2020竹溪一中、竹山一中、房县一中三校高二下学期7月联考数学试题含答案

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十堰市2020年春季高二年级南三县联考  数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．已知集合A=，B=，则A∩B中元素的个数为（ ）A．3 B．2 C．1 D．0若，则（ ）A. B. C. D.3. 若，则（ ）A. B. C. D. 4．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）A． B． C．对任意正数， 第4题图D．对任意正数，5．函数的图像大致为（ ） 6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A．12种 B．18种 C．24种 D．36种7．已知， ， ，则（ ）A. B. C. D.8．的展开式中，的系数是20，则（ ）A.2 B.-1 C.4 D.19．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为（ ）A．-24 B．-3 C．3 D．810．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16 B．14 C．12 D．1011．若在是减函数，则的最大值是（ ）A． B． C． D．12.设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（ ）A.[-，1） B.[- QUOTE ， QUOTE ） C.[ QUOTE ， QUOTE ） D.[ QUOTE ，1）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．曲线在点处的切线的斜率为，则 ．14．记为数列的前项和．若，则 .15. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝ .16．已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则C的离心率为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，的面积为，求．18.（12分）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位：分钟)进行调查，将收集的数据分成[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]六组，并作出频率分布直方图(如图)，将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.(1)请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？(2)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 附：K2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).19. （12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束.求；求事件“且甲获胜”的概率.20．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．21．（12分）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．⑴当与轴垂直时，求直线的方程；⑵设为坐标原点，证明：．22.（12分）已知函数.讨论的单调性；是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.竹房三县一中2018级高二下学期数学联考测试卷（参考答案）13． -3 14．-63 15． 0.25 16． 17．【解析】：（1）由题设及，故上式两边平方，整理得 ………………………4解得 ………………………5（2）由，故 又 ………………………7由余弦定理及得所以b=2 ………………………1018．【解析】(1)由题意得“课外体育达标”人数为200×[(0.02＋0.005)×10]＝50，则“课外体育不达标”人数为150，∴列联表如下： ……………4∴K2＝eq \f(200×（60×20－30×90）2,90×110×150×50)＝eq \f(200,33)≈6.061<6.635 .……………6∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关.(2)由题意采用分层抽样在“课外体育达标”的学生中抽取2人，在“课外体育不达标”的学生中抽取6人，由题意知：ξ的所有可能取值为1，2，3，P(ξ＝1)＝eq \f(Ceq \o\al(1,6)Ceq \o\al(2,2),Ceq \o\al(3,8))＝eq \f(6,56)＝eq \f(3,28)；P(ξ＝2)＝eq \f(Ceq \o\al(2,6)Ceq \o\al(1,2),Ceq \o\al(3,8))＝eq \f(30,56)＝eq \f(15,28)；P(ξ＝3)＝eq \f(Ceq \o\al(3,6),Ceq \o\al(3,8))＝eq \f(20,56)＝eq \f(5,14)；故ξ的分布列为 ……………10故ξ的数学期望为E(ξ)＝1×eq \f(3,28)＋2×eq \f(15,28)＋3×eq \f(5,14)＝eq \f(9,4) .……………1219．【解析】(1)时，有两种可能：①甲连赢两局结束比赛，此时； .……………3②乙连赢两局结束比赛，此时， .……………5∴； .……………6且甲获胜，即平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为. .……………1220．【解析】（1）由题设可得，又是直角三角形，所以取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO又由于所以 .……………5（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则 .……………6由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E.故设是平面DAE的法向量，则可取 .……………9设是平面AEC的法向量，则同理可得则所以二面角D-AE-C的余弦值为 .……………1221．【解析】（1）如图所示，将代入椭圆方程得，得，∴，∴，∴直线的方程为：. …………………4证明：当斜率不存在时，由（1）可知，结论成立；当斜率存在时，设其方程为，，联立椭圆方程有即， …………………6∴ …………………7 …………………8，∴ ，∴ .…………………1222．【解析】(1) 当时，，此时在单调递增.当时，令，解得或，令，解得.此时在单调递增，在单调递减.当时，令，解得或，令，解得.此时在单调递增，在单调递减.综上可得，当时，在单调递增.当时，在单调递增，在单调递减.当时，在单调递增，在单调递减. .…………………6由（1）中结论可知，当时，在单调递增，此时，∴，满足题意.当时，若，即，则在单调递减，此时，∴，满足题意.若，即，则在单调递减，在单调递增.此时∵∴当时，，由可得，与矛盾，故不成立.当时，，由可得，与矛盾，故不成立.综上可知，或满足题意. .…………………12课外体育不达标课外体育达标合计男60女110合计P(K2≥k0)0.150.050.0250.0100.0050.001k02.0723.8415.0246.6357.87910.828123456789101112BDCCBBCBAAAD课外体育不达标课外体育达标合计男603090女9020110合计15050200ξ123Peq \f(3,28)eq \f(15,28)eq \f(5,14)