2022-2023学年苏科版七年级数学上册重难题型全归纳 专题08 一元一次方程 重难点题型12个（原卷+解析卷）

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专题08 一元一次方程 重难点题型12个

题型1 方程与一元一次方程的辨别
1．（2022·太原市第四十五中学校七年级月考）下列四个式子中，是方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据方程的定义即：含有未知量的等式，一一判断即可．
【详解】A选项不是方程，没有未知数；B选项不是方程，不是等式；
C选项是方程；D选项不是方程，没有未知数．故选：C．
【点睛】本题考查方程的定义，解题的关键是掌握方程的定义．
2.（2022·全国）下列式子中：①，②，③，④，⑤．是方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据方程的定义可得出正确答案．
【详解】①，是方程；②，不是等式，不是方程；③，不是等式，不是方程；
④，是方程；⑤，是方程．综上，方程共有3个，故选：C．
【点睛】本题主要考查了方程的定义，解题关键是依据方程的定义．含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．
3．（2022·衡阳市逸夫中学初一期中）下列各式中①，②，③，④，⑤，⑥.其中是方程的有（ ）
A．①②④⑤ B．②③⑤⑥ C．②④⑤⑥ D．①②⑤⑥
【答案】D
【分析】根据含有未知数的等式是方程逐一进行判断即可.
【解析】①是方程；②是方程；③不是方程；④不是方程；⑤是方程；⑥是方程，故选D.
【点睛】本题考查了方程的识别，熟练掌握含有未知数的等式是方程是解题的关键.
4．（2022·射洪七年级阶段练习）下列各式中：①x2－4x=3；②3x－1=；③x+2y=1；④xy－3=5；⑤5x－x=3，是一元一次方程的有（       ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：①x2－4x=3中未知数的最高次数是2，不是一元一次方程；
②3x－1=符合一元一次方程的概念，是一元一次方程；
③x+2y=1中含有两个未知数，不是一元一次方程；
④xy－3=5中含有两个未知数，不是一元一次方程；
⑤5x－x=3符合一元一次方程的概念，是一元一次方程；
综上分析可知，是一元一次方程的有2个，故A正确．故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次的整式方程，是一元一次方程．
5．（2022·河南鹤壁·七年级期末）在下列方程：①，②，③，④，⑤中，一元一次方程的个数为（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】由一元一次方程的概念可知：①只含有一个未知数，②未知数的次数为1，③整式方程，据此进行判断即可．
【详解】解：在下列方程：①，②，③，④，⑤中，
④，⑤是一元一次方程，共2个,故选B
【点睛】本题考查了一元一次方程的概念，掌握概念是解题的关键．

6．（2022·哈尔滨七年级期中）下列是一元一次方程的是（ ）
A．2x+1 B．3+2＝5 C．x+2＝3 D．x2＝0
【答案】C
【分析】利用一元一次方程定义解答即可．
【详解】解：A、2x+1不是方程，故此选项不合题意；
B、3+2＝5，不含未知数，不是方程，故此选项不合题意；
C、x+2＝3是一元一次方程，故此选项符合题意；
D、x2＝0是一元二次方程，故此选项不合题意；故选C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键在于能够熟练掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数为1．

题型2 利用一元一次方程的定义和方程的解求值
【解题技巧】依据一元一次方程的定义，x的次数为1，系数不为0
方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．
1．（2022·海南鑫源高级中学七年级期中）若 是关于x的一元一次方程，则 ________．
【答案】1
【分析】把只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程称为一元一次方程，根据一元一次方程的概念即可完成解答．
【详解】由题意得：3－2a=1，解得：a=1，故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的概念，把握一元一次方程的概念要注意三点：①只含一个未知数，即一元；②未知数的次数是1，即一次；③方程两边都是整式．
2．（2022·河南南阳·七年级期末）若是关于的一元一次方程，则的值可以是______写出一个即可
【答案】2（答案不唯一）
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程叫一元一次方程，利用一元一次方程的定义得出，即可得出答案．
【详解】解：是关于的一元一次方程，
，解得，的值可以是．故答案为：答案不唯一．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的定义，正确掌握一元一次方程定义是解题关键．
3．（2022·福建泉州·七年级期中）若是关于的一元一次方程，则的值为______．
【答案】0
【分析】根据一元一次方程的定义进行解答即可．
【详解】解：∵是关于的一元一次方程，
∴m+1=0解得m=0．故答案为：0．
【点睛】本题考查一元一次方程的概念，解题关键是理解只含有一个未知数，未知数的最高次数是1次的整式方程叫一元一次方程．
4．（2022·安徽·肥西七年级阶段练习）已知是关于x的方程的解，则a的值是（       ）
A． B．0 C．2 D．3
【答案】C
【分析】直接利用方程的解的定义代入求解即可．
【详解】解：∵是关于x的方程的解，
∴，解得，故选：C
【点睛】本题考查了方程的解的定义，能使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，理解方程解的定义是关键．
5．（2022·河北·七年级课时练习）若关于的方程的解是，则的值为（       ）
A．-3 B．-5 C．-13 D．5
【答案】A
【分析】把代入方程即可得到一个关于m的方程，解方程即可求解．
【详解】解∶把代入方程得∶
，解得m=-3．故选∶ A．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，理解定义是解题的关键．
6．（2022·广西·七年级课时练习）已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是x＝2，则_________．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可．
【详解】解：方程两边都乘6，去分母得2（kx-a）=6-3（2x+bk），
∴2kx-2a=6-6x-3bk， 整理得（2x+3b）k+6x=2a+6，
∵无论k为何值，方程的解总是2， ∴2a+6=6×2，2×2+3b=0，
解得a=3，， ∴． 故答案为：-4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，根据方程的解与k无关，则k的系数为0列出方程是解题的关键．

题型3 等式的性质及应用
【解题技巧】
等式的性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
等式的性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
1．（2022·山东威海·期末）已知等式，则下列等式中不一定成立的是（   ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等式的性质进行逐一判断即可．
【详解】解：A、当时，等式无意义，故此选项符合题意；
B、由可以得到，故此选项不符合题意；
C、由可以得到，故此选项不符合题意；
D、由可以得到，故此选项不符合题意．故选A．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键．
2．（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）下列等式的变形中，正确的是（       ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】B
【分析】根据等式的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】A. 如果，那么，故该选项不正确，不符合题意；       
B. 如果，那么，故该选项正确，符合题意；
C. 如果，且那么，故该选项不正确，不符合题意；
D. 如果，那么，故该选项不正确，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握性质1、等式两边加同一个数(或式子)结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题关键．
3．（2022·贵州铜仁·七年级期末）下列运用等式的性质进行的变形，正确的是（       ）
A．如果，那么 B．如果，那么．
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】C
【分析】利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案．
【详解】A.如果，那么，本选项错误，不符合题意；
B.如果，那么，本选项错误，不符合题意；
C.如果，那么，选项正确，符合题意；
D.如果，那么，本选项错误，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
4．（2022·河北邢台·七年级期末）设“●”“▲”“■”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，则下列天平中，状态不正确的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据天平的状态，可知■=▲=●+●，由此可得出答案．
【详解】解：由已知天平的状态可得：■=▲=●+●，
∴A，B，C状态正确，不符合题意；D状态不准确，符合题意；故选D
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．掌握“等式两边减去同一个数（或整式），所得的结果仍然是等式”是解题的关键．
5．（2022·浙江金华·七年级期末）已知，则代数式的值为（       ）
A．3021 B．1021 C．21 D．4021
【答案】C
【分析】将变形为与所求代数式相关的式子，即可代入求解．
【详解】将等式两边乘以，得，
则代数式，故答案为：C．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．
6．（2022·安徽·九年级专题练习）已知三个实数a，b，c满足，则下列结论不成立的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将等式整理得，，①+②可求值，进而可判断B的正误，将代入①式得，可判断C的正误，由，，，计算求解可判断A，D的正误．
【详解】解：∵，
∴，
①+②得，即
解得
∴B正确，故不符合题意；
将代入①式得
∴C正确，故不符合题意；
∵
∴
∴，
∴
∴D正确，故不符合题意；A错误，故符合题意；故选A．
【点睛】本题考查了等式的性质．解题的关键在于对等式性质的熟练掌握与灵活运用．

题型4 一元一次方程中的同解问题
解题技巧：通过前一个方程求得x的值并代入后一个方程，转化为含另一未知数的方程。
1．（2022·广东·七年级课时练习）若关于x的方程3x+2a＝12和方程2x﹣4＝12的解相同，则a的值为（　　）
A．4 B．8 C．6 D．﹣6
【答案】D
【分析】先求方程2x﹣4＝12的解，再代入3x+2a＝12，求得a的值．
【详解】解：解方程2x﹣4＝12，得x＝8，
把x＝8代入3x+2a＝12，得：3×8+2a＝12，
解得a＝﹣6．故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程解的定义．解答此题的关键是熟知方程组有公共解的含义，考查了学生对题意的理解能力．
2．（2022·陕西长安区·七年级期末）关于方程与的解相同，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】可以把3y看作一个整体，由题意可知两个方程的解相同，即可求出k的值．
【详解】解：∵
∴解得
又∵与同解
∴把代入得
解得故选C.
【点睛】本题主要考查了两个一元一次方程同解的问题，由已知条件把本题转换成含k的一元一次方程是解题的关键．
3．（2022·浙江台州·七年级期末）若关于的方程与的解互为相反数，则的值为__________．
【答案】15
【分析】分别求出两个方程的解，根据解互为相反数，则可求得m的值．
【详解】解方程，得；
解方程，得
由题意得：
∴m=15
故答案为：15
【点睛】本题考查了解一元一次方程、相反数的应用等知识，根据相反数列出方程是解题的关键．
4．（2022·四川成都·七年级期末）关于x的方程5m+3x＝1+x的解比方程2x＝6的解小2，则m＝_____．
【答案】##-0.2
【分析】先求出方程2x=6的解为x=3，可得方程5m+3x=1+x的解为x=1，把x=1代入5m+3x=1+x可得关于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值．
【详解】解方程2x＝6，得x＝3，
∵关于x的方程5m+3x＝1+x的解比方程2x＝6的解小2，
∴方程5m+3x＝1+x的解为x＝1，
∴5m+3＝1+1，
解得：m＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
5．（2022·广西贺州·七年级期末）已知关于x的方程的解与方程的解相同，试求a的值．
【答案】-6
【分析】先解方程4x+2=7-x，然后将解代入方程3x-7=2x+a中，求出a的值．
【详解】解：解方程，得：，
方程的解与方程的解相同，
把代入，得：，
解之，得．
的值为
【点睛】本题考查了方程的解，需要抓住“方程的解就是使方程成立的未知数的值”这个定义进行“求解-代入-求解”的过程，从而得到a的值．
6．（2022·浙江金华·七年级期末）已知关于x的方程是一元一次方程．(1)求k的值．(2)若已知方程与方程的解互为相反数，求m的值．
(3)若已知方程与关于x的方程的解相同，求m的值．
【答案】(1)；(2)；(3)．
【分析】（1）利用一元一次方程的定义可知，，求解即可；
（2）求出已知方程与方程的解，令其相加为0，求解即可；
（3）求出知方程与的解，令其相等，求解即可．
(1)解：∵是一元一次方程，
∴，，解之得：；
(2)解：将代入，得，解之得：，
解方程，得，
∵它们的解互为相反数，∴，解之得：；
(3)解：由（2）知已知方程的解为，
解方程，得，
∵它们的解相同，∴，解之得：．
【点睛】本题考查一元一次方程的定义，解一元一次方程，一元一次方程的解．解题的关键是根据一元一次方程的定义求出k的值，再解方程，比较方程的解．

题型5 方程的特殊解问题（求参数的值）
解题技巧：求含参数一元一次方程的逆过程。
1．（2022·全国）若是关于x的一元一次方程，且有唯一解，那么_______．
【答案】1.5
【分析】只含有一个未知数（元，并且未知数的指数是1（次的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是，是常数且．高于一次的项系数是0，据此可得出且，再用表示，代入原方程，即可得出的值．
【详解】解：方程是关于的一元一次方程，且有唯一解，
则且，
因为，，
把代入，得
，
所以，，
解得．
故答案为：1.5．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
2．（2022·河南安阳·七年级期末）关于x的方程的解是正整数，则整数k可以取的值是__________．
【答案】3
【分析】把含x的项合并，化系数为1求x，再根据x为正整数求整数k的值．
【详解】解：移项、合并，得，解得：，
∵x为正整数，k为整数，∴解得k=3．故答案为：3．
【点睛】本题考查一元一次方程的解．关键是按照字母系数解方程，再根据正整数解的要求求整数k的值．
3．（2022·重庆巴南·七年级期末）从，，，1，2，4中选一个数作为的值，使得关于的方程的解为整数，则所有满足条件的的值的积为（ ）
A． B． C．32 D．64
【答案】D
【分析】通过去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1，用含k的式子表示x，再根据条件，得到满足条件的k值，进而即可求解．
【详解】由，解得：，
∵关于的方程的解为整数，
∴满足条件的的值可以为：，，2，4，∴()×()×2×4=64，故选D．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，把k看作常数，掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．
4．（2022·沙坪坝·重庆一中）已知关于x的方程的解为偶数，则整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A．8 B．4 C．7 D．-2
【答案】A
【分析】首先将该方程的解表示出来，然后根据该方程的解为偶数，分情况进行讨论即可．
【详解】系数化1得，，移项得，，
合并同类项得，，解得，，
∵该方程的解为偶数，∴为偶数，∵，∴或，
①当时，，，，，，，
②当时，，，，，，，
综上所述，可取3,1，7，-3，∴a的所有可能的取值的和为，3+1+7-3=8，故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，偶数的概念等知识，解题的关键是分或两种情况进行讨论．
5．（2022·河南七年级期中）当时，方程（其中是未知数，是已知数）（ ）
A．有且只有一个解 B．无解 C．有无限多个解 D．无解或有无限多个解
【答案】D
【分析】根据一元一次方程的定义即可判断求解.
【详解】解：当a=1时，b≠0时，方程为b=0，与b≠0矛盾，故无解；
当a=1时，b=0时，方程为b=0，当x取任意值皆可，故有无数解，故选D．
【点睛】此题主要考查一元一次方程的解，解题的关键是熟知方程解得含义．
6．（2022·上海金山·八年级期末）如果关于x的方程ax＝b无解，那么a、b满足的条件（ ）
A．a＝0，b＝0 B．a≠0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a＝0，b≠0
【答案】D
【分析】根据方程无解，可知含x的系数为0，常数不为0，据此求解．
【详解】解：∵关于x的方程ax=b无解，∴a=0，b≠0，故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方
程的解，理解方程无解时含x的系数为0，常数项不为0是解题关键．

题型6 解方程
解题技巧：解含有括号的一元一次方程：一般方法是由内到外逐层去括号，但有时这样做不一定能简化运算。因此，应根据方程的结构特点，灵活运用恰当的去括号的方法，以达到计算简便准确的目的。
对于多重括号，即可以按由内向外的顺序去括号，也可以按由外向内的顺序去括号。有时，依据题目的数字特点，采取由外向内的顺序依次去括号，会使方程的变形更为简洁。
同时，当括号前面的系数较大时，且各项有相同的因式时，也可以整体上把握，逆用分配律，可使方程求解过程更为简单。
解分子分母中含有小数系数的方程：此类题型，需要运用分数的基本性质，先将分子和分母同时扩大，将小数化为整数，然后按照分数解方程的步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1来解方程。
1．（2022·上海市进才中学北校期中）解方程：3-2（2x-1）=5（1-x）
【答案】
【分析】按照去括号，移项、合并同类型等步骤，求解即可．
【详解】解：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
方程的解为
【点睛】此题考查了一元一次方程的求解，熟练掌握一元一次方程的求解方法是解题的关键．
2．（2022·山西七年级期末）（1）解方程： （2）解方程：
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）方程去括号，移项，合并，把系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项，合并，把系数化为1，即可求出解．
【详解】解：（1）去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：；
（2）去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
3．（2022·山东七年级期末）（1） （2）
【答案】（1）x= ；（2）x=-11
【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：（1）去括号得：6x﹣6﹣2+2x＝3+2x，
移项合并得：x＝；
（2）去分母得：12﹣4(x﹣1)＝36﹣3(x+3)，
去括号得：12﹣4x+4＝36﹣3x﹣9，
移项合并得：﹣x＝11，
解得：x＝﹣11．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数．
4．（2022·杭州市公益中学）解方程：
（1）6x＝4（x﹣1）+7．（2）＝5．
【答案】（1）x＝1.5；（2）x＝1.4
【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
【详解】解：（1）去括号，可得：6x＝4x﹣4+7，
移项，可得：6x﹣4x＝﹣4+7，
合并同类项，可得：2x＝3，
系数化为1，可得：x＝1.5．
（2）去分母，可得：3（1+3x）﹣2（2x﹣10）＝30，
去括号，可得：3+9x﹣4x+20＝30，
移项，可得：9x﹣4x＝30﹣3﹣20，
合并同类项，可得：5x＝7，
系数化为1，可得：x＝1.4．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
5．（2022·天津和平·七年级期末）解下列方程：
（1）﹣2； （2）．
【答案】（1）x＝﹣1；（2）x＝﹣3．
【分析】（1）按解一元一次方程的一般步骤，求解即可；
（2）利用分数的基本性质，先化去分母，再解一元一次方程．
【详解】解：（1）去分母，得2（2x﹣1）﹣（5x+2）＝3（1﹣2x）﹣12，
去括号，得4x﹣2﹣5x﹣2＝3﹣6x﹣12，
移项，得4x﹣5x+6x＝3﹣12+2+2，
合并，得5x＝﹣5，
系数化为1，得x＝﹣1；
（2），
整理，得15.5+x﹣20﹣3x＝1.5，
移项，得x﹣3x＝1.5﹣15.5+20，
合并，得﹣2x＝6，
所以x＝﹣3．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解决本题的关键．解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
6．（2022·北京初一课时练习）解方程：．
【答案】
【分析】根据题意依次进行分子、分母同乘10和去分母、去括号、移项、合并同类项以及系数化为1即可求解．
【解析】解：分子、分母同乘10，得．
去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．

题型8 含参数的一元一次方程
解题技巧：一元一次方程ax=b的解由a，b共同决定。
此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：
（1）当a≠0时，；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．
1．（2022·上海九年级专题练习）关于 x 的方程 ax=x+2(a1) 的解是________．
【答案】
【分析】依据等式的基本性质依次移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案．
【详解】解：移项，得：ax﹣x=2，合并同类项，得：（a﹣1）x=2．∵a≠1，∴a﹣1≠0，
方程两边都除以a﹣1，得：x=．故答案为：x=．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程的能力，熟练掌握等式的基本性质及解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．
2．（2022·上海松江区·八年级期末）关于的方程的解为__________．
【答案】
【分析】方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可表示出解．
【详解】解：方程a2（x﹣1）＝2﹣x，
去括号得：a2x﹣a2＝2﹣x，
移项合并得：（a2+1）x＝a2+2，
解得：x＝．
故答案为：x＝．
【点睛】此题考查解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
3．（2022·上海市南汇第四中学八年级月考）
【答案】当a=3时，方程无解；当a≠3时，x=
【分析】先去括号、移项、合并同类项，然后对a的不同取值分类求解即可．
【详解】∵，
∴ax-a=3x+3，
∴ax-3x=3+a，
∴(a-3)x=a+3，
∴当a=3时，方程无解；
当a≠3时，x=．
【点睛】本题考查了含参一元一次方程的解法，对参数分类讨论是解答本题的关键．
4．（2022·全国七年级单元测试）解关于x的方程，其中．
【答案】．
【分析】将方程整理成ax=b的形式，即(a−b)x=， 因为a≠0,b≠0,a≠b，所以a-b≠0，系数化为1即可．
【详解】解：两边同时乘以ab，得 即
移项，得 因为，即，所以．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练其解法是解决本题的关键．
5．（2022·吉林宽城区·七年级期中）解方程：．
【答案】x＝（a≠2）或x无解（a＝2）．
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
【详解】解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：或无解．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，解题的关键是要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
6．（2022·湖北课时练习）解关于x的方程：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得．
【解析】（1），
两边同乘以6去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2），
两边同乘以6去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．

题型9 一元一次方程中的错解和遮挡问题
1．（2022·内蒙古）某书中一道方程题：，处在印刷时被墨盖住了，查书后面的答案，得知这个方程的解是，那么处应该是数字（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】设处数字为a，把代入方程计算即可求出a的值．
【详解】解：设处数字为a，把代入方程，得：，解得：故选：B
【点睛】此题考查了一元一次方程的解及解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
2．（2022·仪征市实验初中七年级月考）下面是一个被墨水污染过的方程：2x﹣1＝3x＋答案显示此方程的解是x＝，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是______________
【答案】
【分析】设这个常数为a，将代入即可求出a的值．
【详解】解：设这个常数为a，将代入得：

解得：．故答案为：．
【点睛】此题考查的是利用方程的解求方程中的参数问题，将方程的解代入方程中求参数的值是解决此题的关键.
3．（2022·重庆·七年级课时练习）小亮在解方程时，由于粗心，错把看成了，结果解得，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将代入方程即可得出的值．
【详解】解：∵ 解方程时把看成了，结果解得，
∴是方程的解，
将代入得：，
解得：．故选B．
【点睛】本题考查一元一次方程的解及解一元一次方程，解题的关键是掌握方程的解的概念，即使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解．
4．（2022·北京·七年级单元测试）某同学在解关于x的方程3x-1=mx+3时，把m看错了，结果解得x=4，该同学把m看成了（        ）．
A．-2 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】把x=4代入方程计算即可求出错误m的值．
【详解】解：把x=4代入方程得：12-1=4m+3，
解得：m=2，故选：B．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2022·山东青岛·一模）小贤在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是x﹣2＝x +，怎么办呢？小贤想了想，便翻看书后答案，此方程的解是x＝﹣6，于是他很快就补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应是（　　）
A．﹣ B．﹣ C．﹣9 D．﹣2
【答案】A
【分析】设被污染的常数为a，将x=-6代入原方程得到关于a的一元一次方程，从而可求得a的值．
【详解】解：设被污染的常数为a．
将x=-6代入得：-4-2=+a，
解得：a=-．故选：A．
【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的解和一元一次方程的解法，根据方程的解的定义得到关于x的方程是解题的关键．
6．（2022·江苏·盐城市大丰区实验初级中学七年级阶段练习）小红在解关于x的方程：﹣3x+1＝3a﹣2时，误将方程中的“”看成了“3”，求得方程的解为x＝2，则原方程的解为_________．
【答案】
【分析】把x=2代入3x+1=3a-2，求出a的值，再把a的值代入原方程求解即可．
【详解】解：把x=2代入3x+1=3a-2，
得6+1=3a-2，
解得a=3，
故原方程为-3x+1=9-2，
-3x=6，
解得x=-2．
故答案为：x=-2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．

题型10 一元一次方程中的新定义问题
1．（2022·江苏南通市·七年级期末）在有理数范围内定义运算“”：，如：．如果成立，则的值是（ ）
A． B．5 C．0 D．2
【答案】B
【分析】根据新定义，将变形为方程，解之即可．
【详解】解：∵，∴可化为，解得：x=5，故选B．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程，新定义运算，解题的关键是根据题意掌握新运算的规律．
2．（2022·全国·七年级课时练习）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a、b两数中较小的数，例如min{2，-4}＝-4，则方程min{x，-x}＝3x＋4的解为（   ）
A．x＝－1 B．x＝－2 C．x＝－1或x＝－2 D．x＝1或x＝2
【答案】B
【分析】根据题意可得：min{x，-x}或，所以或，据此求出的值即可．
【详解】规定符号min{a，b}表示a、b两数中较小的数，
当min{x，-x}表示为时，
则，
解得，
当min{x，-x}表示为时，
则，
解得，
时，最小值应为，与min{x，-x}相矛盾，故舍去，
方程min{x，-x}＝3x＋4的解为，故选：B．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，能根据题意正确列出一元一次方程是解题的关键．
3．（2022·河北沧州·七年级期末）规定符号表示，两个数中较小的一个，规定符号表示，两个数中较大的一个，例如：，.则______；若，则的值为______.
【答案】          1
【分析】根据定义得出（-2，3），[-，-]表示的数，再根据有理数的加法法则计算即可；
根据定义可得关于m的一元一次方程，再解方程即可求出m的值．
【详解】解：由题意可知：
(−2，3)+[−，−]
=-2+（-）
=-；
根据题意得：
m-2+3×（-m）=-4，
解得m=1．
故答案为：-；1．
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，根据题中给出的定义理解（a，b）与[a，b]表示的意思是解答此题的关键．
4．（2022·河南南阳·七年级期中）如果两个方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程x﹣2＝0是方程x﹣1＝0的后移方程．
（1）判断方程2x+1＝0是否为方程2x+3＝0的后移方程______．（填“是”或“否”）：
（2）若关于x的方程3x+m+n＝0是关于x的方程3x+m＝0的后移方程，n的值为______．
【答案】     是     -3
【分析】（1）分别求出方程2x+1＝0和方程2x+3＝0的解，再根据后移方程的定义进行判断；
（2）分别用m、n表示出方程3x+m+n＝0和方程3x+m＝0的解，再根据后移方程的定义列出关于m、n的方程即可得解．
【详解】解：（1）解方程2x+1=0得：x= -，
解方程2x+3＝0得：x= -，
∵-= -，
∴方程2x+1＝0是方程2x+3＝0的后移方程，
故答案为：“是”；
（2）解方程3x+m+n＝0可得：，
解方程3x+m＝0可得：，
由题意可得：=+1，
解之可得n= -3．
故答案为：-3．
【点睛】本题考查新定义下的实数运算，在正确理解新定义的基础上结合一元一次方程的有关知识求解是解题关键．
5．（2022·河南驻马店·七年级期末）我们规定：若关于x的一元一次方程a＋x＝b（a≠0）的解为，则称该方程为“商解方程”．例如：2＋x＝4的解为x＝2且，则方程2＋x＝4是“商解方程”．请回答下列问题：(1)判断3＋x＝5是不是“商解方程”．
(2)若关于x的一元一次方程6＋x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．
【答案】(1)不是 (2)m＝
【分析】（1）求出方程的解是，再进行判断即可；
（2）先求出方程的解，再根据题意得出关于的方程，最后求出方程的解即可．
（1），，而，所以不是“商解方程”；
（2），，，关于的一元一次方程是“商解方程”，，解得：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键．
6．（2022·山西临汾市·七年级期中）阅读理解：已知a，b为有理数，且a≠0，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，我们就定义该方程为“和解方程”．
例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，因为﹣2＝﹣4+2，所以方程2x＝﹣4是“和解方程”．请根据上述定义解答下列问题：（1）方程3x＝﹣6　 　“和解方程”；（填“是”或“不是”）
（2）已知关于x的一元一次方程5x＝m是“和解方程”，求m的值；
（3）已知关于x的一元一次方程4x＝ab+b是“和解方程”，且它的解是x＝b，则a，b的值分别为　 　，　 　．
【答案】（1）不是（2）（3）3，．
【分析】（1）先解方程，再根据“和解方程“的定义判断，
（2）根据“和解方程“的定义得出x=5+m，再将其代入方程5x＝m之中进一步求解即可；
（3）根据“和解方程“的定义得出，结合方程的解为x＝b，进一步得出，然后代入原方程得，之后进一步求解a即可．
【详解】（1）∵的解为，而
∴方程3x＝﹣6不是“和解方程” 故答案为：不是；
（2）依题意，方程解为，
∵一元一次方程5x＝m是“和解方程”,∴，
∴将代入方程，解得，故答案为：；
（3）依题意，方程解为，
又，∴，∴把，代入原方程得：，解得：，
∵，∴，故答案为：3，．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的求解，根据题意准确得知“和解方程”的基本性质是解题关键．

题型11 一元一次方程中的整体换元
解题技巧：将含x的式子当作一个整体进行求解
1．（2022·河南驻马店·七年级期中）已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是_________．
【答案】
【分析】根据两个方程的特点，第二个方程中的y+1相当于第一个方程中的x，据此即可求解．
【详解】∵，
∴．
∵关于x的一元一次方程的解是x=71，
∴关于(y+1)的一元一次方程的解为：y+1=71，
解得：y=70，
故答案为：y=70．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解两个方程之间的特点是解题的关键．
2．（2022·江西景德镇·七年级期末）若是关于的方程的解，则关于的方程的解为______．
【答案】
【分析】将代入方程 可得，进而代入即可得到，根据等式的性质即可求得答案．
【详解】解：将代入方程，
，整理得，
则，
，解得，
故答案为．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解及等式的性质，熟练掌握等式两边相同未知数前面系数相等是解题的关键．
3．（2022·河南）已知关于x的一元一次方程x﹣3＝2x+b的解为x＝999，那么关于y的一元一次方程（y﹣1）﹣3＝2（y﹣1）+b的解为y＝_____．
【答案】1000
【分析】根据两个方程的关系：第二个方程中的y+1相当于第一个方程中的x，据此即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程x﹣3＝2x+b的解为x＝999，
∴关于y的一元一次方程（y﹣1）﹣3＝2（y﹣1）+b中y﹣1＝999，解得：y＝1000，故答案为：1000．
【点睛】此题考查解一元一次方程，利用整体思想，将第二个方程中的y+1看作第一个方程中的x是解题的关键．
4．（2022·浙江杭州市·七年级期末）已知关于x的一元一次方程点①与关于y的一元一次方程②，若方程①的解为，则方程②的解为______．
【答案】y=-673
【分析】根据题意得出-（3y-2）的值，进而得出答案．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程①的解为x=2021，
∴关于y的一元一次方程②中-（3y-2）=2021，
解得：y=-673，故答案为：y=-673．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，正确得出-（3y-2）的值是解题关键．
5．（2022·全国初一课时练习）解方程．
【答案】
【分析】方程去分母，去括号，移项合并，将y系数化为1即可求出解．
【解析】解：原方程可化为，即．
将看作一个整体进行合并，得，所以，移项，得．
【点睛】本题考查解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
6．（2022·山西忻州市·七年级期末）阅读材料，完成任务．
七年级同学在学完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同学发现在一元一次方程的部分习题和练习题中，存在着许多解题技巧，只要在解题中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则，就可以达成“一点通”的效果．小明是一名喜欢动脑筋的学生，在解方程时，不是直接给方程去括号，而是假设，然后把方程变形为：
，
，
．
，
解，得．
上面的问题中利用新的未知量来代替原来的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原来的未知量，从而得以求解，这种解方程的方法叫做换元法．
任务：参照材料中的解题方法解方程．
【答案】x=-4
【分析】根据题示的方法，设7-2x=a，将原方程转化为关于a的方程求解即可．
【详解】解：
设7-2x=a，则原方程变形为：

∴
解得，a=15
即7-2x=15，
解得，x=-4
【点睛】本题考查了换元法解方程．换元法的一般步骤为：设元，换元，解元，还原．

题型12 一元一次方程中的实际应用
解题技巧：与用字母表示式子的思路相同，寻找题干中的等量关系，利用未知数表示出来。
1．（2022·山东七年级期末）某商场专柜卖出A，B两件衣服，每件售价都是600元，其中每件A衣服赚25%，每件B衣服赔25%．下列说法正确的有（ ）个
①每件A衣服的成本价是480元． ②每件B衣服的成本价是800元． ③专柜售出这两件衣服是赔了80元． ④专柜售出这两件衣服是不赚也不赔
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】设赚钱的衣服的进价为x元，赔钱的衣服的进价为y元，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设赚钱的衣服的进价为x元，
依题意，得：600﹣x＝25%x，解得：x＝480，故①正确；
设赔钱的衣服的进价为y元，600﹣y＝﹣25%y，解得：y＝800，故②正确；
∴600﹣480+600﹣800＝﹣80，∴这两件衣服售出后商店亏了80元，故③正确，④错误；故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．（2022·湖北襄阳·七年级期末）2021年是中国共产党成立100周年，在庆祝建党100周年活动中，某学校组织开展了一次“中国共产党党史”竞赛，其中笔答环节共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是其中三名参赛者的得分情况．
参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
20
0
100
B
19
1
93
C
18
2
86
参赛者D得72分，他答错了______道题．
【答案】
【分析】根据表格可得答对1题得5分，答错1题扣2分，设参赛者D答对道题，根据得分72分列出方程，解方程求解即可．
【详解】解：∵参赛者A答对20道题，得100分，则答对1题得分，
参赛者B答对19道题，得93分，
则答错1题，扣分
设参赛者D答对道题，根据题意得，

解得
故答案为：
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，求得答错1题扣2分是解题的关键．
3．（2022·广东七年级期中）春节临近，各商家纷纷开展促销活动，甲、乙两个服装店的促销方式如下：
甲：全场按标价的6折销售；
乙：满100元送80元的购物券，再购买时购物券可以冲抵现金，但不再送券．
（如，顾客在乙店购买服装花370元，赠券240元，再次购买时，这240元券可以冲抵现金，但不再送券，且再次购买金额不低于240元）
小明发现，这两家店同时出售：A型上衣，标价均为340元；B型裤子，标价均为250元．
（1）小明要买一件A型上衣和一条B型裤子，选择哪一家店比较省钱？
（2）小明又发现，这两家店还同时出售C型裤子，标价也相同，且在240元以上．若分别在两家店购买一件A型上衣和一条C型裤子，最后付款额恰好一样，请问C型裤子的标价是多少元？
【答案】（1）选择乙店更省钱；（2）260元
【分析】（1）分别求出在甲、乙两家店买衣服的价钱，再进行比较，即可得出答案．
（2）设C型裤子的标价为x元，根据“在两家店购买一件A型上衣和一条C型裤子，最后付款额恰好一样”列出方程，即可得出答案．
【详解】解：（1）选甲店需付款：（340+250）×0.6＝354（元）；
选乙店需付款：340+（250﹣240）＝350（元）；
∵354＞350，∴选择乙店更省钱．
（2）设C型裤子的标价为x元．根据题意，得（340+x）×0.6＝340+x﹣240，解得，x＝260．
答：C型裤子的标价为260元．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意，明确等量关系是解题的关键．
4．（2022·河南南阳·七年级期末）【问题呈现】
某中学的学生以4千米/时的速度步行去某地参加社会公益活动，出发30分钟后，学校派一名通信员骑自行车以12千米/时的速度去追赶队伍，请问通信员用多少分钟可以追上队伍．
【自主思考】(1)根据题意，请画出示意图：
(2)相等关系为（请填空）：____________．
【建模解答】（请你完整解答本题）
【答案】(1)见解析
(2)学生步行30分钟所走的路程+通信员出发后队伍行走的路程=通信员追赶队伍所走的路程；通信员用15分钟可以追上队伍．
【分析】（1）根据题意，即可画出示意图；
（2）根据通讯员所走的路程=学生所走的总路程，列出一元一次方程，解方程即可求解．
（1）解：根据题意，画出示意图如图：

（2）解：相等关系为：学生步行30分钟所走的路程+通信员出发后队伍行走的路程=通信员追赶队伍所走的路程；故答案为：学生步行30分钟所走的路程+通信员出发后队伍行走的路程=通信员追赶队伍所走的路程；设通讯员用x小时可以追上学生队伍，根据题意可得：，解得：x=，×60=15(分钟) ，答：通信员用15分钟可以追上队伍．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，画出草图，找出题中的等量关系是解本题的关键．
5．（2022·江苏南京·初一期末）列方程解应用题：
用甲、乙、丙三部抽水机从矿井里抽水，单独用一部抽水机抽完，用甲需要24小时，用乙需要30小时，用丙需要40小时，现在甲、丙同时抽了6小时后，把乙机加入，问乙加入后还需要多少时间才能把井里的水抽完．
【答案】６小时，过程见详解．
【分析】设还需小时可以抽完，分别表示出三台抽水机的工作量，利用工作量总和为1，列出方程解答即可．
【解析】解：设还需小时可以抽完，由题意得：
，解得：，答：还需6小时可以抽完．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握工作总量、工作时间、工作效率之间的数量关系是解决问题的关键．
6．（2022·浙江温州市·七年级期中）一家电信公司推出手机话费套餐活动，具体资费标准见下表：
套餐月租费（元/月
套餐内容
套餐外资费

主叫限定时间（分钟）
被叫
主叫超时费（元/分钟）
58
50
免费
0.25
88
150
0.20
118
360
0.15
说明：①主叫：主动打电话给别人；被叫：接听别人打进来的电话．
②若办理的是月租费为58元的套餐：主叫时间不超过50分钟时，当月话费即为58元；若主叫时间为60分钟，则当月话费为元．其它套餐计费方法类似．
（1）已知小聪办理的是月租费为88元的套餐，小明办理的是月租费为118元的套餐．他们某一月的主叫时间都为分钟（）．
①请用含的代数式分别表示该月他们的话费，化简后填空：
小聪该月的话费为________元；小明该月的话费为________元．
②若该月小聪比小明的话费还要多14元，求他们的通话时间．
（2）若小慧的两个手机号码分别办理了58元、88元套餐．该月她的两个号码主叫时间一共为220分钟，总话费为152元，求她两个号码的主叫时间分别可能是多少分钟．
【答案】（1）①0.2m+58，64+0.15m；②400分钟；（2）40分钟和180分钟或74分钟和146分钟
【分析】（1）①因为m＞360分钟，所以两人的话费均由套餐费和主叫超时费两部分组成，根据具体数字列出式子即可；②根据①中式子，结合小聪比小明的话费还要多14元列出方程，解之即可；
（2）分当x≤50时，当50＜x＜70时，当x≥70时，三种情况分别列出方程，解之即可．
【详解】解：（1）①由题意可得：小聪该月的话费为88+0.2（m-150）=0.2m+58（元），
小明该月的话费为118+0.15（m-360）=64+0.15m（元），
②由题意可得：0.2m+58=64+0.15m+14，解得：m=400，∴他们的通话时间为400分钟；
（2）设办理了58元套餐的手机号码主叫时间为x分钟，
当x≤50时，220-x≥170，则58+88+0.2（220-x-150）=152，解得：x=40，220-40=180分钟；
当50＜x＜70时，则58+0.25（x-50）+88+0.2（220-x-150）=152，解得：x=90，不符合，舍去；
当x≥70时，则58+0.25（x-50）+88=152，解得：x=74，220-74=146分钟，
综上：两个号码的主叫时间分别是40分钟和180分钟或74分钟和146分钟．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，能读懂数表弄清数量关系是解题关键．