2020宜宾叙州区一中高二下学期第二次月考数学（文）试题含答案

2020年春四川省叙州区第一中学高二第二学月考试

文科数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

第I卷 选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数的虚部为

A．2 B． C． D．

2．以下不等式在时不成立的是

A． B． C． D．

3．已知，则

A． B． C． D．

4．双曲线的渐近线方程是

A．          B．       C．       D．

5．“”是“直线与圆”相切的

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．若在所围区域内随机取一点，则该点落在所围区域内的概率是

A． B． C． D．

7．A(0，1)是椭圆x2＋4y2＝4上一定点，P为椭圆上异于A的一动点，则|AP|的最大值为

A． B． C．  D．

8．已知函数是上的增函数，则的取值范围（  ）

A． B．

C． D．

9．已知椭圆的左、右焦点为,离心率为,过的直线交于两点，若的周长为,则的值为

A． B． C． D．

10．已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

11．若过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点（不重合），则 (为坐标原点）的值是

A. B. C.3 D.

12．已知函数的导函数为，且满足，，若恒成立，则实数的取值范围为

A． B． C． D．

第II卷 非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在处的切线方程为__________．

14．在正方体中，点分别是，的中点，则异面直线与所成角的大小为___________.

15．函数，若，则实数的取值范围         

16．已知点，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是        ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据如下表：

（I）求，；

（II）能否有的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？

附：

.

18．（12分）已知函数，a为实数.

（I）当时，讨论的单调性；

（II）若在区间上是减函数，求a的取值范围.

19．（12分）在四棱锥中，，，，都是边长为1的正三角形.

（I）证明：平面平面；

（II）求点到平面的距离.

20．（12分）设椭圆的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点的距离之和是4.

（I）求椭圆的方程；

（II）已知过的直线与椭圆交于两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值．

21．（12分）已知函数，其中.

（I）讨论的单调性；

（II）当时，证明:；

（III）试比较与 ，并证明你的结论。

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为

(I)写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

(II)若射线平分曲线，且与曲线交于点，曲线上的点满足，求.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数．

（I）解不等式；

（II）若对于，，有，，求证：．

2020年春四川省叙州区第一中学高二第二学月考试

文科数学试题参考答案

1-5:DCBCB      6-10:BCCCC      11-12:DD

13．   14．    15．    16．

17．（1）由已知可得该校有女生400人，

根据题意可得，解得，  所以.

（2）由题意得列联表如下：

根据表中的数据得，

所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关．

18．（1），

当即时，，在R上单调递增；

当即时，由得或，由得.

分别在与单调递增，在单调递减.

综上所述，当时，在R上单调递增；

当时，分别在与单调递增，在单调递减.

（2）由已知得在区间上恒成立.

在区间上恒成立.

当时，.当时，.

而在上单调递增，时，，则.综上.

19．（1）详解：（1）证明：如图，

连接∵，都是正三角形，

∴，

设为的中点，∴，，

在Rt中，，∴，

∵为的中点，∴，

在等腰中，，，∴，

在中，，，，∵，∴，

又∵，

∴平面，又∵平面，∴平面平面．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，

设点到平面的距离为，则，

即，∴，∴点到平面的距离为．

20．（1）依题意，，

因为，所以，所以椭圆方程为；

（2）设 ，则由，可得，

即，，，

又因为，所以四边形是平行四边形，

设平面四边形的面积为，则设，则，所以，因为，    所以，所以，所以四边形面积的最大值为.

21．（1）函数的定义域为：，

①当时，，所以在上单调递增   

②当时，令，解得 ．

当时，，所以， 所以在上单调递减；

当时，，所以，所以在上单调递增．

综上，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）当 时，，要证明，

即证，即证：.

设，则 ，令得，.

当时，，当时，.

所以为极大值点，且在处取得最大值。

所以，即。故.

（3）证明：（当且仅当时等号成立），即,

则有+

,

故：+

22．解：（1）曲线的直角坐标方程是，即

化成极坐标方程为：

曲线的直角坐标方程是；

（2）曲线是圆，射线过圆心，所以方程是

代入，得

又，将，代入，得

因此

23．（1）由得，

则或或

解得，或，或，即，

所以不等式的解集为.

（2）证明：由，，

所以.