2020武威一中高一下学期期中考试数学试题含答案

武威一中2020年春季学期高一年级期中考试

数 学 试 卷

命题人：武世起       审题人：陈玉海

一、单选题（本题共有12小题，每小题5分，共60分）

1．若－<α<0，则点P(tanα，cosα)位于 (      )

A．第一象限      B．第二象限      C．第三象限   D．第四象限

2．下列关于向量的描述正确的是（     ）

A．若向量，都是单位向量，则

B．若向量，都是单位向量，则

C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量

D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆

3．设向量，则等于（          ）

A． B．5 C． D．6

4．已知，则等于（    ）

A． B． C． D．

5．已知向量，，若与垂直，则的值为（    ）

A．             B．            C．           D．

6．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边经过点，且，则（    ）

A．          B．           C．         D．

7．若三点、、共线，则的值为（    ）

A． B． C． D．

8．将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，再将上所有点的横坐标伸长到原来的倍得到曲线，则的解析式为（     ）

A．     B．   C．    D．

9．正方形中，点，分别是，的中点，那么(      )

A．    B．   C．   D．

10．比较sin150°，tan240°，三个三角函数值的大小，正确的是（    ）

A．sin150°>tan240°> B． tan240°>>sin150°

C．tan240°>sin150°> D． sin150°>>tan240°

11．若是边长为的等边三角形，向量，，，有下列几个语句：①；②与垂直；③；④.

其中表达正确的语句个数是（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

12．函数（其中，）的部分图象如图所示、将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（    ）

A．函数为奇函数    B．函数的单调递增区间为

C．函数为偶函数   D．函数的图象的对称轴为直线

二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）

13．函数的单调区间为________

14．已知向量，，则向量与的夹角为______．

15．已知,求________.

16．给出下列四个语句：①函数的一条对称轴是；②函数的图象关于点（,0）对称；③正弦函数在自变量取第一象限角所对的区间上为增函数；④若，则，其中；

以上四个命题中正确的有                （填写所有正确语句的序号）

三、解答题（共6小题，共70分）

17．（本题10分）已知，，与的夹角是，计算

（1）；  （2）.

18．（本题12分）已知角α为第三象限角，且．

（1）求的值；（2）求的值．

19．（本题12分）（1）求的值；

（2）已知是第三象限角，化简，.

20．（本题12分）给定平面向量，，，且，.（1）求和；  （2）求在方向上的投影.

21．（本题12分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:

(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并求出函数的解析式;

(2)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,求的值.

22．（本题12分）已知函数的最小正周期为.

（1）求的单调增区间和对称轴；

（2）若，求的最大值和最小值

武威一中2020年春季学期高一年级期中考试

数学参考答案

1．B【解析】

试题分析：∵－<α<0，∴tanα<0，cosα>0，∴点P(tanα，cosα)位于第二象限，故选B

考点：本题考查了三角函数值的符号

点评：熟练掌握三角函数的定义及三角函数的值的求法是解决此类问题的关键，属基础题

2．D【解析】【分析】根据单位向量的概念进行逐项判断即可.

【详解】对于选项A:向量包括长度和方向,单位向量的长度相同均为,方向不定,故向量和不一定相同,故选项A错误;

对于选项B:因为,由知,不一定成立,故选项B错误;

对于选项C:任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量,故选项C错误;

对于选项D:因为所有单位向量的模为,且共起点,所以所有单位向量的终点在半径为的圆周上，故选项D正确;故选:D

【点睛】本题考查单位向量的基本概念;掌握单位向量的概念是求解本题的关键;属于基础题.

3．B【解析】【分析】根据向量的线性关系，将的坐标求出，按模长坐标公式，即可求解.

【详解】，

.故选:B.

【点睛】本题考查向量的坐标表示，涉及到向量加法、模长坐标运算，属于基础题.

4．A【解析】【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．

【详解】解：∵，

∴两边平方可得：，

∴ 故选A.

【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式及二倍角在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．

5．C【解析】,由于两个向量垂直,故,故选C.

6．C【解析】【分析】由三角函数的定义得，解方程可求得，利用即可得解.【详解】

由题意得，所以，

所以且，解得．

所以．     故选：C.

【点睛】本题考查了三角函数的定义,利用定义直接代入求出参数值即可得解，属于基础题.

7．A【解析】

,三点共线           即

       ,    故答案选

8．A【解析】【分析】由三角函数平移和伸缩的性质，以及运用诱导公式化简，便可得出答案.

【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后,

得到曲线，的解析式为，

再将上所有点的横坐标伸长到原来的倍,

得到曲线的解析式为.    故选：A.

【点睛】本题考查三角函数图像的平移伸缩，结合应用诱导公式化简，属于简单题.

9．D【解析】【分析】由题意点，分别是，的中点，求出，，然后求出向量即得．【详解】解：因为点是的中点，所以，

点得是的中点，所以，

所以，     故选：．

【点睛】本题考查向量加减混合运算及其几何意义，注意中点关系与向量的方向，考查基本知识的应用。属于基础题。

10．C【解析】【分析】

根据诱导公式，结合特殊角的三角函数值进行比较即可.

【详解】因为，，

，

所以tan240°>sin150°>.      故选：C

【点睛】本题考查了诱导公式，考查了特殊角的三角函数值，属于基础题.

11．D【解析】【分析】根据向量模长可判断命题①的正误；计算与的数量积，可判断命题②的正误；利用平面向量加法法则可判断命题③④的正误.

【详解】，命题①正确；

，命题②正确；

，命题③正确；

，命题④错误.

因此，正确命题的个数为.

故选：D.

【点睛】本题考查与平面向量相关命题真假的判断，涉及平面向量加法法则、垂直向量的表示以及向量模的概念，考查推理能力，属于中等题.

12．B

【解析】【分析】本题首先可以根据题目所给出的图像得出函数的解析式，然后根据三角函数平移的相关性质以及函数的解析式得出函数的解析式，最后通过函数的解析式求出函数的单调递增区间，即可得出结果．

【详解】由函数的图像可知函数的周期为、过点、最大值为3，

所以,，，，，

所以取时，函数的解析式为，

将函数的图像向左平移个单位长度得，

当时，即时，函数单调递增，故选B．

【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角函数图像的相关性质以及三角函数图像的变换，函数向左平移个单位所得到的函数，考查推理论证能力，是中档题．

13．

【解析】【分析】根据正切函数的性质，列出不等式即可求出的单调区间.

【详解】解：函数，
令，
解得，
所以函数的单调区间为.
故答案为：.

【点睛】本题考查了正切函数的性质与应用问题，属于基础题.

14．

【解析】【分析】利用向量夹角公式，计算出向量，由此判断出向量与的夹角为.

【详解】由于，所以，所以向量与的夹角为.

故答案为：

【点睛】  本小题主要考查向量坐标的线性运算，考查向量数量积的运算，属于基础题.

15．      16．①②

【解析】试题分析：①将代入可得函数最大值,为函数对称轴；②函数的图象关于点对称,包括点；③,③错误；④利用诱导公式,可得不同于的表达式；故本题答案应填①②

考点：三角函数的性质．

【知识点睛】本题主要考查三角函数的图象性质.对于和的最小正周期为.若为偶函数,则当时函数取得最值,若为奇函数,则当时,.若要求的对称轴,只要令,求.若要求的对称中心的横坐标,只要令即可.

17．（1）（2）-3

【解析】【分析】

（1）转化，利用数量积的的分配律和数量积的定义，即得解；

（2）转化，即得解

【详解】（1）；

（2）.

【点睛】 本题考查了数量积的模长公式、运算律和定义，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题

18．(1);(2)7

【解析】【分析】

（1）利用同角三角函数的平方关系、商数关系，即可得答案；

（2）利用诱导公式进行化简得到关于，的式子，再转化成关于的式子，即可得答案；

【详解】（1）角α为第一象限角，且，

，

.

（2）原式.

【点睛】

本题考查同角三角函数基本关系、诱导公式化简求值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.

19．（1）；（2）.

【解析】【分析】

（1）根据诱导公式，将大角化小角，并根据特殊值的三角函数，可得结果.

（2）根据切化弦，进行化简，可得一个完全平方式，然后根据角所在范围，可得结果.

【详解】（1），

即

，

即

，

所以原式.

（2）

令

，

因为是第三象限角，所以，，

所以原式.

【点睛】

本题主要考查诱导公式以及切化弦，属基础题.

20．（1），．（2）

【解析】【分析】

（1）根据向量的关系进行求解即可

（2）根据向量投影的定义进行求解．

【详解】解：（1），，，且，

，解得，

，．

，解得，

即，．

（2），,

在方向上的投影为．

【点睛】

本题主要考查向量数量积的应用，根据向量平行和垂直的关系建立方程求出，是解决本题的关键．

21．(1)见解析,.(2)-1

【解析】  【分析】

（1）由表格中数据,可得,即可求得,由可得,则,进而补全表格即可；

（2）由图像变换原则可得,进而将代入求解即可

【详解】 解:(1)根据表中已知数据,可得,解得,

又,所以,       所以.

数据补全如下表:

 (2)由(1)知,

把的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到的图像,

再把得到的图像向左平移个单位长度,得到的图像,即,

所以

【点睛】

本题考查由三角函数性质求解析式,考查三角函数的图像变换,考查运算能力

22．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由周期公式求出可得函数解析式，再根据余弦型函数的单调性及对称性即可求解； （2）由（1）所得结果判断函数在上的单调性即可求得最值.

【详解】

（1）由题意知，解得，所以，

令，解得，

所以的单调增区间为，

令，解得，

所以的对称轴为；

（2）由（1）知函数在上单调递增，在上单调递减，

因为，，，

所以时，.

【点睛】

本题考查余弦函数的图象与性质，涉及周期性、单调性与对称性，属于基础题.