2021江苏省江阴二中、要塞中学等四校高一上学期期中考试数学试题含答案

2020-2021学年第一学期高一期中考试数学学科试题

时间：120 分钟              满分：150 分   

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．若集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{0，2，3}，则P∩Q的元素个数为（   ）

A.  1            B.  2            C.  3            D.  4

2．如图，已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为(　　)

A．{x|－2≤x＜4}        B．{x|x≤3或x≥4}

C．{x|－2≤x≤－1}      D．{x|－1≤x≤3}

3．设命题甲为：，命题乙为：，那么甲是乙的   （    ）

A．充要条件                   B．必要不充分条件 

C．充分不必要条件      D．既不充分也不必要条件

4．若函数满足，则（    ）

A． B． C． D．1

5、有下列四个命题：①∀x∈R，+1＞0；②∀x∈N，x2＞0；③∃x∈N，x∈[﹣3，﹣1）；④∃x∈Q，x2＝2．其中真命题的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

6、若x，y满足y＝，x＞0，则x+y的最小值是（　　）

A． B． C． D．

7、下列函数中在定义域上既是奇函数又是增函数的为（　　）

A．y＝x+1 B．y＝﹣x2 C．y＝x3 D．y＝﹣

8、某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停（每次上涨10%）又经历了3次跌停（每次下降10%），则该股民这只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（　　）

A．略有亏损 B．略有盈利 

C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有                       （      ）

A．∃x0∈R，x－x0＋<0              B．所有的正方形都是矩形

C．∃x0∈R，x＋2x0＋2＝0            D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0

10、2x＞1的充分不必要条件是（　　）

A．x＜0 B．x＞0 C．0＜x＜1 D．x＞1

11．若a > b >0，d < c < 0，则下列不等式成立的                        （      ）

A.  ac > bc         B.  a－d > b－c        C.             D. a3 > b3

12、已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣x2，则下列说法正确的是（　　）

A．f（x）的最大值为 B．f（x）在（﹣1，）是增函数 

C．f（x）＞0的解集为 D．f（x）+2x≥0的解集为[0，3]

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

13、函数f（x）＝的定义域为　        　．

14、幂函数y＝f（x）的图象经过点，则y＝f（x）的表达式为　      　．

15、若函数f（x）＝x3+（b﹣1）x2+x是定义在[2a，1﹣a]上的奇函数，则a+b＝　     　．

16.《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设，称为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线，交半圆于D，连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段CD的长度是a，b的几何平均数，线段______的长度是a，b的调和平均数,该图形可以完美证明三者的大小关系为_________________________．(本题第一空3分，第二空2分)

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17. (本小题满分10分)设全集，已知集合,,．

(1)求，；

(2) 若，求的取值范围．

18．（本小题满分12分）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，

（1）画出在的图象，并写出函数的减区间

（2）

（3）求不等式的解集．

19、（本小题满分12分）计算或化简下列各式：

（1）；

（2）．

20．（本小题满分12分）已知函数的图象经过点（1，1），．

（1）求函数的解析式；

（2）判断函数在（0，+）上的单调性并用定义证明；

21、（本小题满分12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x），当年产量不足80千件时，C（x）x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）＝51x1450（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．

（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

22、（本小题满分12分）设函数f（x）＝ax﹣（k﹣1）a﹣x，（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数，且f（1）＝．

（1）求k，a的值；

（2）求函数f（x）在[1，+∞）上的值域；

（3）设g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2m•f（x），若g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值；

（4）对于（3）中函数g（x），如果g（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，求m的取值范围．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1. B     2. D    3. C     4. B    5. B     6.B     7. C    8. A

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9. AC      10. CD      11. BD       12 ABD

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13. [-1,2]     14.          15. 0       16. DE   

注：第16题第一空3分，第二空2分

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17. 解　(1)                   …………2分

                            …………4分

       则                  …………6分

       (2)若，通过数轴观察可知，

         即实数a的取值范围为              …………10分

18．

19、解：（1）

＝．                              …………6分

（2）

＝．         …………6分

20．（1）由 f(x)的图象过A、B，则，解得．

∴.                          …………4分

（2）证明：设任意x1，x2∈，且x1<x2．

 ∴

.                              …………8分

由x1，x2∈，得x1x2>0，x1x2+2>0．

由x1<x2，得．

∴，即．

∴函数在上为减函数．                       …………12分

21、解：（1）∵每件商品售价为0.05万元，

∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，

①当0＜x＜80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，

∴L（x）＝（0.05×1000x）x2﹣10x﹣250x2+40x﹣250；      …………2分

②当x≥80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，

∴L（x）＝（0.05×1000x）﹣51x1450﹣250＝1200﹣（x）． …………4分

综合①②可得，L（x）；       …………6分

（2）①当0＜x＜80时，L（x）x2+40x﹣250（x﹣60）2+950，

∴当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝950万元；    …………8分

②当x≥80时，L（x）＝1200﹣（x）≤1200﹣21200﹣200＝1000，

当且仅当x，即x＝100时，L（x）取得最大值L（100）＝1000万元． …………10分

综合①②，由于950＜1000，

∴年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大． …………12分

22、解：（1）∵函数f（x）＝ax﹣（k﹣1）a﹣x，（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数，

∴f（0）＝0，即1﹣（k﹣1）＝0，k＝2，

∵f（1）＝．∴a﹣＝，a＝2，

∴a＝2，k＝2，                                 …………2分       

（2）g（x）＝22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），

设t＝2x﹣2﹣x，x∈[1，+∞），t∈[，+∞），       …………4分

∴k（t）＝t2﹣2mt+2，t∈[，+∞），

∵若g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，

∴k（t）＝t2﹣2mt+2，t∈[，+∞），上的最小值为﹣2， 

∴或                   …………6分

即m＝2，或m＝（舍去），

故m＝2                                           …………7分

（4）k（t）＝t2﹣2mt+2，t∈[，+∞），

∵g（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，

∴k（t）＞0在t∈[，+∞）上恒成立，]

∴或，

解不等式得出∅或，

∴m的取值范围为．                   …………12分