边长，则三棱锥的高， ------------9分 ,所以，解得，所以该正三棱柱的底面边长为. -------------12分21.解：(1)在中，.所以，所以为直角三角形，. -------------3分又因为平面，所以.而，所以平面. -------------5分(2)(方法一)如图延长，相交于，连接，则平面平面.二面角就是平面与平面所成二面角.因为，所以是的中位线.，这样是等边三角形.取的中点为，连接，因为平面.所以就是二面角的平面角. -------------10分在，所以. -------------12分(方法二)建立如图所示的空间直角坐标系，可得..设是平面的法向量，则令得. -------------9分取平面的法向量为. -------------10分设平面与平面所成二面角的平面角为，则，从而. -------------12分22.解:（1）由题知，得直线AM的方程为，直线AN的方程为所以，圆心到直线AM的距离，所以，，-------------3分由题知，所以AN⊥AM，，-----------5分（2）方法一:由题知直线AM的方程，直线AN的方程为联立方程，所以，得或 所以，-------------7分同理，，-------------8分所以直线为 即，得，所以直线恒过定点．-------------12分 方法二:由知直线的斜率不为0,设直线的方程为,联立 得且 -------------7分, 又 即 -------------9分化简整理得,解得或(舍去) -------------11分直线的方程为,故直线恒过定点 -------------12分题号123456789101112答案AADBABDDDACC