2021黑龙江省龙西北地区八校高一下学期3月联考数学试卷含答案

这是一份2021黑龙江省龙西北地区八校高一下学期3月联考数学试卷含答案

www.ks5u.com2020-2021学年度下学期八校联考高一数学月考试卷 本试卷分Ⅰ、Ⅱ卷，总分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、单选题(本题共8个小题，每小题5分，共40分．) 1.已知集合A＝{-3,-2,0,1,4}，B＝{x|x＝ QUOTE ，n∈A}，则A∩B的真子集个数A．3　 B．4 C．7　　 D．8 (　　)2．若，且，则θ是 (　　)A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角3．设a，b是非零向量，则“存在实数λ，使得a＝λb”是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的 (　　)A．充分必要条件 B． 充分而不必要条件C． 必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．下列命题中的假命题为 (　　)A． ∀x∈R，ex>0 B．∃x0∈N*，sineq \f(πx0,2)＝1C．∃x0∈R，ln x0<1 D．∀x∈N，x2>05．已知向量a＝(1，cosα)，b＝(sinα，1)，且0<α<π，若a⊥b，则α＝(　　)A. eq \f(π,6) B. eq \f(π,4) C. eq \f(2π,3) D. eq \f(3π,4)6．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，x1≠x2，有eq \f(fx2－fx1,x2－x1)<0，则 (　　)A．f(1)0，b>0)，则4a＋b＋2的最小值为________，此时a的取值为________．15．奇函数f(x) 的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(－1)＝－1，则f(2020)＋f(2021)＝ ________．16．关于函数f(x)＝cos＋cos，给出下列命题：①f(x)的最大值为2；②f(x)的最小正周期是π；③f(x)在区间上是减函数；④将函数y＝eq \r(2)cos2x的图象向右平移eq \f(π,24)个单位长度后，与函数y＝f(x)的图象重合．其中正确命题的序号是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. (本小题满分10分)（1）求不等式eq \f(x－1,x＋1)≥2的解集 (2)log3eq \f(\r(4,27),3)＋lg25＋lg4＋7 eq \s\up15(log72) .18.(本小题满分12分)已知|a|＝2|b|＝2，单位向量e与向量b方向相同且向量a在向量b方向上的投影向量为－e.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a－2b|(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？19．(本小题满分12分)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)当x∈时，求f(x)的取值范围．20.(本小题满分12分)已知向量a＝(1,2sinθ)，b＝，θ∈R.(1)若a⊥b，求tanθ的值；(2)若a∥b，且θ∈，求θ的值．21. (本小题满分12分)已知A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，其中α，β为锐角，且| QUOTE |＝eq \f(\r(10),5).(1)求cos(α－β)的值；(2)若cosα＝eq \f(3,5)，求cosβ的值．22.(本小题满分12分)已知向量a＝(sinωx＋cosωx，sinωx)，向量b＝(sinωx－cosωx，2 eq \r(3) cosωx)，设函数f(x)＝a·b＋1(x∈R)的图象关于直线x＝ eq \f(π,3) 对称，其中常数ω∈(0，2).(1)求函数f(x)的单调递减区间； (2)将函数f(x)的图象向左平移 eq \f(π,12) 个单位，再向下平移1个单位，得到函数g(x)的图象，求出函数g(x)对称中心．2020-2021学年度下学期八校联考高一数学月考试卷本试卷分Ⅰ、Ⅱ卷，总分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、单选题(本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．)1.A 2．D 3．C 4．D 5． D 6．B 7． B. 8.　C二、多选题(本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的不得分．)9．B D 10．ACD 11.ABD 12. BC第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题（每题5分，共20分）13. QUOTE  14． 1 15．　20　3 16．②③④三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. (本小题满分10分)（1）求不等式eq \f(x－1,x＋1)≥2的解集 (2)log3eq \f(\r(4,27),3)＋lg25＋lg4＋7 eq \s\up15(log72) .　解：不等式可化为2－eq \f(x－1,x＋1)≤0，即eq \f(x＋3,x＋1)≤0，解得－3≤x<－1，∴不等式的解集是{x|－3≤x<－1}． ………5分（2）原式＝log33＋lg100＋2＝－eq \f(1,4)＋2＋2＝eq \f(15,4) .………5分18.(本小题满分12分)已知|a|＝2|b|＝2，单位向量e与向量b方向相同且向量a在向量b方向上的投影向量为－e.(1)求a与b的夹角θ；(2)求 QUOTE ；(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？[解]　(1)∵|a|＝2|b|＝2，∴|a|＝2，|b|＝1. ………1分又向量a在向量b方向上的投影向量为|a|cos θe＝－e，∴|a|cos θ＝－1 ∴a·b＝|a||b|cos θ＝－1. ………3分 又∵|a|＝2，|b|＝1，∴cos θ＝－ eq \f(1,2) ， ………4分∵θ∈[0，π]，∴θ＝ eq \f(2π,3) . ………5分(2) QUOTE ＝2 QUOTE  ………9分(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝ eq \f(4,7) . ………12分19．(本小题满分12分)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的部分图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,6)))时，求f(x)的取值范围．[解]　(1)由函数图象得A＝1， ………1分eq \f(T,4)＝eq \f(2π,3)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，所以T＝2π，则ω＝1. ………3分将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，1))代入得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋φ))＝1，而－eq \f(π,2)<φ<eq \f(π,2)，所以φ＝eq \f(π,3)， ………5分因此函数的解析式为f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))). ………6分(2)由于－π≤x≤－eq \f(π,6)，－eq \f(2π,3)≤x＋eq \f(π,3)≤eq \f(π,6)， ………9分所以－1≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))≤eq \f(1,2)，所以f(x)的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))). ………12分20.(本小题满分12分)已知向量a＝(1,2sinθ)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))，1))，θ∈R.(1)若a⊥b，求tanθ的值；(2)若a∥b，且θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求θ的值．[解]　(1)因为a⊥b，所以a·b＝0，所以2sinθ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝0，………2分即eq \f(5,2)sinθ＋eq \f(\r(3),2)cosθ＝0. ………4分因为cosθ≠0，所以tanθ＝－eq \f(\r(3),5). ………6分(2)由a∥b，得2sinθsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝1， ………7分即2sin2θcoseq \f(π,3)＋2sinθcosθsineq \f(π,3)＝1， ………8分即eq \f(1,2)(1－cos2θ)＋eq \f(\r(3),2)sin2θ＝1，整理得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,6)))＝eq \f(1,2)， ………10分又θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以2θ－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))， ………11分所以2θ－eq \f(π,6)＝eq \f(π,6)，即θ＝eq \f(π,6). ……12分21. (本小题满分12分)已知A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，其中α，β为锐角，且| QUOTE |＝eq \f(\r(10),5).(1)求cos(α－β)的值；(2)若cosα＝eq \f(3,5)，求cosβ的值．[解]　(1)由| QUOTE |＝eq \f(\r(10),5)，得eq \r((cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2)＝eq \f(\r(10),5)，……2分∴2－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝eq \f(2,5)，∴cos(α－β)＝eq \f(4,5). ………4分(2)∵cosα＝eq \f(3,5)，cos(α－β)＝eq \f(4,5)，α，β为锐角，∴sinα＝eq \f(4,5)，sin(α－β)＝±eq \f(3,5). ………6分当sin(α－β)＝eq \f(3,5)时，cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq \f(24,25).………9分当sin(α－β)＝－eq \f(3,5)时，cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝0.∵β为锐角，∴cosβ＝eq \f(24,25). ………12分 22.(本小题满分12分)已知向量a＝(sinωx＋cosωx，sinωx)，向量b＝(sinωx－cosωx，2 eq \r(3) cosωx)，设函数f(x)＝a·b＋1(x∈R)的图象关于直线x＝ eq \f(π,3) 对称，其中常数ω∈(0，2).(1)求函数f(x)的单调递减区间；；(2)将函数f(x)的图象向左平移 eq \f(π,12) 个单位，再向下平移1个单位，得到函数g(x)的图象，求出函数g(x)对称中心．[解]　(1)∵向量a＝(sinωx＋cosωx，sinωx)，向量b＝(sinωx－cosωx，2 eq \r(3) cosωx)，∴f(x)＝a·b＋1＝sin2ωx－cos2ωx＋2 eq \r(3) sinωx cos ωx＋1＝ eq \r(3) sin 2ωx－cos 2ωx＋1＝2sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx－\f(π,6))) ＋1. ………3分∵图象关于直线x＝ eq \f(π,3) 对称，其中常数ω∈(0，2).∴2ω· eq \f(π,3) － eq \f(π,6) ＝kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，得ω＝ eq \f(3k,2) ＋1，结合ω∈(0，2)，可得ω＝1， ………5分∴f(x)＝2sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))) ＋1， ………6分∵令2kπ＋eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(3,2)π(k∈Z)，得kπ＋ eq \f(π,3) ≤x≤kπ＋ QUOTE  (k∈Z)， ∴f(x)＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(1,2)的单调增区间为[kπ＋ eq \f(π,3) ,kπ＋ QUOTE  ](k∈Z) (k∈Z)． ………8分(2)将函数f(x)的图象向左平移 eq \f(π,12) 个单位，得y＝2sin  eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))－\f(π,6))) ＋1＝2sin 2x＋1. ………9分再向下平移1个单位后得到函数g(x)＝2sin 2x. ………10分令 2x=kπ (k∈Z)，则有x=,(k∈Z)y＝g(x)对称中心为 (k∈Z) ………12分