2020安徽省示范高中培优联盟高一春季联赛试题　数学（理）含答案

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安徽省示范高中培优联盟2020年春季联赛(高一)

数学(理科)

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：

1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第I卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

(1)已知集合A＝{x|x2－1>0}，B＝{x|y＝log2x}，则A∩B＝

(A)[1，＋∞)     (B)(1，＋∞)     (C)(－∞，－1]     (D)(－∞，－1)

(2)已知x>0，y>0，且＝1，则x＋y的最小值为

(A)8     (B)9     (C)12     (D)6

(3)定义在R上的函数f(x)同时满足：①对任意的x∈R都有f(x＋1)＝f(x)；②当x∈(1，2]时，f(x)＝2－x。若函数g(x)＝f(x)－logax(a>1)恰有3个零点，则a的最大值是

(A)5     (B)2     (C)3     (D)4

(4)已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，2)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是

(A)(－1，4)∪(4，＋∞)     (B)(2，＋∞)     (C)(－1，＋∞)     (D)(－∞，－1)

(5)已知各项均为正数的等比数列{an}的前3项和为7，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝

(A)16     (B)8     (C)4     (D)2

(6)若cos(－α)＝，则cos(＋2α)＝

(A)－     (B)     (C)－     (D)

(7)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2asinC＝c，a＝1，则△ABC的周长取最大值时面积为

(A)     (B)     (C)     (D)4

(8)在△ABC中，AD为BC边上的中线，已知E为AD的中点，令＝a，＝b，若过点E的直线分别交AB，AC于P，Q两点，且＝ma，＝nb，则＝

(A)4     (B)3     (C)5     (D)

(9)函数y＝的图象大致为

(10)若数列{an}的首项a1＝－21，且满足(2n－3)an＋1＝(2n－1)an＋4n2－8n＋3，则a24的值为

(A)1980     (B)2000     (C)2020     (D)2021

(11)已知P(1，2)是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点。设∠BPC＝θ，若tan＝，则f(x)的图像对称中心可以是

(A)(0，0)     (B)(1，0)     (C)(，0)     (D)(，0)

(12)已知函数y＝f(3x－1)为奇函数，y＝f(x)与y＝g(x)图像关于y＝－x对称，若x1＋x2＝0，则g(x1)＋g(x2)＝

(A)2     (B)－2     (C)1     (D)－1

第II卷(非选择题 共90分)

考生注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。)

(13)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆O于点P(x，y)，且x＋y＝，则cos(2α＋)的值是            。

(14)平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，＝－1，点M在边CD上，则的最小值为            。

(15)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且，则的值是            。

(16)已知函数f(x)＝，若f(a)≥f(a＋)，则a的取值范围是       。

三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)

(17)(本题满分10分)

已知全集为R。函数f(x)＝logπ(x－1)的定义域为集合A，集合B＝{x|(x＋cos0)(ex－e2)≥0}。

(I)求A∩B；

(II)若C＝{x|1－m<x≤m}，，求实数m的取值范围。

(18)(本小题满分12分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bsinC＝acosC＋ccosA，B＝，c＝。

(I)求角C；

(II)若点D满足，求△ABD的外接圆半径。

(19)(本小题满分12分)

已知公差不为零的等差数列{an}，若a4＋a8＝22，且a5，a8，a13成等比数列。

(I)求数列{an}的通项公式；

(II)设，数列{bn}的前n项和Sn，证明Sn≥。

(20)(本小题满分12分)

已知△ABC的面积为3，且内角B是A，C的等差中项。

(I)若cos(c－)＝3sinA,求边AC的长；

(II)当AC边上中线BD取最小值时，试判断△ABC的形状。

(21)(本小题满分12分)

已知函数，f(x)＝2020sin(πx－)(x∈R)的所有正数的零点构成递增数列{an}。

(I)求数列{an}的通项公式；

(II)设bn＝2n(an＋)，求数列{bn}的前n项和Tn。

(22)(本小题满分12分)

已知x∈R，定义函数f(x)表示不超过x的最大整数，例如：f()＝1，f(π)＝3，f(－0.5)＝－1。

(I)若f(x)＝2020，写出实数x的取值范围；

(II)若x>0，且f(2x＋f(x))＝f(7＋)，求实数x的取值范围；

(III)设g(x)＝x＋k·，h(x)＝，若对于任意的x1，x2，x3∈[7，9)，都有g(x1)>|h(x2)－h(x3)|，求实数k的取值范围。

安徽省示范高中培优联盟2020年春季联赛（高一）

数学（理科）参考答案及评分标准

选择题答案：1-5 BBCAC  6-10 CCACA  11-12 DA

1答案：B解析：A＝{x|x2－1>0}＝{x|x<－1或x>1}＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)，B＝(0，＋∞)，则A∩B＝(1，＋∞)．

2答案：B解析：由题意可得＋＝1，则x＋y＝(x＋y)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当x＝3，y＝6时等号成立，故x＋y的最小值为9.选B.

3答案：C解析：画出函数y＝f(x)的图象，如下图所示．

又由题意可得，若函数y＝logax的图象与函数y＝f(x)的图象有交点，则需满足a>1.结合图象可得，要使两函数的图象有三个交点，则需满足，解得2<a≤3，所以实数a最大值为3，故选C.

4答案：A解析：因为当λ＝0时，a与b的夹角为钝角，排除B，D；当λ＝4时，夹角为π，排除C，选A.

5答案：C解析：设{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4，由数列{an}的各项均为正数，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋4)＝7，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.

6答案：C解析：cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.

7答案：C解析：∵2asin C＝c，∴2sin Asin C＝sin C，∴sin A＝.∵△ABC为锐角三角形，∴A＝. 由正弦定理，得＝＝＝，∴b＝sin B，c＝sin C，∴△ABC的周长为1＋sin B＋sin C＝1＋2sin，∴当B＝，即△ABC为等边三角形时，周长取得最大值，此时面积为，选C.

8答案：A解析：由于题中直线PQ的条件是过点E，所以该直线是一条“动”直线，所以最后的结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．如图1，PQ∥BC，则＝，＝，

图1

此时m＝n＝，故＋＝4，故选A.

9答案：C解析：因为函数y＝为奇函数，所以其图象关于原点对称，当x>0时，y＝＝，所以函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以排除选项B，D；又当x＝1时，y＝<1，所以排除选项A，故选C.

10答案：A解析：∵(2n－3)an＋1＝(2n－1)an＋4n2－7n＋3，∴(2n－3)an＋1＝(2n－1)an＋(2n－3)(2n－1)，

∴.∵a1＝21，∴，∴数列是首项为21，公差为1的等差数列，

∴，∴an＝(n+20)(2n－3)，n∈N*.  ，选A.

11答案：D解析：取BC的中点D，连接PD，则PD=4,,在中，由，

得BD=3.所以B(-2,-2),C(4,-2)，BP,CP的中点都是的对称中心，且周期T=6，故选D

12答案：A 解析：方法一：因为为奇函数，故的图像关于原点（0,0）对称，故的图像关于对称，从而的图像关于（0,1）对称，因为，所以2.

  方法二：特例法,设,令，∴，∴∴

∵与关于对称 ，∴，，∵，所以2.

13答案：解析：由三角函数定义知，cosα＝x，sinα＝y.∴cosα＋sinα＝

∴(cosα＋sinα)2＝1＋sin2α＝，∴sin2α＝－1＝，∴cos＝sin2α＝.

14答案：解析：如图，∵·＝－1，AB＝2，AD＝1，∴||·||cos∠BAD＝－1，

∴2cos∠BAD＝－1，cos∠BAD＝－，∴∠BAD＝120°.

建立如图所示的平面直角坐标系，则·＝x(x－2)＋＝(x－1)2－.  令f(x)＝(x－1)2－，x∈，则f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)min＝.

15答案：解析：∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，由正弦定理得sin2B＝sinAsinC，

∴，∵tanB＝，∴sinB＝，∴

16.答案：解析： 设与的图像交于点A，B，且横坐标分别为，由图像可得满足的实数的取值范围为.

对于，由（负值舍去）

对于，由，综上可得，

17．【解析】（1）由得，函数的定义域,又，

得， .……………………………………………………4分

（2）,

①当时，满足要求， 此时， 得；……………………………………………6分

②当 时，要，则，解得，…………………………8分

由①② 得， ，实数的取值范围.…………………………………………………10分

18解：(1)由2bsinC＝acosC＋ccosA，结合b＝acosC＋ccosA，可得2bsinC＝b.

因为b>0，所以sinC＝. 又0<C<，所以C＝.…………………………………………………5分

(2)由正弦定理易知＝＝2，解得b＝3.…………………………………………………7分

又，所以AD＝AC＝b，即AD＝2.

在△ABC中，因为∠ABC＝π，C＝，所以A＝，

所以在△ABD中，A＝，AB＝，AD＝2，由余弦定理得BD＝1……………………………10分

由可知的外接圆半径为1.………………………………………………12分

19解：(1)设数列{an}的首项为a1，依题意，，解得a1＝1，d＝2，

∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.……………………………………………………………………5分

(2)bn＝－1＝－1＝＝， …………………8分

∴Sn＝×＋…＋＝＝.…………………………12分

20解：∵△ABC三个内角A、B、C依次成等差数列，∴B＝60°.………………………………………2分

设A、B、C所对的边分别为a、b、c，

由△ABC的面积S＝3＝acsinB可得ac＝12.

(1)∵sinC＝3sinA，由正弦定理知c＝3a，∴a＝2，c＝6.……………………………………………4分

在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB＝28，∴b＝2，即AC的长为2. ……6分

(2)∵BD是AC边上的中线，∴＝(＋)，

∴2＝(2＋2＋2·)＝(a2＋c2＋2accosB)＝(a2＋c2＋ac)≥(2ac＋ac)＝9，

当且仅当a＝c=时取“＝”，∴||≥3，即BD长的最小值为3，

此时△ABC为等边三角形………………………………………………………………………………12分

（其他解法请酌情赋分）

21.【解析】（1），

这就是函数的全部零点.已知函数的全部正数的零点构成等差数列{an}，则其首项等于，

公差等于1，{an}的通项公式就是…………………………………………………5分

（2）……………………………………………………………………………7分

利用错位相减法得………………………………………………………………12分

22解:（1）若,则表示不超过的最大整数,

所以,故的取值范围为；…………………………………………3分

（2）若,可得，,

则,,…………………………………………………………5分

当时,,不符合.  当时,,不符合.  则时,,不符合.

当时,所以,解得.

所以实数的取值范围为；……………………………………………………………………8分

方法二：画出两直线与函数y=f(x)的图像，由图象观察得：实数的取值范围为.

（3）  在单调递减,在单调递增.

可得,,则,

所以在恒成立,即,整理得在恒成立,………10分

当时, 在恒成立,即,

当时, 在恒成立,即,

综上可得: 实数的取值范围为.…………………………………………………………………12分