2021南宁三中高一上学期期中段考数学试卷含答案

南宁三中2020~2021学年度上学期高一段考

数学试题

命题人：黎承忠  谭淇尹    审题人：陈可欣

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;

2．请将答案正确填写在答题卡上.

一、选择题 （本题共12小题，每小题有且仅有一个正确答案，每小题 5 分 ，共60分）  

1．已知集合，，则（    ）

A.         B.         C.         D.

2．若，则的值是(   )

 A．－3 B．3 C．－9 D．9

3. 把多项式分解因式得结果是   （   ）

A.                B.

C.                  D.

4. 函数的定义域是（    ）

A.         B.         C.         D.

5.已知，则的解析式为(　　)

A.     B.     C.     D.

6.设函数是奇函数，则实数的值为（    ）

 A. 0           B. 1           C.            D.

7.已知函数，则的大致图象为  （     ）       

 A.     B.  C.   D.

8.恒过定点P，则点P的坐标为 （        ）

   A.（2，1）      B.（2，2）      C.（3，1）      D.（2，2）或（3，1）

9.函数的单调递增区间是(        )

   A.         B.         C.         D.

10.若，则下列结论正确的是(        )

A. B. C. D.

11.已知函数的值域为，则实数的取值范围（    ）

A.        B.        C.        D.

12.已知函数 ，则方程的根个数为(        )

A.1   B.2   C.3   D.4

二、 填空题（本题共4小题，每小题 5分，共20分 ）

13.设方程的两根分别是，，则=      ．

14.计算         .

15.已知函数上的最小值为，则的最大值为         .

16.设函数，若，则实数的取值范围是           .

三、 解答题 （本题共 6 小题，共70分）

17.（本题满分10分，每小题5分）

（1）求值 (lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25.

（2）计算

18. （本题满分12分）已知集合

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围.

19．（本题满分12分）已知函数，

（1）求函数的值域；

（2）解不等式.

20. （本题满分12分）已知函数在区间上为增函数.

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：对任意恒成立.

21. （本题满分12分）设函数f（x）＝（x﹣a）|x﹣a|（a∈R）．

（1）若函数f（x）是奇函数，求a的值；

（2）若存在a∈[﹣1，1]，使方程f（x）+2x2﹣2a|x|+2=0在x∈{x||x|≥t}上有实数解，求实数t的取值范围．

22.（本题满分12分）定义在上的函数,对任意都有 .

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）若,试求的值.

南宁三中2020~2021学年度上学期高一段考

数学试题参考答案

1．D   解析：由题意，，，

所以.

2．A   提示：原式

3．C   提示：先提取，再用完全平方公式.

4．A   解析：要使函数有意义，则需，即为，解得，，则定义域为.

5．B  解析令则，,

.

6．C   解析：是定义在上的奇函数，当时，，

所以当，.

7．B  解析：因为，所以函数为奇函数，故排除A选项；

,显然当时，函数单调递增，故排除C选项；令,则,故排除D选项.故选B.

8．D   解析：

9．B   解析：由在单调递减，为减函数，所以函数的单调递增区间是.

10．D   解析：∵∴

又∵   ∴

∵  ∴ 

11．A   解析:当时，，满足题意；当时，，解得，综上所述，实数的取值范围为.

12．C  解析：当时，是增函数，，当时，，

则在区间（0，1）上单调递减，在区间上单调递增，

作出函数和直线的图象，如图，

当时，函数与的图象有两个交点，

即方程有两个实数解，分别设为，且，当时，，画图可知，函数与无交点，令，即方程有两个解，分别为，（），方程有两个解，方程有一个解，故方程有3个根．

13．3   解析：∵方程的两根分别是，，∴，，∴，∴=．

14．2   解析：原式=.

15．1  解析：，所以

16．   解析：函数的定义域为R，

，为奇函数，又在R上单调递减，由得，解得.

17．（1）解析：∵lg 2＋lg 5＝lg(2×5)＝lg 10＝1，

∴原式＝(lg 2)2＋lg 2·lg(2×52)＋lg 52。。。。。。。。。。1分

＝(lg 2)2＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)＋2lg 5。。。。。。。。。。2分

＝(lg 2)2＋(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋2lg 5

＝2(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋2lg 5

＝2lg 2·(lg 2 ＋lg 5)＋2lg 5。。。。。。。。。。3分

＝2lg 2＋2lg 5。。。。。。。。。。4分

＝2(lg 2＋lg 5)＝2. 。。。。。。。。。。5分

（2）解析：原式=  。。。。。。。。。。2分

                  =        。。。。。。。。。。。。4分

                  =          。。。。。。。。。。5分

18．解析：（1）若，则，解得； 。。。。。。。。。。2分

若，则，解得  。。。。。。。。。。5分

综上所述，实数的取值范围为.   。。。。。。。。。。。。。6分

（2）若，当时，由（Ⅰ）可得，

当时，则或，  。。。。。。。。。8分

解得或无解，

所以当时，或，   。。。。。。。。。。。。。。10分

则当时，可得，

所以实数的取值范围为.    。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

19．解析：（1）当时，当时，，

所以函数的值域是；  。。。。。。。。。。。。5分

（2）等价于 ——①或——②

解①得，解②得，

综合①②知的解集为.  .。。。。。。。。。。12分

20．解析：（1），  。。。。。。。。。2分

上为增函数，而为减函数，   。。。。。。。。。。。。。。4分

，即，

所以实数的取值范围是     。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

（2）证明：， 

设，       。。。。。。。。。。。。8分

由（1）知，的对称轴，开口向下，

上单调递增，，。。。。。。。。。10分

，，

，

恒成立.     。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

21．解析：（1）∵f（x）在原点有定义，f（x）为奇函数；

∴f（0）＝﹣a|﹣a|＝0，即a＝0，

此时f（x）＝x|x|是奇函数，故a＝0；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

（2）∵a∈[﹣1，1]，

x≥a时，y＝f（x）+2x2﹣2a|x|+2＝＞0，

此时方程无解；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

x＜a，若a＞0，则当0≤x＜a时，

y＝f（x）+2x2﹣2a|x|+2＝﹣（x﹣a）2+2x2﹣2ax+2＝x2﹣a2+2＞0，

方程无解；。。。。。。。。。。6分

∴方程的解在x＜a且a＜0时取得，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

此时函数y＝f（x）+2x2﹣2a|x|+2＝﹣（x﹣a）2+2x2+2ax+2＝x2+4ax+2﹣a2．

由x2+4ax+2﹣a2＝0，得|x|2﹣4a|x|+2﹣a2＝0．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

此时△＝16a2﹣4（2﹣a2）≥0，即，则．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分

由于|x|≥0，∴a＞0，得．

|x|＝．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

要使方程f（x）+2x2﹣2a|x|+2=0在x∈{x||x|≥t}上有实数解，

只需t≤，即t．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分

∴实数t的取值范围是（﹣∞，2+]．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

22．解析：（1）取，则，，

任取，

则，即，

在定义域上为奇函数；   。。。。。。。。。。。。。。4分

（2）由于， 。。。。。。。。。6分

同理，，  。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

，  。。。。。。。。。。。。。。。。10分

，

=，

，    。。。。。。。。。。。。。。。。。12分