2020西宁海湖中学高二下学期第一阶段考试数学（理）试题含答案

这是一份2020西宁海湖中学高二下学期第一阶段考试数学（理）试题含答案，共18页。

若=（2，﹣3，5），=（﹣3，1，2），则|-|=（ ） （5分）
A.‍ B.‍
C.‍ D.
在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( ) （5分）
A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙
C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙
已知=（0，1，﹣1），=（1，1，0），若+与﹣共线，则实数=（ ） （5分）
A.-2 B. -
C. D.2
若，则f＇(x0)等于( )
A.2 B.-2
C.‍ D.-‍
已知直三棱柱ABC- A1B1C1中，ABC=，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( ) （5分）
A. B.
C. D.
在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，BAD＝BAA1＝DAA1＝，则AC1的长为（ ）
A.3 B.
C.6 D.
如图，在边长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求B1到平面BCD1的距离( )
（5分）
A.1 B.
C. D.
设曲线在点(1，0)处的切线与直线x﹣ay+1＝0垂直，则a＝（ ） （5分）
A. B.
C.﹣2 D.2
若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a，b，c，dR)有极值点，则导函数f＇(x)的图象可能是( )
（5分）
A.①③ B.②③
C.①②④ D.②④
函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是（ ） （5分）
A.5，﹣15 B.5，﹣4
C.﹣4，﹣15 D.5，﹣16
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）
（5分）
A. B.
C. D.
古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是( )
A.165cm B.175cm
C.185cm D.190cm
填空题（共14小题,共68分）
13.用数学归纳法证明(nN*，n＞1)时，第一步应验证的不等式是_______． （5分）
14.已知f(x)=ex-1+x，则曲线y=f(x)在点(1，2)处的切线方程式_______． （5分）
15.如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是
y=﹣x+8，则f(2018)+f＇(2018)=_______．

16.下列关于空间向量的命题中，正确的有_______．
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；
②若非零向量，，满足，则有；
③若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面；
④若向量，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底． （5分）
三．解答题
17、（10分）已知函数，求的单调区间与极值。
18. 已知函数f(x)=alnx-bx2，a，bR．若f(x)在x=1处与直线相切．（6分）
(1) 求a，b的值；
(2) 求f(x)在[，e]上的最大值．
19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，AB=1，点E为棱PC的中点．
ADAB，AB∥DC，AD=DC=AP=2．
（12分）
(1) 证明：BEDC；（6分）
(2) 求二面角E-AB-P的大小．（6分）
20.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
证明：（1）MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
21. 已知函数f（x）=x3+ax2+x+1，aR
(1) 讨论函数f（x）的单调区间;
(2) 设函数f（x）在区间内是减函数，求a的取值范围．
22.已知函数，其中为常数．
（）若函数是区间上的增函数，求实数的取值范围．
（）若在时恒成立，求实数的取值范围．
一选择题
C A B C C D C A C A D B
二．填空题（共14小题,共68分）
13.
14.y=2x．
15.﹣2011
16.①③④
解答题（共15小题,共168分）
20如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（12分）
(1) 证明：MN∥平面C1DE；（5分）
【正确答案】 证明：如图，过N作NH⊥AD，则NH∥AA1，且，

又MB∥AA1，，∴四边形NMBH为平行四边形，则NM∥BH，
由NH∥AA1，N为A1D中点，得H为AD中点，而E为BC中点，
∴BE∥DH，BE=DH，则四边形BEDH为平行四边形，则BH∥DE，
∴NM∥DE，
∵NM⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE，
∴MN∥平面C1DE；
证明：如图，过N作NH⊥AD，则NH∥AA1，且，

又MB∥AA1，，∴四边形NMBH为平行四边形，则NM∥BH，
由NH∥AA1，N为A1D中点，得H为AD中点，而E为BC中点，
∴BE∥DH，BE=DH，则四边形BEDH为平行四边形，则BH∥DE，
∴NM∥DE，
∵NM⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE，
∴MN∥平面C1DE；
【答案解析】过N作NH⊥AD，证明NM∥BH，再证明BH∥DE，可得NM∥DE，再由线面平行的判定可得MN∥平面C1DE；
(2) 求二面角A-MA1-N的正弦值．（7分）
【正确答案】 解：以D为坐标原点，以垂直于DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
设平面A1MN的一个法向量为，
由，取，得，
又平面MAA1的一个法向量为，
∴．
∴二面角A-MA1-N的正弦值为．
解：以D为坐标原点，以垂直于DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
设平面A1MN的一个法向量为，
由，取，得，
又平面MAA1的一个法向量为，
∴．
∴二面角A-MA1-N的正弦值为．
【答案解析】以D为坐标原点，以垂直于DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面A1MN与平面MAA1的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A-MA1-N的正弦值．
18已知函数f(x)=alnx-bx2，a，bR．若f(x)在x=1处与直线y=-相切．（6分）
(1) 求a，b的值；（3分）
【正确答案】 解：∵函数f(x)=alnx-bx2(x＞0)，∴ ，
∵函数f(x)在x=1处与直线相切，
∴ ，解得； 解：∵函数f(x)=alnx-bx2(x＞0)，∴ ，
∵函数f(x)在x=1处与直线相切，
∴ ，解得；
【答案解析】对f(x)进行求导，f′(x)欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于a，b的方程求得a，b的值．
(2) 求f(x)在[，e]上的最大值．（3分）
【正确答案】 解： ，
当时，令f'(x)＞0得： ，
令f'(x)＜0，得1＜x≤e，
∴f(x)在[ ，1]，上单调递增，
在[1，e]上单调递减，
∴ ． 解： ，
当时，令f'(x)＞0得： ，
令f'(x)＜0，得1＜x≤e，
∴f(x)在[ ，1]，上单调递增，
在[1，e]上单调递减，
∴ ．
【答案解析】研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值．


19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，AB=1，点E为棱PC的中点．
ADAB，AB∥DC，AD=DC=AP=2．
（12分）
(1) 证明：BEDC；（6分）
【正确答案】 证明：取PD中点F，连接AF，EF，
∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，，
∵AB∥CD，，
∴EF∥AB，EF=AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴BE∥AF，
∴PA⊥面ABCD，
∴PA⊥CD，
∴AB⊥AD，AB∥CD，
∴AD⊥CD，
∴PA∩AD=A，∴CD⊥面PAD，
∴CD⊥AF，∴CD⊥BE． 证明：取PD中点F，连接AF，EF，
∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，，
∵AB∥CD，，
∴EF∥AB，EF=AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴BE∥AF，
∴PA⊥面ABCD，
∴PA⊥CD，
∴AB⊥AD，AB∥CD，
∴AD⊥CD，
∴PA∩AD=A，∴CD⊥面PAD，
∴CD⊥AF，∴CD⊥BE．
【答案解析】取PD中点F，连接AF，EF，推导出四边形ABEF是平行四边形，从而BE∥AF，进而 PA⊥CD，再由AB⊥AD，得AD⊥CD，由此能证明CD⊥面PAD，从而CD⊥BE．
(2) 求二面角E-AB-P的大小．（6分）
【正确答案】 以点A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，E(1，1，1)，
(1，1，2)，(1，0，0)，
设面EAB的法向量为，
由，令(0，-1，1)，
面PBC的一个法向量(0，1，0)，
设二面角E-AB-P的大小为θ，则，
∴二面角E-AB-P的大小． 以点A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，E(1，1，1)，
(1，1，2)，(1，0，0)，
设面EAB的法向量为，
由，令(0，-1，1)，
面PBC的一个法向量(0，1，0)，
设二面角E-AB-P的大小为θ，则，
∴二面角E-AB-P的大小．
【答案解析】以点A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，求出面EAB的法向量，面PBC的一个法向量，由此能求出二面角E-AB-P的大小．
21.已知函数f（x）=x3+ax2+x+1，aR。（10分）
(1) 讨论函数f（x）的单调区间;（5分）
【正确答案】 解：f（x）=x3+ax2+x+1，求导得f＇（x）=3x2+2ax+1。
当a2≤3时，Δ≥0，f＇（x）≥0，f（x）在R上递增。
当a2＞3，f＇（x）=0，求得两根为，
即f（x）在递增，
递减，递增。
解：f（x）=x3+ax2+x+1，求导得f＇（x）=3x2+2ax+1。
当a2≤3时，Δ≥0，f＇（x）≥0，f（x）在R上递增。
当a2＞3，f＇（x）=0，求得两根为，
即f（x）在递增，
递减，递增。
【答案解析】先求出f（x）的导数，根据f＇（x）＞0求得的区间是单调增区间，
f＇（x）＜0求得的区间是单调减区间，
因为在函数式中含字母系数a，要对a的取值进行分类讨论。
(2) 设函数f（x）在区间内是减函数，求a的取值范围．
（5分）
【正确答案】 解：因为函数f（x）在区间内是减函数，
所以f＇（x）=3x2+2ax+1≤0
，解得a≥2
解：因为函数f（x）在区间内是减函数，
所以f＇（x）=3x2+2ax+1≤0
，解得a≥2
【答案解析】因为函数f（x）在区间内是减函数，
即导数在内恒小于等于0，
由二次函数的性质转化出关于参数的不等式，
解出a的取值范围。
22．已知函数，其中为常数．
（）若函数是区间上的增函数，求实数的取值范围．
（）若在时恒成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（）由函数，得，
∵函数是区间上的增函数，
∴，即在区间上恒成立，
∴当时，，
∴．
（）在时恒成立等价于在时恒成立，
令，则，
∵，
∴在上单调递减，
∵在区间上的最大值，
∴，即实数的取值范围是．