2020北流实验中学高二下学期期中考试数学（理）试题含答案

2020年春季期高中二年级期中联考质量评价检测

数学（理科）

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知,，则M（     ）

    A.  B.  C.        D.

2.复平面内，复数的虚部为（     ） 

    A   B. C. 1 D.

3. 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得知5户家庭收入的平均值万元，支出的平均值万元，根据以上数据可得线性回归方程为 ，其中 ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（     ）

A．11．4万元    B．11．8万元     C．12．0万元     D．12．2万元

4. 记为等差数列的前项和．若，，则 的公差为（    ）

A．1             B．2             C．4              D．8

5.已知函数，其中，则（     ）

A．2       B．4　　　　　    C．6          D．7

6.要得到的图象，只需将的图象（      ）

A.向左平移个单位            B.向右平移个单位

C.向左平移个单位            D.向右平移个单位

7.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆C:上，则面积的最大值是（    ）

A．6        B．         C． 2      D．

8.设数列的前项和为．若，，，则=（     ）．

A.  242        B.  121         C.  62       D.  31

9.已知某几何体的三视图（如图），其中俯视图和侧（左）视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正（主）视图为直角梯形，则几何体的体积V的大小为（     ）

   A.  B.         C. 12        D. 16

10.球的表面上有三点，，，过，和球心O作截面，截面圆中劣弧长，已知该球的半径为，则球心0到平面的距离为（     ）

A.  1            B.  2          C.         D.

11．已知,是双曲线：的左、右焦点，点在上，与轴垂直，,则双曲线的离心率为（      ）

A．2          B． 2          C．          D．

12.已知偶函数y= f (x)对于任意的x满足f(x)cosx＋f(x)sinx>0(其中f (x)是函数f (x)的导函数），则下列不等式中不成立的是（      ）

二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量,则向量的夹角为              

14. 若实数x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值是       

15的展开式的常数项是         

16.七位同事（四男三女）轮值办公室每周的清洁工作，每人轮值一天，其中男同事甲必须安排周日清洁，且三位女同事任何两位的安排不能连在一起，则不同的安排方法种数是

         （用数字作答）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17. （本小题满分12分）

在锐角的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知.

（1）求角的大小；

（2）若的面积为，求b．

18．（本小题满分12分）

 甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两名同学射击的命中率分别为和p，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为，假设甲、乙两人射击互不影响．

(1)求p的值；

(2)记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为X，求X的分布列和均值E(X)．

19.（本小题满分12分）

如图，四面体ABCD中，△ABC是边长为2的正三角形，△ACD是直角三角形，

∠ABD=∠CBD，AB=BD。（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）若过AC的平面交BD的中点E，求二面角D–AE–C的余弦值．

20、（本小题满分12分）

已知椭圆E:的一个顶点为，离心率为．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设A， B分别为椭圆的左、右顶点， 过左焦点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点． 若， 求k的值．

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)=ax＋ln(x－1)，其中．

   （1）试讨论f (x)的单调区间，

    (2)若时，存在x使得不等式成立，求b的取值范围．

请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分

22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

已知圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为

       （t为参数）.

(1) 把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2) 求直线l被圆C截得的线段AB的长.

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

    已知函数f(x)=｜3x+2｜

    （1）解不等式，

     （2）已知m+n=1(m,n>0)，若恒成立，求实数a的取

值范围．

2020年春季期高中二年级期中联考质量评价检测

理科数学参考答案

一、选择题：

1.

2.

3.

4.由已知得：

5.

6.

二、填空题：13、     14、  16      15、  3     16、  144

16.先安排男同事在星期日轮值有，其余3位男同事作全排列有，后3位女同事插空安排

有，分步完成共有方法种数为：=144

三、解答题：

17(1) (1) 由题设及正弦定理得：．.……… 2分

因为，所以．.… 3分

，因此．.……… 5分

(2) 的面积为，.……… 7分

又，；.                 ……… 8分

由已知及余弦定理得：……10分

. =7        ……12分

18解：(1)设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件，.………1 分      则P(A)＝，P()＝，P(B)＝p，P()＝1－p.        .………3 分

依题意得(1－p)＋p＝，                          .……… 4分       

解得p＝，故p的值为.                            .……… 5分

(2)由已知X的取值分别为0,2,4.  且P（B）=   ，P() =                     .……… 6分

P(X＝0)＝P( )＝P()P()＝×＝，         .……… 7分

P(X＝2)＝，                                   .……… 8分

P(X＝4)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝，             .……… 9分

∴X的分布列为

          .……… 10分

∴E(X)＝0×＋2×＋4×＝.           .……… 12分 

 19.解：（1）由题设易知：

又是直角三角形，所以且AD=DC= ……… 1分

取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC且DO=1，……… 2分

又由于且BO=……… 3分

又.……… 4分

            ……… 5分

所以平面ACD⊥平面ABC；.……… 6分

（2）由题设及（1）知，建立如图所示的空间直角坐标系，则

，     ……… 7分

故     

设是平面DAE的法向量，则

可取       ……… 8分

设是平面AEC的法向量，则同理可得……… 9分

则，……… 11分

所以二面角D-AE-C的余弦值为……… 12分

20解解(1)   .……… 2分  .……… 3分

所以椭圆的方程为     .……… 4分

(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由（1）得F(－1,0)，所以直线CD的方程为y＝k(x＋1)，

由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0. .……… 6分

求解可得x1＋x2＝，x1x2＝          ..……… 7分

因为A(，0)，B(，0)，

所以·＋·

＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1) ..……… 8分

＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)

＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2                        ..……… 9分

＝．                       ..……… 10分

由已知得＝8，解得k＝．  ..……… 12分

21.解：（1）由已知得函数的定义域为

       =                 .……… 1分

当时，在定义域内恒成立，的单调增区间为，.…2分

当时，由得                    

当时，；.……… 3分

当时，.……… 4分

的单调增区间为，减区间为              .……… 5分

（2）由（1）知当时，的单调增区间为，减区间为.

所以                       ……… 6分

所以恒成立，当时取等号.

令=，则                      ……… 7分

当时，；当时，

从而在上单调递增，在上单调递减

所以，                               ……… 10分

所以，存在使得不等式成立

只需

即：                                        ……… 12分

22解：（1）由可得，----2分

         ∴圆C的直角坐标方程为 - -------------4分

                 -----------------4分

  （2）直线的参数方程（t为参数）代入化简得： ---------6分，---------7分

      据t的几何意义得：

        -------------9分

                   -------------10分

23解：（1）不等式，即，.……… 1分

当时，即  解得.……… 2分

当时，即  解得.……… 3分

当时，即无解，.……… 4分

综上所述                         .……… 5分

（2），.……… 6分

令.……… 8分

时，，要使不等式恒成立，……… 9分

只需即.    ……… 10分