2020省牡丹江一中高一7月月考（期末）数学试题含答案

牡丹江第一高级中学2019级高一期末测试（数学）试卷

一、选择题（每个小题只有一个选项，每小题5分，共60分）

1、下列说法正确的是（    ）

A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

B．三棱锥的四个面都可以是直角三角形

C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

D．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

2、下列说法中，正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，则

C．若，则                 D．，，则

3、已知的内角的对边分别为，若，则等于（    ）

A． B． C． D．

4、已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是 (   )

A． B． C．或 D．

5、已知平面和外的一条直线，下列说法不正确的是（    ）

A．若垂直于内的两条平行线，则

B．若平行于内的一条直线，则

C．若垂直于内的两条相交直线，则

D．若平行于内的无数条直线，则

6、在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

7、若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（    ）

A． B．

C． D．

8、等比数列中，，，则的值为（    ）

A．10 B．20 C．25 D．160

9、经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（    ）

A． B． C．或 D．或

10、四棱锥的底面是正方形，且各条棱长均相等，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

11、已知，则的最小值为（    ）.

A．9 B． C．5 D．

12、已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（     ）

A． B． C． D．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13、直线的倾斜角=            。

14、已知数列的首项，其前项和为，且满足，若数列是递增数列，则实数的取值范围是_______．

15、若关于 x 的不等式 对任意 恒成立，则实数a 的取值范围是 ___．

16、在三角形中，，，分别是角，，的对边，，，则的最大值为______．

三、解答题（共70分）

17、（本小题12分）

已知两直线.当为何值时，和

（1）平行；（2）垂直？

18、（本小题12分）的周长为，且．

（1）求边的长；

（2）若的面积为，求角的度数．

19、（本小题12分）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面.

（1）求证：平面；

（2）若，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积.

20、（本小题12分）

已知数列满足，，数列的前项和为，且．

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

21、（本小题12分）

如图，是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线平面，E，F分别是，的中点.

（1）记平面与平面的交线为l，试判断直线l与平面的位置关系，并加以证明；

（2）设，求二面角大小的取值范围

22、（本小题10分）

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若函数的最小值记为，设，，且有.求的最小值

牡丹江第一高级中学2019级高一期末测试数学参考答案

选择题  BBDAA  ADCCD BC

1、如图所示

对，如图（1），将两个相同的斜平行六面体叠放，符合条件但却不是棱柱，故错误；

对，如图（2），底面，是圆的直径，点是圆上一点，则三棱锥的四个面都是直角三角形.故正确；

对，如图（3），延长其侧棱不交于一点，符合条件但却不是棱台，故错误；

对，如图（4），以直角的斜边为轴旋转得到的是两个对底的圆锥，故错误.

故选：.

2、选项A，少了为正数条件，不一定成立，

如，则，所以A不正确；

选项B，因为，

即，所以B正确；

选项C，若，当时，则，所以C不正确；

选项D，两个同向不等式相减，差不一定同向，如，

两式相减，所以D不正确.

故选：B.

3、因为，故.

故选：D.

4、由题意可知：数列1,a1,a2，4成等差数列，设公差为d，

则4=1+3d，解得d=1，

∴a1=1+2=2，a2=1+2d=3.

∵数列1,b1,b2,b3，4成等比数列，设公比为q，

则4=q4,解得q2=2，

∴b2=q2=2.

则.

本题选择A选项.

5、若垂直于内的两条相交直线，则，故A错误C正确；

若平行于内的一条直线，则，故B正确；

若平行于内的无数条直线，则，故D正确.

故选：A.

6、，解得，，故，故有两解，A正确；

，解得，，故，故有一解，B错误；

，解得，，故，故有一解，C错误；

，解得，无解，D错误.

故选：A.

7、选项A的正视图、俯视图不符合要求，选项B的正视图、侧视图不符合要求，选项C俯视图不符合要求，

故选：D.

8、由于数列是等比数列，所以，

所以

.

故选：C

9、当直线过原点时，斜率为1，由点斜式求得直线的方程是 y-1=x-1，即y=x；

当直线不过原点时，设直线的方程是：，把点M（1，1）代入方程得 a=2，直线的方程是 x+y=2．

综上，所求直线的方程为y=x或x+y=2

故选C.

10、如下图所示，设四棱锥的各条棱的棱长为，连接、交于点，则为的中点，且平面，连接，取的中点，连接，

四边形为正方形，，则，

所以，异面直线与所成角为或其补角，

，，，

为的中点，，

、分别为、的中点，且，

平面，平面，平面，，

，由勾股定理得，

是边长为的等边三角形，为的中点，，

，由余弦定理得.

故选：D.

11、.

，且，

，

当且仅当，即时，取得最小值2.

的最小值为.

故选B.

12、 ①

当时，类比写出  ②

由①-②得   ，即.

当时，，

，

③

     ④

③-④得，

（常数），，

的最小值是

故选C.

二、填空题

13、. 14、  15、 或 ．16、．

13、设直线的倾斜角为则，又，故.

14、解：由可得：

两式相减得：

两式相减可得：

数列，，...是以为公差的等差数列，数列，，...是以为公差的等差数列

将代入及可得：

将代入可得

要使得，恒成立

只需要即可

解得

则的取值范围是.

故答案为：.

15、∵|x+3|﹣|x﹣1|≤|（x+3）﹣（x﹣1）|＝4，

不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a，对任意实数x恒成立，

∴a2﹣3a≥4，即（a﹣4）（a+1）≥0，

解得： 或 ，

∴实数a的取值范围为 或 ，

故答案为： 或 ．

16、因为，所以，而，∴．

∵，∴．

∴

，其中．

所以的最大值为，当时取得．

故答案为：．

三、解答题

17、因为,所以,解得或,

当时,两条直线重合,

因为,所以,解得或.

所以，当平行时，，当垂直时，或.

18、（1）因为三角形周长为，所以①，

因为，

所以由正弦定理可得②，

两式相减，解得．　

（2）由的面积

由余弦定理，得

，所以．

19、解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，

又因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，

所以PD⊥AC，又，

故AC⊥平面PBD；

（2）因为PD⊥平面ABCD，

所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，

于是∠PBD=45°，

因此BD=PD=2.又AB= AD=2，

所以菱形ABCD的面积为，

故四棱锥P- ABCD的体积.

20、（1）因为，，所以为首项是1，公差为2的等差数列，所以．

又当时，，所以，

当时，   ①

          ②

由得，即（），

所以是首项为1，公比为的等比数列，故．

（2）由（1）得，

所以．

21、（1），平面，平面，平面，

又平面，平面与平面的交线为l，所以，

而l平面，平面，所以l平面；

（2）设直线l与圆O的另一个交点为D，连接DE，FB，如图：

由（1）知，BDAC，而，所以，

所以平面，所以，

而，所以平面PBC，

又FB平面PBC，所以，

所以就是二面角的平面角，

因为，点F是的中点，所以，

故，

注意到，所以，所以，

因为，所以，

所以二面角大小的取值范围为.

22、解（1）因为

从图可知满足不等式的解集为.

（2）由图可知函数的最小值为，即.

所以，从而，

从而

当且仅当，即时，等号成立，

∴的最小值为.