2020宜春中学高二上学期第二次月考数学（理）试题含答案

宜春中学2021届高二上学期第二次月考数学（理）试卷

一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的)

1、高二某班共有学生60名，座位号分别为01, 02, 03，···, 60.现根据座位号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本.已知03号、18号、48号同学在样本中，则样本中还有一个同学的座位号是（    ）

A．31号     B．32号     C．33号      D．34号

2、已知命题p：，，则（      ）

A．p：，     B．p：，

C．p：，     D．p：，

3、若，则下列不等式中不正确的是（      ）

A．     B．     C．       D．

4、如图在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，，

若，则　   

A．              B．             C．                D．6

5、“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的（       ）

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件    C.充要条件   D.既不充分也不必要

6、一个算法的程序框图如图所示，如果输出的值是，那么输入的值是（    ）

A.或          B.或         C.或    D.或

7、如果三点，，在同一条直线上，则(      )

A．   B．

C．   D．

8、已知函数在一个周期内的图象如图所示.则的图象，可由函数的图象怎样变换而来（纵坐标不变）（    ）

A.先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位

B.先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位

C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位

D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位

9、若正数，满足，则的最小值是（   ）

A．         B．         C．         D．

10、在长为的线段上任取一点.现作一矩形使其邻边长分别等于线段，的长，则该矩形面积大于的概率为（    ）

A.            B.         C.         D.

11、设，且，则（　　）

A.         B.       C.        D.

12、已知函数，若对任意，总存在，使，则实数a的取值范围是（　　）

A．      B．         C．        D．

二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)

13、已知平面向量满足，且，，则________．

14、将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，

向量＝(m，n)，＝(3,6)．则向量与共线的概率为________．

15、函数y＝的最大值为________．

16、在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝sin Acos C，且

a＝2，则△ABC面积的最大值为________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，要求在答题卡上写出详细的解答过程。）

17、(本题满分10分)

如图，正方体棱长为4，，，分别为，，边的中点，是正方形的中心.

(1)求，的长．

(2)直线上是否存在一点Q，使得EQ.若存在求出Q点坐标，不存在请说明理由。

18、(本题满分12分)

设函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集包含，求的取值范围.

19、(本题满分12分)

设命题:实数满足；命题：实数满足

（1）若，且为真，求实数的取值范围；

（2）若,且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

20、(本题满分12分)

某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计的频率分布直方图如图所示．

（1）估计这组数据的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）；

（2）现按分层抽样从质量为[200，250)，[250，300)的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；

（3）某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出以下两种收购方案：

方案①：所有芒果以9元/千克收购；

方案②：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购．

通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多．

参考数据：

21、(本题满分12分)

已知函数.

（1）求的最小正周期和上的单调增区间：

（2）若对任意和任意恒成立，求实数的取值范围.

22、(本题满分12分)

已知等差数列的前n项和为，并且，数列满足：，，记数列的前n项和为．

（Ⅰ）求数列的通项公式及前n项和为；

（Ⅱ）求数列的通项公式及前n项和为；

（Ⅲ）求的最大值。

数学（理）答案

一、选择题 （每小题5分共60分）

二、填空题（每小题5分共20分）

13、      14、     15、10       16、3

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17、解：(1)如图所示，可知：，

所以；………………..5分

(2)，设，则

由EQ，得t=5

故Q点坐标为………………..10分

18、解:（1）当时，，

由，得，由，得，由，得.

∴不等式的解集为；……………….6分

（2）不等式的解集包含，∴，即,

由，得，∴,

∴ 解得∴

故有.………………..12分

19、解：（1）由得;

当时，，即P为真时，.………………..2分

由得，即，即q为真时，.……………4分

因为为真，则p真q真，所以 .………………..6分

（2）由得；，又，

所以m＜x＜3m

由得，即；.………………..8分

设，

若的充分不必要条件

则A是B 的真子集，所以解得∴

故有.………………..12分

20、解:（1）由频率分布直方图知，各区间频率为0.07，0.15，0.20，0.30，0.25，0.03

这组数据的平均数

．………………..3分

（2）利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在[200，250)内的芒果有2个，记为，，质量在[250，300)内的芒果有3个，记为，， ；

从抽取的5个芒果中抽取2个共有10种不同情况：，，，，，，，，，．

记事件为“这2个芒果都来自同一个质量区间”，则有4种不同组合：

，，，

从而，故这2个芒果都来自同一个质量区间的概率为.………………..8分

（3）方案①收入：（元）； ………..9分

方案②：低于250克的芒果收入为（元）；

不低于250克的芒果收入为（元）；

故方案②的收入为（元）．……………….11分

由于，所以选择方案②获利多．……………….12分

21、解：（1）函数

………………..3分

故的最小正周期．………………..4分

由题意可知：，

解得：，

因为，所以的单调增区间为，……………….6分

（2）由（1）得

∵∴，

∴，………………..8分

若对任意的和恒成立，

则的最小值大于零．

当为偶数时，，所以，

当为奇数时，，所以，

综上所述，的范围为.……………….12分

22、（Ⅰ）设数列的公差为，由题意得，解得，

∴，∴；………………..3分

（Ⅱ）由题意得，

叠乘得．………………..5分

由题意得    ①

   ②

②—①得：

∴………………..8分

（Ⅲ）由上面可得，则，……………….9分

则，，，，．

下面研究数列的单调性，

∵，……………….10分

∴时，，，即单调递减。………………..11分

∴

则的最大值………………..12分