2020长沙麓山国际学校高二寒假网上检测试卷（二）数学试题含答案

这是一份2020长沙麓山国际学校高二寒假网上检测试卷（二）数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
麓山国际学校2019-2020学年高二寒假网上检测试卷（二）数  学 总分：150分   考试时间：120分钟一、选择题（共12小题，每小题5分；共60分）1. 从 个同类产品（其中 个是正品， 个是次品）中任意抽取 个，下列选项是必然事件的是  A.   个都是正品 B. 至少有    个是次品 C.   个都是次品 D. 至少有    个是正品 2. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成 组：，，，，， 加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生 名，据此估计，该模块测试成绩不少于 分的学生人数为   A.  B.  C.  D.  3. 函数 的定义域为 ，其导函数 在 内的图象如图，则函数 在开区间 内有极小值点   A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 设复数 ，，则复数 的虚部是  A.  B.  C.  D.  5. 给出下列函数：① ，② ，③ ，④ ，其中值域不是 的函数个数为  A.  B.  C.  D.   已知点P，Q为圆C：x2+y2＝25上的任意两点，且|PQ|＜6，若PQ中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为（　　）A． B． C． D． 7. 已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是  A.  B.  C.  D.  8. 椭圆 上一点 到其一个焦点的距离为 ，则点 到另一个焦点的距离为  A.  B.  C.  D.  9. 已知：，，，点 在 上运动，则当 取得最小值时，点 的坐标为  A.  B.  C.  D.  10. 下列四个结论中正确的个数是  ①若 ，则 ； ②已知变量 和 满足关系 ，若变量 与 正相关，则 与 负相关． ③“已知直线 ， 和平面 ，，若 ，，，则 ”为真命题； ④ 是直线 与直线 互相垂直的充要条件． A.  B.  C.  D. 11. 已知“若点 在双曲线 上，则 在点 处的切线方程为 ”，现已知双曲线 和点 ，过点 作双曲线 的两条切线，切点分别为 ，，则直线 过定点  A.  B.  C.  D. 12. 定义在R上的可导函数f（x）满足f（1）＝1，且2f'（x）＞1，当x∈[﹣，]时，不等式的解集为（　　）A．（，） B．（﹣，） C．（0，） D．（﹣，）  二、填空题（共4小题，每小题5分；共20分） 已知P，Q为抛物线f（x）＝上两点，点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为　        　．14. 已知复数 （， 为虚数单位），若 ，则实数 的值为                ． 15. 已知函数 ，其中 是自然对数的底数．若 ．则实数 的取值范围是                ． 16. 已知斜率为 的直线 与抛物线 交于位于 轴上方的不同两点 ， ，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，则 的取值范围是                ．   三、解答题（共6小题，其中第17题10分，其余各题12分；共70分） 17. 国内某知名连锁店分店开张营业期间，在固定的时间段内消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参加抽奖活动的人数越来越多，该分店经理对开业前 天参加抽奖活动的人数进行统计， 表示开业第 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：经过进一步统计分析，发现 与 具有线性相关关系． 参考公式：，，，．（1）若从这 天随机抽取两天，求至少有 天参加抽奖人数超过 的概率；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ，并估计若该活动持续 天，共有多少名顾客参加抽奖． 18. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值． 在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，M是抛物线C上的任意一点，当M位于第一象限内时，△OFM外接圆的圆心到抛物线C准线的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）过K（﹣1，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，且，点G为x轴上一点，且|GA|＝|GB|，求点G的横坐标x0的取值范围．    20. 设函数f（x）＝x2﹣2x+1+alnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，证明：f（x2）＞．   21. 已知椭圆 ： 的右焦点为 ，且经过点 ．（1）求椭圆 的方程；（2）设 为原点，直线 ： 与椭圆 交于两个不同点 ，，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，若 ，求证：直线 经过定点．  22. 已知函数 ，，．（1）当 时，求函数 单调区间；（2）若曲线 点 处的切线 与曲线 切于点 ，求 ，， 的值；（3）若 恒成立，求 的最大值．
2020年高二（上）寒假数学测试卷2参考答案第一部分1.  D 【解析】D 解析：因为有正品，个次品，所以任意抽取个，有中情况：个都是正品；个正品，个次品；个正品，个次品．只有D包含了这种情况．2.  B 3.  A 【解析】设 的图象与工轴的交点（除原点外）依次为 、 、 ，则当 时，，函数 是增函数；当 时，，函数 是减函数；当 时，，函数 是增函数；当 时，，函数 是减函数．所以当 时，取得极小值，再无其他极小值点．4.  A 5.  C 6解：当|PQ|＝6时，圆心到线段PQ的距离d＝，此时M位于半径是4的圆上，∴若|PQ|＜6，则PQ中点组成的区域为M为半径为4的圆与半径为5的圆组成的圆环，即16＜x2+y2＜25，PQ中点组成的区域为M如图所示，那么在C内部任取一点落在M内的概率为，故选：B．7.  C 【解析】因为函数 ，所以函数 恒成立，故函数 为增函数，又由 ，故函数 为奇函数，若 ，则 ，解得： .8.  D 9.  C 【解析】提示：设 ，则 ，，，当 时， 取得最小值．10.  B 【解析】对于①，若 ，可知，，则 ，故正确；对于②，因为变量 和 满足关系 ，一次项系数为 ，所以 与 负相关；变量 与 正相关，设 ，所以 ，得到 ，一次项系数小于 ，所以 与 负相关，故正确；对于③，若 ，，，则 ， 的位置关系不定，故错；对于④，当 时，直线 与直线 也互相垂直，故错．11.  C 设 ，，则切点分别为 ， 的切线方程为 ，．因为点 在两条切线上，所以 ，．所以 ， 两点均在直线 上，即直线 的方程为 ，显然直线过点 ．D   解：令g（x）＝f（x）﹣，则g′（x）＝f′（x）＞0，∴g（x）在定义域R上是增函数，且g（1）＝f（1）＝0，∴g（2cosx）＝f（2cosx）﹣cosx＝f（2cosx）﹣cosx，令2cosx＞1，则g（2cosx）＞0，即f（2cosx）＞+cosx，又∵x∈[﹣，]，且2cosx＞1∴x∈（﹣，），故选：D．第二部分13.﹣4    解：因为点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，代入抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8，2．由x2＝2y，则y＝x2，所以y′＝x，过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，﹣2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为y＝4x﹣8，y＝﹣2x﹣2 联立方程组解得x＝1，y＝﹣4 故点A的纵坐标为﹣4．故答案为：﹣4．14.  【解析】因为 ，且 ，所以 ，解得 ．又因为 ，所以 ．15.  16.  【解析】设直线 ： ， ， ， ，则：得： ，所以 . ， . . 第三部分17. （1） 若从这 天随机抽取两天，有 种情况，两天人数均少于 ，有 种情况，所以至少有 天参加抽奖人数超过 的概率为 ．      （2） ，，，，所以 ，所以估计若该活动持续 天，共有 名顾客参加抽奖．18.（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，∴AA1⊥平面ABC．（II）解：由AC＝4，BC＝5，AB＝3．∴AC2+AB2＝BC2，∴AB⊥AC．建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），∴，，．设平面A1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为＝（x2，y2，z2）．则，令y1＝4，解得x1＝0，z1＝3，∴．，令x2＝3，解得y2＝4，z2＝0，∴．＝＝＝．∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，∴＝，＝（0，3，﹣4），∵，∴，∴，解得t＝．∴．19.解：（1）F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点（，0），根据题意，点Q在FO的垂直平分线上，所以点Q到准线x＝﹣的距离为，所以C：y2＝4x．（2）设，①设直线l：x＝my﹣1代入到y2＝4x中得y2﹣4my+4＝0，所以y1+y2＝4m，y1y2＝4，②由①②可得4m2＝＝λ++2，由2≤λ≤3可得y＝λ++2递增，即有4m2∈[，]，又AB中点（2m2﹣1，2m），所以直线AB的垂直平分线的方程为y﹣2m＝﹣m（x﹣2m2+1），令y＝0，可得．20.解：（1）∵f′（x）＝，（x＞0），∴△＝4﹣8a＝4（1﹣2a），①a≥时，有△≤0，∴f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）递增，②0＜a＜时，有△＞0，令f′（x）＝0，解得：x1＝（x1＞0），x2＝，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜或x＞，令f′（x）＜0，解得：＜x＜，∴f（x）在（0，），（，+∞）递增，在（，）递减；③a≤0时，有△＞0，且②中的x1＝≤0，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（2）∵x2 为极值点，∴f′（x2 ）＝0，即2﹣2x2+a＝0，解得：a＝2x2﹣2，由（1）中②可知＜x2＜1，∴f（x2 ）＝﹣2x2+1+（2x2﹣2）lnx2，（＜x2＜1），令g（t）＝t2﹣2t+1+（2t﹣2t2）lnt，（＜t＜1），∴g′（t）＝2（1﹣2t）lnt，当t∈（，1）时，g′（t）＞0，∴g（t）在（，1）上递增，∴g（t）＞g（）＝，∴f（x2 ）＝g（x2 ）＞．21. （1） 由题意得，，．所以 ．所以椭圆 的方程为 ．      （2） 设 ，，则直线 的方程为 ．令 ，得点 的横坐标 ．又 ，从而 ．同理，．由 得 ．则 ，．所以  又 ，所以 ．解得 ，所以直线 经过定点 ．  22. （1） ，则 ，令 ，得 ，所以 在 上单调递增．令 ，得 ，所以 在 上单调递减．      （2） 因为 ，所以 ，所以 的方程为 ．依题意，，．于是 与抛物线 切于点 ，由 得 ．所以 ，，．      （3） 设 ，则 恒成立．易得 ．（）当 时，因为 ，所以此时 在 上单调递增．①若 ，则当 时满足条件，此时 ；②若 ，取 且 ，此时 ，所以 不恒成立，不满足条件；（）当 时，令 ，得 ．由 ，得 ；由 ，得 ．所以 在 上单调递减，在 上单调递增．要使得“ 恒成立”，必须有“当 时，”成立．所以 ．则 ．令 ，，则 ．令 ，得 ．由 ，得 ；由 ，得 ．所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以，当 时，．从而，当 ， 时， 的最大值为 ．综上， 的最大值为 ．