2020新余一中高二下学期第一次段考数学（理）试题含答案

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2019-2020学年新余一中高二下学期第一次段考数学试卷一、选择题 共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知复数满足（为虚数单位），则共轭复数等于（ ） A. B. C. D. 2．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是（ ）A． B．C． D．3．设，，则三个数（ ）A．都小于4 B．至少有一个不大于4 C．都大于4 D．至少有一个不小于44．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．5．已知点和，动点满足，则点的轨迹方程是（ ）A． B．C． D．6．过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦,则（ ）A． B． C． D．7．已知椭圆：的右焦点为，短轴的一个端点为，直线：交椭圆于，两点，若，点与直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A． B． C． D．8．已知，，对任意，不等式恒成立，则m的取值范围为（ ）A． B． C． D．9．设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为,则角的取值范围是（ ）.A． B． C． D．10．已知是双曲线上的三个点，经过坐标原点，经过双曲线右焦点，若且，则该双曲线的离心率是（ ）A． B． C． D．11．下列命题中正确命题的个数是（ ）(1)若函数的定义域关于原点对称,则为偶函数的充要条件为对任意的都成立；(2)若函数的定义域关于原点对称,则“”是“为奇函数”的必要条件；(3)函数对任意的实数都有则在实数集上是增函数；(4)已知函数在其定义域内有两个不同的极值点，则实数的取值范围是A．1 B．2 C．3 D．412． ， ，， ， ， A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题 共4小题，每小题5分，共20分。13．设（），则函数的最小值是________．14．若中心在原点，焦点在轴上的双曲线离心率为，则此双曲线的渐近线方程为______________．15．点，抛物线的焦点为，若对于抛物线上的任意点，的最小值为41，则的值等于____________.16．已知是定义在上的奇函数，记的导函数为，当时，满足，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为__________．三、解答题 共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。17．设命题实数满足，命题实数满足.（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.18．( 本小题满分12分)如图所示，四棱锥中，，，为的中点． （1）试在上确定一点，使得∥平面； （2）点在满足(1)的条件下，求直线与平面所成角的正弦值．19．已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于、两点（不同于点），直线、分别交直线于点、.（1）求抛物线方程及其焦点坐标；（2）求证：以为直径的圆恰好经过原点.20．已知(e为自然对数的底数).(1)设函数，求函数的最小值；(2)若函数在上为增函数，求实数的取值范围.21．（本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点，且椭圆过点，且是椭圆上位于第一象限的点，且的面积.（1）求点的坐标；（2）过点的直线与椭圆相交于点，直线，与轴相交于两点，点，则是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由.某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本C（x）万元，当年产量小于7万件时，（万元）；当年产量不小于7万件时，（万元）．已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的产品当年能全部售完．写出年利润P（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收人﹣固定成本﹣流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取e3≈20）2019-2020学年新余一中高二下学期第一次段考数学试卷一、选择题 共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．故选：D．2．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】不妨设.对于A选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故A选项错误.对于B选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故B选项错误.对于C选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故C选项错误.对于D选项，，由于的竖坐标为，故在平面上，也即四点共面.下面证明结论一定成立：由，得，即，故存在，使得成立，也即四点共面.故选：D.3．设，，则三个数（ ）A．都小于4 B．至少有一个不大于4C．都大于4 D．至少有一个不小于4【答案】D【解析】假设三个数且且，相加得：，由基本不等式得：；；；相加得：，与假设矛盾；所以假设不成立，三个数、、至少有一个不小于4．故选：．4．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选：D．5．已知点和，动点满足，则的轨迹方程是（ ）A． B．C． D．【答案】B【解析】设，因为，所以，即 ，两边平方整理得：，， 两边平方整理得：，即 ，故选:B.6．过抛物线的焦点作两条垂直的弦,则（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由抛物线，可知，设的倾斜角为，则的倾斜角为，过焦点的弦，所以，故选D.7．已知椭圆：的右焦点为，短轴的一个端点为，直线：交椭圆于，两点，若，点与直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】可设为椭圆的左焦点，连接，根据椭圆的对称性可得四边形是平行四边形，，，取，点到直线的距离不小于，所以，，解得，椭圆的离心率的取值范围是，故选B.8．已知，，对任意，不等式恒成立，则m的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，对任意，不等式恒成立，即，参变分离，得，令，则令解得可知在上递增，上递减，所以，故选：B．9．设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为,则角的取值范围是（ ）.A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，故选：．10．已知是双曲线上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该双曲线的离心率是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设左焦点为， ，连接 则 ， ， ， 因为，且经过原点所以四边形 为矩形在Rt△中， ，代入 化简得 所以在Rt△中，，代入 化简得 ，即 所以选B11．下列命题中正确命题的个数是（　　　　）(1)若函数的定义域关于原点对称,则为偶函数的充要条件为对任意的都成立；(2)若函数的定义域关于原点对称,则“”是“为奇函数”的必要条件；(3)函数对任意的实数都有则在实数集上是增函数；(4)如果对于定义域内任意的实数,不等式,则叫做函数的最小值.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】对于(1)，根据偶函数的定义，可得：若函数为偶函数，则对应定义域内的任意，都有；反之也成立；故（1）正确；对于（2），函数的定义域不包含时，由“为奇函数”不能推出“”，故（2）错；对于（3），对于函数，对于任意的实数都有但不满足在实数集上是增函数，故（3）错；对于（4），根据函数最小值的定义，如果对于定义域内任意的实数，都有；存在，使得，则叫做函数的最小值.故（4）错；已知函数在其定义域内有两个不同的极值点，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】由题意可知，函数的定义域为，且，令，得，即，构造函数，则直线与函数在上有两个交点.，令，得，列表如下：所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，如下图所示：当时，直线与函数在上有两个交点，因此，实数的取值范围是.故答案为：.故选：B12．二、填空题 共4小题，每小题5分，共20分。13．214．15．点，抛物线的焦点为，若对于抛物线上的任意点，的最小值为41，则的值等于______.【答案】42或22【解析】由题意，（1）当点在抛物线的内部或曲线上时，则满足，解得，过点点作抛物线的准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得，所以,当三点共线时，此时的距离最小，且最小值为，可得，解得；（2）当点在抛物线的外部时，则满足，解得，如图所示，当三点共线时，的距离最小，且最小值为，即，解得或（舍去），综上所述，实数的值等于42或22.故答案为：42或22.16．已知是定义在上的奇函数，记的导函数为，当时，满足，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】【解析】令，在上单调递增，且，从而可以推断出则（当时，满足），从而在上单调递增，所以当时，，从而当时，；当时，（当时取等号），又当时，，即，所以在上单调递增，由于是定义在上的奇函数，从而在上单调递增；不等式.令，则原问题等价于有解，从而，∵，∴在上单减，在上单增，∴，所以的最小值为，三、解答题 共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。17．设命题实数满足，命题实数满足.（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，，即.由，得.若为真，即真或真，.因此，实数的取值范围；（2）若，，即.，或，且是的充分不必要条件，则或，即或.因此，实数的取值范围.18．解析：(1)：过点M作ME∥AB交PA于E点，连接DE.要使MN∥平面PAD，则MN∥ED，∴四边形MNDE为平行四边形． …………2分以AD、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A—xyz，如图所示．则由题意得A(0,0,0)、B(0,1,0)、D(1,0,0)、C(1,2,0)、P(0,0,1)、Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))、Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0)).…………4分(1)∵Deq \o(N,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0))，∴|Deq \o(N,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2). …………6分(2)∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AD，而AB⊥AD，∴DA⊥面PAB. …………7分又∵Neq \o(M,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)))，Deq \o(A,\s\up6(→))＝(－1,0,0)， …………8分∴cos〈Neq \o(M,\s\up6(→))，Deq \o(A,\s\up6(→))〉＝eq \f(\o(NM,\s\up6(→))·\o(DA,\s\up6(→)),|\o(NM,\s\up6(→))|·|\o(DA,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,\f(\r(5),2)·1)＝eq \f(2\r(5),5)， …………10分∴直线MN与平面PAB所成的角的正弦值为eq \f(2\r(5),5). …………12分19．已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于、两点（不同于点），直线、分别交直线于点、.（1）求抛物线方程及其焦点坐标；（2）求证：以为直径的圆恰好经过原点.【答案】（1）抛物线方程为，焦点坐标为；（2）证明见解析.【解析】（1）将代入，得，因此，抛物线方程为，焦点坐标为；（2）设，，、.因为直线不经过点，所以直线一定有斜率，设直线方程为，与抛物线方程联立得到，消去，得，则由韦达定理得，.，，，，即，显然，，，，则点，同理可求得点的坐标为，所以，，，因此，以为直径的圆过原点.20．已知(e为目然对数的底数).(1)设函数，求函数的最小值；(2)若函数在上为增函数，求实数的取值范围.【答案】(1) ；(2).【解析】（1），函数g（x）的定义域为（0，+∞），，令g′（x）＞0，解得x＞1，故函数g（x）在（1，+∞）单调递增，令g′（x）＜0，解得0＜x＜1，故函数g（x）在（0，1）单调递减，∴g（x）min＝g（1）＝e﹣1+a；（2）由题意，f′（x）＝ex﹣lnx+a﹣1≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥lnx﹣ex+1在[1，+∞）上恒成立，令h（x）＝lnx﹣ex+1（x≥1），则，显然h′（x）为[1，+∞）的减函数，∴h′（x）≤h′（1）＝1﹣e＜0，∴函数h（x）在[1，+∞）上单调递减，∴h（x）max＝h（1）＝1﹣e，则a≥1﹣e，即实数a的取值范围为[1﹣e，+∞）．21．解：（1）∵椭圆.∴，计算得.∴椭圆的方程为.∵的面积，∴，∴，代入椭圆方程.∵，∴，∴.………………………………………4分（2）设直线的方程为.直线的方程为，可得，即.直线的方程为，可得，即.联立，消去，整理，得.由，可得..………………………………………6分∴为定值，且…………………………………………………………12分22．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本C（x）万元，当年产量小于7万件时，C（x）=x2+2x（万元）；当年产量不小于7万件时，C（x）=6x+1nx+﹣17（万元）．已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的产M当年全部售完．（1）写出年利润P（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收人﹣固定成本﹣流动成本（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取e3≈20）【答案】(1) (2) 当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元【解析】（1）产品售价为6元，则万件产品销售收入为万元.依题意得，当时，， 当时，.∴（2）当时，，∴当时，的最大值为（万元）. 当时，，∴，∴当时，，单调递减，∴当时，取最大值（万元），∵，∴当时，取得最大值万元，即当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元.极大值