2020运城临晋中学高二下学期期末考试数学（理）试卷含答案

这是一份2020运城临晋中学高二下学期期末考试数学（理）试卷含答案

数学试题（理） （本试卷满分150分，考试时间120分钟答案一律写在答卷页上）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）１.已知复数z满足(1＋i)z＝2，则复数z的虚部为(　　)A.1 B.－1 C.i D.－i ２.已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝0.15，则P(2≤ξ＜4)等于(　　)A.0.3　　　 B.0.35 C.0.5 D.0.73.现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为( ).A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,4) C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,2)4. 下面几种推理中是演绎推理的为 （ ） A.由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电； B.猜想数列的通项公式为； C.半径为圆的面积，则单位圆的面积； D.由平面直角坐标系中圆的方程为，推测空间直角坐标系中球的方程为 ．5.已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝(　　)A.eq \f(12－8ln 2,1－2ln 2) B.eq \f(2,1－2ln 2) C.eq \f(4,1－2ln 2) D．－26.我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(n)的表达式　( )　A．f(n)＝2n－1 B．f(n)＝2n2C．f(n)＝2n2－2n D．f(n)＝2n2－2n＋1７.已知函数f(x)＝x2＋2cos x，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的大致图象是(　)８.设函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)A．(1,2] B．(4，＋∞) C．(－∞，2) D．(0,3]９.在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务.已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处.那么不同的搜寻方案有(　　)A.10种 B.40种 C.70种 D.80种10．若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为(　　)A.1或3 B.－3 C.1 D.1或－311.将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有(　　)A.1 108种 B.1 008种 C.960种 D.504种12.曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋8＝0的最短距离是(　　)A．2eq \r(5) B．2 C．2eq \r(3) D.eq \r(3)二、填空题（本题共4小题，每题5分）13.设函数．若在处取得极值，则=___________14.曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为________15.已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项是第________项。.16.设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0, 当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________.三、解答题（本题共6小题，共70分）17.（本小题10分）在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为sinθ=ρcos2θ,曲线C2的参数方程为(t为参数),若曲线C1与C2相交于A、B两点.(1)求曲线C1、C2的直角坐标方程;(2)求点M(-1,2)到A、B两点的距离之积.18、（本小题12分）某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定；每选对1道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．(1)求该考生本次测验选择题得50分的概率；(2)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．19、（本小题12分）某地区2013年至2019年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：(1)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2013年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：,20.（本小题12分）为了解心肺疾病是否与年龄相关，现随机抽取了40名市民，得到数据如下表：已知在全部的40人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率为eq \f(2,5).(1)请将2×2列联表补充完整；(2)已知大于40岁患心肺疾病市民中，经检查其中有4名重症患者，专家建议重症患者住院治疗，现从这16名患者中选出两名，记需住院治疗的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；(3)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关？下面的临界值表供参考：(参考公式：K2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d)21.（本小题12分）已知f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．22.（本小题12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 数学答案(理科)一、选择题1-6 BBDCCD 7-12AABDBA二、填空题 13.0 14.4－2ln 2 15.8和9 16. (－∞，－1)∪(0,1)　17、解:(1)由曲线C1的极坐标方程可得曲线C1的直角坐标方程为y=x2,…2分由曲线C2的参数方程可得曲线C2的普通方程为x+y-1=0, ……4分（2）将曲线C2的参数方程(t为参数),代入曲线C1的普通方程得t2+t-2=0, ……6分设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,∴t1+t2=-, t1t2=-2, ……8分可得|MA|·|MB|=|t1t2|=2. ……10分(1)设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，则P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(1,3).该考生选择题得50分的概率为P(A)·P(A)·P(B)·P(B)＝(eq \f(1,2))2×(eq \f(1,3))2＝eq \f(1,36). ……4分(2)该考生所得分数X＝30，35，40，45，50， ……5分 P(X＝30)＝(eq \f(1,2))2×(1－eq \f(1,3))2＝eq \f(1,9)，P(X＝35)＝C21(eq \f(1,2))2·(eq \f(2,3))2＋(eq \f(1,2))2·C21·eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，P(X＝40)＝(eq \f(1,2))2×(eq \f(2,3))2＋C21·(eq \f(1,2))2·C21·eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＋(eq \f(1,2))2×(eq \f(1,3))2＝eq \f(13,36)，P(X＝45)＝C21(eq \f(1,2))2·(eq \f(1,3))2＋(eq \f(1,2))2·C21·eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,6)，P(X＝50)＝(eq \f(1,2))2×(eq \f(1,3))2＝eq \f(1,36). ……10分该考生所得分数X的分布列为 ……11分所以E(X)＝30×eq \f(1,9)＋35×eq \f(1,3)＋40×eq \f(13,36)＋45×eq \f(1,6)＋50×eq \f(1,36)＝eq \f(115,3)分. ……12分19解析　(1)由所给数据计算，得eq \o(t,\s\up3(－))＝eq \f(1,7)×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4， ……1分eq \o(y,\s\up3(－))＝eq \f(1,7)×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3， ……2分eq \o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))(ti－eq \o(t,\s\up3(－)))2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28eq \o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))(ti－eq \o(t,\s\up3(－)))(yi－eq \o(y,\s\up3(－)))=＝（－3）×（－1.4）＋（－2）×（－1）＋（－1）×（－0.7）＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14,eq \o(b,\s\up3(∧))=eq \f(\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1)) （ti－\o(t,\s\up3(－))）（yi－\o(y,\s\up3(－))）,\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1)) （ti－\o(t,\s\up3(－))）2)＝eq \f(14,28)＝0.5， ……5分eq \o(a,\s\up3(∧))＝eq \o(y,\s\up3(－))－eq \o(b,\s\up3(∧))eq \o(t,\s\up3(－))＝4.3－0.5×4＝2.3. ……6分所求回归方程为eq \o(y,\s\up3(∧))＝0.5t＋2.3. ……7分(2)由(1)知，eq \o(b,\s\up3(∧))＝0.5>0，故2013年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元． ……9分将2021年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得eq \o(y,\s\up3(∧))＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入约为6.8千元． ……12分20、解析　(1)……2分(2)ξ可以取0，1，2，P(ξ＝0)＝eq \f(C122,C162)＝eq \f(66,120)＝eq \f(11,20)，P(ξ＝1)＝eq \f(C41C121,C162)＝eq \f(48,120)＝eq \f(2,5)，P(ξ＝2)＝eq \f(C42,C162)＝eq \f(6,120)＝eq \f(1,20)，故ξ的分布列为E(ξ)＝0×eq \f(11,20)＋1×eq \f(2,5)＋2×eq \f(1,20)＝eq \f(1,2). ……8分 (3)K2＝eq \f(40×（16×12－8×4）2,20×20×24×16)≈6.667>6.735，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关． ……12分21、解：(1)∵函数f(x)＝xln x的定义域是(0，＋∞)，∴f′(x)＝ln x＋1.令f′(x)＜0，得ln x＋1＜0，解得0＜x＜eq \f(1,e)， ∴f(x)的单调递减区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e))).令f′(x)＞0，得ln x＋1＞0，解得x＞eq \f(1,e)，∴f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞)).综上，f(x)的单调递减区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))，单调递增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞)). ……4分(2)∵g′(x)＝3x2＋2ax－1,2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，∴2xln x≤3x2＋2ax＋1恒成立．∵x＞0，∴a≥ln x－eq \f(3,2)x－eq \f(1,2x)在x∈(0，＋∞)上恒成立． ……6分设h(x)＝ln x－eq \f(3,2)x－eq \f(1,2x)(x＞0)，则h′(x)＝eq \f(1,x)－eq \f(3,2)＋eq \f(1,2x2)＝－eq \f(x－13x＋1,2x2).令h′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－eq \f(1,3)(舍去)．当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：∴当x＝1时，h(x)取得极大值，也是最大值，且h(x)max＝h(1)＝－2，∴若a≥h(x)在x∈(0，＋∞)上恒成立，则a≥h(x)max＝－2，故实数a的取值范围是[－2，＋∞)． ……12分 22、解：(1)依题意，得p1＝P(40＜X＜80)＝eq \f(10,50)＝0.2，p2＝P(80≤X≤120)＝eq \f(35,50)＝0.7，p3＝P(X＞120)＝eq \f(5,50)＝0.1.由二项分布可知，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为P＝Ceq \o\al(0,4)(1－p3)4＋Ceq \o\al(1,4)(1－p3)3p3＝(0.9)4＋4×(0.9)3×0.1＝0.947 7 .……4分(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元).①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000(万元) .……5分②安装2台发电机的情形.依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y＝5 000－800＝4 200，因此P(Y＝4 200)＝P(40＜X＜80)＝p1＝0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2＝10 000，因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下：所以E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840(万元). ……8分 ③安装3台发电机的情形.依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y＝5 000－1 600＝3 400，因此P(Y＝3 400)＝P(40＜X＜80)＝p1＝0.2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2－800＝9 200，因此P(Y＝9 200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；当X＞120时，三台发电机运行，此时Y＝5 000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X＞120)＝p3＝0.1，由此得Y的分布列如下：所以E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620(万元). …11分综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台. …12分年份2013201420152016201720182019年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9患心肺疾病不患心肺疾病合计大于40岁16小于等于40岁12合计40P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001K2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828年入流量X40＜X＜8080≤X≤120X＞120发电机最多可运行台数123X3035404550Peq \f(1,9)eq \f(1,3)eq \f(13,36)eq \f(1,6)eq \f(1,36)患心肺疾病不患心肺疾病合计大于40岁16420小于等于40岁81220合计241640ξ012Peq \f(11,20)eq \f(2,5)eq \f(1,20)x(0,1)1(1，＋∞)h′(x)＋0－h(x)极大值Y4 20010 000P0.20.8Y3 4009 20015 000P0.20.70.1