2020宜宾叙州区一中高二下学期第二次月考数学（理）试题含答案

2020年春四川省叙州区第一中学高二第二学月考试

理科数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

第I卷 选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数的虚部为

A．2 B． C． D．

2．以下不等式在时不成立的是

A． B． C． D．

3．已知，则

A． B． C． D．

4．双曲线的渐近线方程是

A．          B．       C．       D．

5．“”是“直线与圆”相切的

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．若在所围区域内随机取一点，则该点落在所围区域内的概率是

A． B． C． D．

7．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为

A．300 B．216 C．180 D．162

8．甲.乙两人约定在上午到之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人20分钟，过时即可离去．若他们在限时内的任何时刻到达约定地的概率都是相等的，则两人能会面的概率为

A． B． C． D．

9．已知椭圆的左、右焦点为,离心率为,过的直线交于两点，若的周长为,则的值为

A． B． C． D．

10．已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

11．已知圆：，圆：，，分别是圆，上的动员.若动点在直线：上，动点在直线：上，记线段的中点为，则的最小值为

A． B． C． D．

12．已知函数的导函数为，且满足，，若恒成立，则实数的取值范围为

A． B． C． D．

第II卷 非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．定积分__________．

14．在正方体中，点分别是，的中点，则异面直线与所成角的大小为___________.

15．函数，若，则实数的取值范围是___

16．已知点，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（_____）．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）是衡量空气污染程度的一个指标，为了了解市空气质量情况，从年每天的值的数据中随机抽取天的数据，其频率分布直方图如图所示.将值划分成区间、、、，分别称为一级、二级、三级和四级，统计时用频率估计概率 .

（I）根据年的数据估计该市在年中空气质量为一级的天数；

（II）如果市对环境进行治理，经治理后，每天值近似满足正态分布，求经过治理后的值的均值下降率.

18．（12分）已知函数，a为实数.

（I）当时，讨论的单调性；

（II）若在区间上是减函数，求a的取值范围.

19．（12分）三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，分别是的中点．

（I）求证：平面；

（II）求二面角的余弦值．

20．（12分）设椭圆的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点的距离之和是4.

（I）求椭圆的方程；

（II）已知过的直线与椭圆交于两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值．

21．（12分）已知函数，其中.

（I）讨论的单调性；

（II）当时，证明:；

（III）试比较与 ，并证明你的结论。

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为

(I)写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

(II)若射线平分曲线，且与曲线交于点，曲线上的点满足，求.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数．

（I）解不等式；

（II）若对于，，有，，求证：．

2020年春四川省叙州区第一中学高二第二学月考试

理科数学试题参考答案

1-5:DCBCB      6-10:BCCCC      11-12:DD

13．   14．    15．    16．

17．（1）由样本空气质量的数据的频率分布直方图可知，其频率分布如下表：

由上表可知，如果市维持现状不变，那么该市下一年的某一天空气质量为一级的概率为，因此在天中空气质量为一级的天数约有（天）.

（2）如果市维持不变，那么该市的值的均值约为

由于该市的环境进行治理，治理后每天值近似满足，所以治理后的值的均值为，因此市治理后的值的均值下降率为

18．（1），

当即时，，在R上单调递增；

当即时，由得或，由得.

分别在与单调递增，在单调递减.

综上所述，当时，在R上单调递增；

当时，分别在与单调递增，在单调递减.

（2）由已知得在区间上恒成立.

在区间上恒成立.

当时，.

当时，.

而在上单调递增，时，，则.

综上.

19．（1）如图，以B1为原点建立空间直角坐标系

则

.

设平面A1B1C1的法向量为

.令，则 .

，平面A1B1C

（2）平面MB1C的法向量为.

令 ，

，所求二面角M—B1C—A1的余弦值为

20．（1）依题意，，

因为，所以，所以椭圆方程为；

（2）设 ，则由，可得，

即，，，

又因为，所以四边形是平行四边形，

设平面四边形的面积为，则设，则，所以，因为，    所以，所以，所以四边形面积的最大值为.

21．（1）函数的定义域为：，

①当时，，所以在上单调递增   

②当时，令，解得 ．

当时，，所以， 所以在上单调递减；

当时，，所以，所以在上单调递增．

综上，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）当 时，，要证明，

即证，即证：.

设，则 ，令得，.

当时，，当时，.

所以为极大值点，且在处取得最大值。

所以，即。故.

（3）证明：（当且仅当时等号成立），即,

则有+

,

故：+

22．解：（1）曲线的直角坐标方程是，即

化成极坐标方程为：

曲线的直角坐标方程是；

（2）曲线是圆，射线过圆心，所以方程是

代入，得

又，将，代入，得

因此

23．（1）由得，

则或或

解得，或，或，即，

所以不等式的解集为.

（2）证明：由，，

所以.