2021张家口宣化区宣化一中高二上学期9月月考数学试卷含答案

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一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 为了研究某班学生的脚长单位：厘米和身高单位：厘米的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，，，该班某学生的脚长为24厘米，据此估计其身高为厘米．

A. 160 B. 163 C. 166 D. 170

2. 如图茎叶图记录了在一次数学模拟考试中甲、乙两组各五名学生的成绩单位：分已知甲组数据的中位数为106，乙组数据的平均数为，则x，y的值分别为    
   
    

A. 5，7 B. 6，8 C. 6，9 D. 8，8

3. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列两个事件是对立事件的是

A. “至少1名男生”与“至少1名女生”
B. “恰好1名男生”与“恰好2名女生”
C. “至少1名男生”与“全是男生”
D. “至少1名男生”与“全是女生”

4. 已知，则

A. 2015 B.  C. 2016 D.

5. 已知条件p：；条件q：直线与圆相切，则是的　　

A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 有5支彩笔除颜色外无差别，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为    

A.  B.  C.  D.

7. 直线的倾斜角的取值范围是

A.  B.
C.  D. ，

8. 已知函数，则的图象大致为         

A.  B.
C.  D.

9. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号1，2，，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为29，则抽到的32人中，编号落入区间的人数为    

A. 7 B. 9 C. 10 D. 12

10. 若函数在上是单调函数，则a的取值范围是

A.  B.
C.  D.

11. 给出如下四个命题：
    若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；
    命题“若，则”的否命题为“若，则”；
    “，”的否定是“，”；
    在中，“”是“”的充要条件．
    其中正确的命题的个数是       

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

12. 已知函数的定义域为，且满足是的导函数，则不等式的解集为    

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是______．
14. 设抛物线C：的焦点为F，M为抛物线C上一点，，则的取值范围为______．
15. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，若，则双曲线的离心率为______ ．
16. 一束光线从点出发，经x轴反射到圆C：上的最短路径的长度是______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：．
    若p为真命题，求实数m的取值范围；
    若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
18. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量单位：吨，将数据按照，，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
    求直方图中的a值；
    设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；
    根据直方图估计这组数据的众数，中位数保留两位小数．

19. 已知椭圆C：的离心率为，，，，的面积为1．
    Ⅰ求椭圆C的方程；
    Ⅱ设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点求证：为定值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 设有关于x的一元二次方程．
    若a是从0，1，2三个数中任取的一个数，b是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
    若a是从区间任取的一个数，b是从区间任取的一个数，求上述方程有实数的概率．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知函数
    当时，求曲线在处的切线方程；
    讨论的单调性．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：，抛物线C：．
    若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
    已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．
    求证：线段PQ的中点坐标为；
    求p的取值范围．
    
     

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查回归直线方程的求法及回归直线方程的应用，属于基础题．
由数据求得样本中心点，由回归直线方程必过样本中心点，代入即可求得，将代入回归直线方程即可估计其身高．
【解答】
解：，则线性回归方程为，
则，，
则数据的样本中心点，
由回归直线方程过样本中心点，得，
回归直线方程为，
当时，，
则估计其身高为166厘米．
故选C．
2.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．
根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，即可求出x、y的值．
【解答】
解：根据茎叶图中的数据，得；
甲组数据的中位数为106，
；
又乙组数据的平均数为，
，
解得；
综上，x、y的值分别为6、8．
故选B．
3.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
逐项分析选项中两个事件的关系．
【解答】
解：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，
在A中，“至少1名男生”与“至少有1名是女生”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
在B中，“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件，故B错误；
在C中，“至少1名男生”与“全是男生”能同时发生，不是互斥事件，故C错误；
在D中，“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件，故D正确．
故选D．
4.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了导数的运算，以及函数的值．运用求导法则得出函数的导函数，属于基础题．
对函数的解析式求导，得到其导函数，把代入导函数中，列出关于的方程，进而得到的值．
【解答】
解：，
则，
则，
则，
故选B．
5.【答案】B
 

【解析】解：根据题意，若直线与圆相切，
则有，
解可得，
若有，则有直线与圆相切，而直线与圆相切，不一定有，
故条件p：是条件q：直线与圆相切成立的充分不必要条件，
则是的必要不充分条件，
故选：B．
根据题意，先求出直线与圆相切时k的值，进而分析可得条件p是条件q的充分不必要条件，结合充要条件的性质可得是的必要不充分条件，即可得答案．
本题考查充分、必要条件的判定，关键是依据直线与圆的位置关系求出k的值．
6.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查古典概型的计算，属于基础题．
利用古典概型求概率即可．
【解答】
解：从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同的取法：
红，黄，红，蓝，红，绿，红，紫，黄，蓝，黄，绿，黄，紫，蓝，绿，蓝，紫，绿，紫．
而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红，黄，红，蓝，红，绿，红，紫，共4种，
故所求概率．
故选C．
7.【答案】B
 

【解析】解：直线的斜率为，
，
倾斜角的取值范围是
故选：B．
由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围．
本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题．
8.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题主要考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的图象判断，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．
利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．
【解答】
解：令，则，
因为，
由，得，即函数在上单调递增，
由，得，即函数在上单调递减，
所以当时，函数有最小值，，
于是对任意的，有，
则，故排除B、D，
因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，故排除C．
故选A．
9.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查系统抽样的应用，转化为等差数列是解决本题的关键．
根据系统抽样的定义先确定每组人数为人，即抽到号码的公差，然后根据等差数列的公式即可得到结论．
【解答】
解：根据系统抽样的定义先确定每组人数为人，
设抽到的号码数从小到大排列形成等差数列，
即抽到号码的公差，
第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为29，
等差数列的首项为29，
则抽到号码数为，
由，
得，
即编号落入区间的人数为10人．
故选：C．
10.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
求出，由题意可得：或在上恒成立，分类讨论进行求解即可．
【解答】
解：由题意得，，
因为在上是单调函数，
所以或在上恒成立，
当时，则在上恒成立，
即：当时，恒成立，
设，
因为，所以，
当时，取到最大值，
所以；
当时，则在上恒成立，
即：当时，恒成立，
设，
因为，所以，
当时，取到最小值，
所以，
综上可得，或，
所以实数a的取值范围是，
故选B．
11.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题以命题的真假判断与应用为载体考查了复合命题，四种命题，命题的否定，充要条件等知识点，属于中档题．
根据复合命题真假判断的真值表，可判断；根据四种命题的定义，可判断；根据全称命题的否定，可判断；根据充要条件的定义及三角形正弦定理，可判断．
【解答】
解：若“p且q”为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但不一定均为假命题，故错误；
命题“若，则”的否命题为“若，则”，故正确；
“，”的否定是“，”，故正确；
在中，，
故“”是“”的充要条件，故正确．
故选C．
12.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查不等式的求解，考查利用导数判断函数的单调性，属于中档题．
根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可．
【解答】
解：设，则，
，
，即在上为增函数，
，
不等式等价于，
即，
即，
在上为增函数，
，解得，即，
故不等式的解集为．
故选D．
13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了存在量词命题的否定及真假判定，属于基础题．
命题“，”是假命题，则“，”是真命题，从而可解．
【解答】
解：命题“，”是假命题，
则“，”是真命题，
，解得，
实数a的取值范围是，
故答案为．
14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了抛物线的性质，是基础题．
根据抛物线定义可知，判断出当直线MN垂直抛物线准线时，最小，即可求出的取值范围．
【解答】
解：抛物线C：的焦点为，准线，
根据抛物线定义可知，
易知在抛物线C：的内部，
当直线MN垂直抛物线准线时，最小，为，
的取值范围为．
故答案为．
15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和定义法，以及余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，运用双曲线的定义和条件可得，，，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．
【解答】
解：设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，
由双曲线的定义可得，
由，可得，，，
由可得，
在中，由余弦定理可得：
，
即有，
化简可得，，
则双曲线的离心率．
故答案为．
16.【答案】4
 

【解析】

【分析】
本题考查反射定理的应用，一个点关于直线的对称点的方法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．
求出点A关于x轴的对称点，则要求的最短路径的长为圆的半径，计算求得结果．
【解答】
解：由题意可得圆心，半径为，点A关于x轴的对称点，

求得，
则要求的最短路径的长为，
故答案为：4．
17.【答案】解：若p为真命题，则应有，
解得．
若q为真命题，则有，即，
因为为真命题，为假命题，
则p，q应一真一假．
当p真q假时，有，得；
当p假q真时，有，无解．
综上，m的取值范围是．
 

【解析】若p为真命题，则应有，解得实数m的取值范围；
若为真命题，为假命题，则p，q应一真一假，进而实数m的取值范围．
本题以命题的真假判断与应用为载体，考查的知识点是复合命题，指数函数的图象和性质，难度中档．
18.【答案】解：，整理可得：，
解得：．
估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为万，理由如下：
由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为，
又样本容量万，
则样本中月均用水量不低于3吨的户数为万．
众数是，根据频率分布直方图，得；，
，
中位数应在组内，设出未知数x，
令，
解得；
中位数是．
 

【解析】先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率，再根据直方图的总频率为1求出a的值；
根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率，结合样本容量为30万，进而得解．
根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值．
本题用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积组距，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．
19.【答案】解：Ⅰ由题意可得，
又的面积为1，可得，
且，
解得，，，
可得椭圆C的方程为；
Ⅱ设椭圆上点，
可得，，
当时，
直线PA：，令，可得，
则；
直线PB：，令，可得，
则
可得

，
当时，由题意得，则，
则为定值4．
 

【解析】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和基本量的关系，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
Ⅰ运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得，，进而得到椭圆方程；
Ⅱ设椭圆上点，可得，当时，求出直线PA的方程，令，求得y，；求出直线PB的方程，令，可得x，，化简整理，即可得到为定值4，当时也满足．
20.【答案】解：设事件A为“方程有实根”．
当，时，方程有实根的充要条件为，即，
由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：

其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含6个基本事件，
事件A发生的概率为；
由题意知本题是一个几何概型，
试验的全部结束所构成的区域为，
满足条件的构成事件A的区域为，，
所求的概率是．
 

【解析】首先分析一元二次方程有实根的条件，得到
本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率．
本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为，，满足条件的构成事件A的区域为，，，根据概率等于面积之比，得到概率．
本题考查古典概型及其概率公式，考查几何概型及其概率公式，本题把两种概率放在一个题目中进行对比，得到两种概率的共同之处和不同点．
21.【答案】解：当时，，
，
，，
曲线在处的切线方程为：；
，
若，，在上递增；
若，当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
 

【解析】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性以及导数的应用，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．
代入a的值，求出函数的导数，计算，，求出切线方程即可；
求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．
22.【答案】解：：，与x轴的交点坐标，
即抛物线的焦点坐标．
，
抛物线C：．
证明：设点，，则：，
即：，，
又，Q关于直线l对称，，即，，
又PQ的中点在直线l上，，
线段PQ的中点坐标为；
因为Q中点坐标．
，即，
，即关于，有两个不相等的实数根，
，，
．
 

【解析】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．
求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．
设点，，通过抛物线方程，求解，通过P，Q关于直线l对称，点的，推出，PQ的中点在直线l上，推出，即可证明线段PQ的中点坐标为；
利用线段PQ中点坐标，推出，得到关于，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p的范围．