2022-2023学年苏科版七年级数学上册重难题型全归纳 专题09 一元一次方程的应用十二大题型（原卷+解析卷）

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专题09 一元一次方程的应用 十二大题型
一元一次方程的应用题属于必考题，需要完全掌握各个类型的应用题，该专题将应用题分为分段计费、方案优化选择、行程问题、工程问题、商品销售问题、比赛积分问题、日历问题（数字问题）、配套问题、调配问题、和差倍分问题（比例问题）、几何图形问题等共进行方法总结与经典题型进行分类。
1.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类
题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
注意：
（1）“审”指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，及它们之间的关系，寻找等量关系；
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
2 .建立书写模型常见的数量关系
1）公式形数量关系：生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。
长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长
2）约定型数量关系：利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。
3）基本数量关系：在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。
单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×时间=总工作量等。
3.分析数量关系的常用方法
1）直译法分析数量关系：将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。
2）列表分析数量关系：当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
3）图解法分析数量关系：用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。

题型1 分段计费问题
【解题技巧】总费用=未超标部分的费用+超标部分的费用。
已知费用求需判定的所属范围；若无法知道费用对应的具体范围时，需对其进行不同范围的分类讨论。
注：需审题仔细，看清计费标准是否有“超过部分”。
常见试题背景：水费、电费、气费、车费、纳税、社保医保体系等
1．（2022·山东·潍坊市寒亭区教学研究室二模）潍坊出租车采用阶梯式的计价收费办法如下表：
行驶里程
计费方法
不超过3公里
起步价8元
超过3公里且不超过7公里的部分
每公里按标准租费收费
超过7公里且不超过25公里的部分
每公里再加收标准租费的50%
超过25公里且不超过100公里的部分
每公里再加收标准租费的75%
超过100公里的部分
每公里再加收标准租费的100%
说明：行驶里程不足1公里，按1公里计算；
行驶里程超过3公里时的标准租费为1.8元/公里．
若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为（       ）
A．13公里 B．12公里 C．11公里 D．10公里
【答案】C
【分析】设行驶里程为x公里，乘车费用为26元．根据题意列出一元一次方程求解即可．
【详解】解：设行驶里程为x公里，乘车费用为26元．
若，根据题意得，不成立．
若，根据题意得．解得（舍）．
若，根据题意得．解得．
若，根据题意得．
解得（舍）．
若时，根据题意得．
解得（舍）．
∴若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为11公里．故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键．
2．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）某市按以下规定收取每月水费：每立方米水费包括基本水费和污水处理费两部分.基本水费实行阶段收费：若每月每户用水不超过10立方米，则每立方米基本水费按2元收费；若超过10立方米则超过部分每立方米按3元收费；污水处理费每立方米均按0.5元收取，
(1)已知该用户当月用水量为x立方米，当0≤x≤10时当月所付水费金额为　 　元；当x>10时当月所付水费金额为　 　元.（用含x的式子表示）
(2)如果某户居民在某月所交水费为42.5元，那么这个月这户居民共用多少立方米的水？
【答案】(1)， (2)这个月这户居民共用15立方米的水
【分析】（1）当时，当月所付水费等于每立方米按2元收费的基本水费与每立方米按元收取的污水处理费之和；当时，当月所付水费等于10立方米按2元收费，超过10立方米部分每立方米按3元收费的基本水费与每立方米按元收取的污水处理费之和；
（2）设这个月这户居民共用立方米的水，先判断出，再根据每月水费的收取规定建立方程，解方程即可得．
（1）解：由题意得：当时，当月所付水费金额为（元），
当时，当月所付水费金额为（元），
故答案为：，．
（2）解：设这个月这户居民共用立方米的水，
因为，所以，
由题意得：，
即，解得，
答：这个月这户居民共用15立方米的水．
【点睛】本题考查列代数式、一元一次方程的应用，理解每月水费的收取规定，正确建立方程是解题关键．
3．（2022·四川广安·七年级期末）国家提倡节能减排，创造节约型社会，某城市提出实施居民生活用水年度阶梯水价，具体水价标准见下表：
类别
水费价格（元/立方米）
污水处理费（元/立方米）
综合水价（元/立方米）
第一阶梯（含）立方米
3.5
1.5
5
第二阶梯（含）立方米
5.25
1.5
6.75
第三阶梯立方米
10.5
1.5
12
例如，某户家庭年用水128立方米，应缴纳水费：（元）．
(1)小明家2019年共用水160立方米，则应缴纳水费多少元？
(2)小敏家2019年共用水立方米（），请用含的代数式表示应缴纳的水费．
(3)小慧家2019年，2020年两年共用水360立方米，已知2020年的年用水量少于2019年的年用水量，且2020年的年用水量高于120立方米，两年共缴纳水费2220元，求小慧家这两年的年用水量分别是多少？（列一元一次方程求解）
【答案】(1)870元 (2)元
(3)小慧家2019年用水220立方米，2020年用水140立方米
【分析】（1）根据表格中规定的分段计算方法列式计算可得；
（2）利用总价=单价×数量，结合阶梯水价，即可得出结论；
（3）设2019年用水x立方米，则2020年用水（360-x）立方米．根据两年共缴纳水费2220元即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论
（1）解：小明家2019年应缴纳水费为：
（元）；
（2）解：小敏家2019年共用水立方米，则应缴纳的水费为：
元；
（3）解：设小慧家2019年用水立方米，则2020年用水立方米，
则，解得，120<360-x<180,
根据题意得：．
解得：．2020年用水量：（立方米）．
答：小慧家2019年用水220立方米，2020年用水140立方米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．
4．（2022·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学七年级阶段练习）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：
档次
月用电量
电价（元/度）
第1档
不超过240度的部分
a
第2档
超过240度但不超过400度的部分
0.65
第3档
超过400度的部分
a+0.3
已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费157元．
(1)表中a的值为          ；(2)求老李家9月份的用电量；(3)若8月份老李家用电的平均电价为0.7元/度，求老李家8月份的用电量．
【答案】(1)0.6(2)260度(3)560度
【分析】（1）利用电费=电价×月用电量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值；
（2）设老李家9月份的用电量为x度，先求出月用电量为240度时的电费，由该值小于157，可得出x＞240，再利用电费=144+0.65×超过240度的部分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）设老李家8月份的用电量为y度，根据8月份老李家用电的平均电价为0.7元/度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
（1）依题意得：200a=120，解得：a=0.6．故答案为：0.6；
（2）设老李家9月份的用电量为x度，
∵0.6×240=144（元），144＜157，∴x＞240．
依题意得：144+0.65（x-240）=157，解得：x=260．
答：老李家9月份的用电量为260度．
（3）设老李家8月份的用电量为y度，
依题意得：144+0.65×（400-240）+（0.6+0.3）（y-400）=0.7y，解得：y=560．
答：老李家8月份的用电量为560度．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．（2022·湖北七年级期末）下表中有两种移动电话计费方式．

月使用费
主叫限定时间
主叫超时费
被叫
方式一
48元
50min
0.2元/min
免费
方式二
98元
320min
0.15元/min
免费
（1）若每月的主叫时间为x分钟（x为正整数），请填写下表（直接填写化简后的结果）：
主叫时间x（min）
方式一计费（元）
方式二计费（元）
0＜x≤50


50＜x≤320


x＞320


（2）若你的月主叫时间超过50min，但不超过320min，要选择计费更低的计费方式，请你做出选择，并说明理由．
【答案】（1）填表后见详解；（2）50＜x＜300时，选择方式一计费更低；x＝300时，计费一样；300＜x≤320时，选择方式二计费更低
【分析】（1）根据表中数据可直接得出：当0＜x≤50时，方式一和方式二的计费；当50＜x≤320时，方式一的计费方式需要列出相应的代数式，根据总费用等于月使用费用加主叫超时费用即可得出，方式二还是可直接从表中读出计费；当x＞320时，方式一和方式二都根据总费用计算方法列代数式即可；（2）在50＜x≤320范围内，先根据（1）所列代数式，找到方式一和方式二费用相同时的限定时间为，然后将50＜x≤320分为50＜x＜300、300＜x≤320进行讨论，即可确定在什么情况下，选择何种方式计费更低．
【详解】（1）根据图表可得：当0＜x≤50时，方式一计费为48元，方式二计费为98元；
当50＜x≤320时，方式一计费为：，方式二计费为98元；
当x＞320时，方式一计费为：，
方式二计费为：．
填表后如下：
主叫时间x（min）
方式一计费（元）
方式二计费（元）
0＜x≤50
48
98
50＜x≤320
0.2x＋38
98
x＞320
0.2x＋38
0.15x＋50
（2）由，得．
当50＜x＜300时，可知0.2x＋38＜98，此时选择方式一计费更低；
当x＝300时，选择方式一与方式二，计费一样；
当300＜x≤320时，可知0.2x＋38＞98，此时选择方式二计费更低．
【点睛】题目主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是根据表中的数据和已知条件列出相应的代数式和方程，然后根据方程的解得出最省钱的方式．
6．（2022·重庆·七年级期末）某城市电费收取实施阶梯电价计费，具体方案如下：
用电时段
高峰期
低谷期
时段范围
第一天－
－第二天
电价
0.55元/度
0.30元/度
某日小强观察了一下自家的电能表，并分别记录了第一天早，晚和第二天早这三个时刻的读数分别是（单位：度）．（1）求小强家这一天应付电费多少元？
（2）为节省开支，小强建议他爸不要在“高峰期”给电动车充电，改在“低谷期”充电，结果该天小强家应付电费为元，假定小强家每天电动车充电和其它用电的电量不变，求小强他爸的电动车充电用电多少度？
【答案】（1）7元；（2）3度
【分析】（1）分别计算出高峰期和低谷期小强家的用电度数，然后根据各自的单价求解电费即可；
（2）设小强他爸的电动车充电用电多少度，则小强家“高峰期”用电10－（度），“低谷期”用电5＋（度），然后根据题意列出方程求解即可得到答案.
【详解】解：（1）小强家“高峰期”用电1368－1358＝10（度），“低谷期”用电1373－1368＝5（度），
故应付电费10×0.55＋5×0.30＝7（元），答：小强家这一天应付电费7元；
（2）设小强他爸的电动车充电用电多少度，
则小强家“高峰期”用电10－（度），“低谷期”用电5＋（度）
应付电费（10－）×0.55＋（5＋）×0.30＝6.25解得，
答：小强他爸的电动车充电用电3度．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程求解.

题型2.方案优化问题
解题技巧：此类题型，一般会提供多种方案供选择，要求我们选出最合算的方案。解此类题型有2种思路。
思路1：分别求解出每种方案的最终费用，在比较优劣
思路2：求解出每种方案费用相同时的临界点，在根据临界点进行讨论分析。
1．（2022·北京密云·二模）某街道居委会需印制主题为“做文明有礼北京人，垃圾分类从我做起”的宣传单，其附近两家图文社印制此种宣传单的收费标准如图所示：

（1）为达到及时宣传的目的，街道居委会同时在A、B两家图文社共印制了1500张宣传单，印制费用共计179元，则街道居委会在A图文社印制了______张宣传单；
（2）为扩大宣传力度，街道居委会还需要再加印5000张宣传单，在A、B两家图文社中，选择______图文社更省钱（填A或B）．
【答案】     800     B
【分析】（1）：设街道居委会在A图文社印制了张宣传单，则在B图文社印制了张宣传单，由题意知，，计算求解的值即可；
（2）印制5000张宣传单，在A图文社印制需要元，在B图文社印制需要元；比较费用的大小，进而可得答案．
【详解】（1）解：设街道居委会在A图文社印制了张宣传单，则在B图文社印制了张宣传单，
由题意知，，
解得，，
故答案为：800．
（2）解：由题意知，印制5000张宣传单，在A图文社印制需要元；
在B图文社印制需要元；
∵，
∴B图文社更省钱，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于审清题意，正确的列方程求解．
2．（2022·湖南·永顺县教育科学研究所七年级期末）葡萄加工厂现收购10吨葡萄，该葡萄的出原汁率80%（原汁含皮带籽）.若在市场上直接销售原汁，每吨可获利润500元；制成葡萄汁（葡萄汁不含皮不带籽）销售，每加工1吨原汁可获利润1200元；制成葡萄饮料销售，每加工1吨原汁可获利润2000元.该厂的生产能力是：若制葡萄汁，每天可加工3吨原汁；若制葡萄饮料，每天可加工1吨原汁；受人员和设备限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批葡萄必须在4天内全部销售或加工完毕.为此，该厂设计了两种可行方案：（将葡萄榨成原汁时间忽略不计）
方案一：尽可能多的制成葡萄饮料，其余直接销售原汁；
方案二：将一部分制成葡萄饮料，其余制成葡萄汁销售，并恰好4天完成.
(1)方案一获利情况.(2)方案二如何安排原汁的使用.(3)请你帮葡萄加工厂选一种方案，使这10吨葡萄既能在4天内全部销售或加工完毕，又能获得你认为最多的利润.
【答案】(1)（元）；
(2)2吨做制葡萄饮料，6吨做葡萄汁；
(3)选择第二种方案
【分析】（1）方案一是尽可能多的葡萄饮料，也就是四天都制葡萄饮料，每天加工一吨，可加工4吨，剩下的4吨原汁直接销售；
（2）设x天制葡萄饮料，则天制成葡萄汁销售，由此列出方程解答即可；
（3）比较两种方案的利润得出答案即可．
（1）吨，方案一获利（元）；
（2）设天制葡萄饮料，则天制成葡萄汁销售，
由题意得，
解得：，
，
（吨），（吨）
答：2吨做制葡萄饮料，6吨做葡萄汁．
（3）方案二获利元，
10000＜11200，
所以选择第二种方案．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，方案的选择问题，理解方案的含义，找出题目蕴含的数量关系解决问题．
3．（2022·成都市·七年级单元测试）公园门票价格规定如下表：
购票张数
张
张
100张以上
每张票的价格
13元
11元
9元
某校初一（1）、（2）两个班共104人去游公园，其中（1）班人数较少，不足50人．经估算，若两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问：
(1)两班各有多少学生？(2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？
(3)如果初一（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？
【答案】(1)初一（1）班有48人，则初一（2）班有56人(2)304元(3)48人买51张票可以更省钱
【分析】（1）若设初（1）班有x人，则初一（2）班有（104-x）人，根据初一（2）班的人数是否超过100张，分类讨论并根据总价钱即可列方程；
（2）由题意可得购买104张票只有9元一张，列式计算即可得到答案；
（3）应尽量设计的能够享受优惠，购买51张票时只有11元一张，计算即可得出答案．
（1）解：设初一（1）班有x人，则初一（2）班有（104-x）人，
根据题意得，或，
解得：或（不合题意，舍去）
所以初一（1）班有48人，则初一（2）班有56人；
（2）可省钱：（元），
所以可省304元钱；
（3）要想享受优惠，由（1）可知初一（1）班有48人，元，
但若多买3张票，需要花费元，
∵，∴48人买51张票可以更省钱．
【点睛】本题考查的是最优化设计问题，一元一次方程的应用，掌握利用一元一次方程解决分段费用问题是本题的关键．
4．（2022·广西玉林·七年级期末）七年级某班准备购买一些羽毛球和羽毛球拍，现从甲、乙两店了解到：同一款式的羽毛球和羽毛球拍价格相同，一套（一盒羽毛球和一副羽毛球拍）总价60元，一副羽毛球拍的单价是一盒羽毛球单价的4倍．甲店的优惠政策是：每买一副羽毛球拍赠送一盒羽毛球，每多买的一盒羽毛球按原价付款；乙店的优惠政策是：一盒羽毛球和一副羽毛球拍都按定价实行9折优惠．
(1)求一盒羽毛球和一副羽毛球拍的单价分别是多少？
(2)若购买5副羽毛球拍和m（m不少于5）盒羽毛球，当m为多少时，到甲、乙两店购买付款一样多？
【答案】(1)一盒羽毛球的单价是12元，一副羽毛球拍的单价是48元；
(2)当m为30时，到甲、乙两店购买付款一样多．
【分析】（1）设一盒羽毛球的单价是x元，则一副羽毛球拍的单价是4x元，再根据等量关系“一套总价60元”列出方程即可得解；
（2）由题意得12（m﹣5）+48×5＝0.9×12m+0.9×48×5即可解答．
（1）解：设一盒羽毛球的单价是x元，则一副羽毛球拍的单价是4x元，依题意得x+4x＝60，解得：x＝12，所以4x＝48，答：一盒羽毛球的单价是12元，一副羽毛球拍的单价是48元．
（2）（2）由题意得，12（m﹣5）+48×5＝0.9×12m+0.9×48×5，解得：m＝30，答：当m为30时，到甲、乙两店购买付款一样多．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的应用，审清题意、明确等量关系是解答本题的关键．
5．（2022·湖北孝感·七年级期末）一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表：
销售量
单价
不超过100件的部分
3元/件
超过100件不超过200件的部分
2.5元/件
超过200件的部分
2元/件
如购买120件这种商品，则需100×3＋（120－100）×2.5＝350（元）
(1)求购买100件、200件和260件这种商品，分别需要多少元？
(2)某人购买这种商品花了400元，求他购买了这种商品多少件？
(3)若某人花了n（n＞0）元，恰好购买了件这种商品，求n的值．
【答案】(1)购买100件需要300元，购买200件需要550元，购买260件需要670元
(2)他购买了这种商品140件 (3)650
【分析】（1）根据总价＝单价×数量结合表格中的数据，即可求出分别购买100件、200件、260件时花费的总钱数；
（2）设他购买了这种商品x件，由可得出，根据300＋（购买件数−100）×2.5＝总钱数（400元），即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）分、及三种情况，列出关于n的一元一次方程，解之即可得出结论；
(1)解：购买100件商品需：（元），
购买200件商品需：（元），
购买260件商品需：（元）；
(2)设他购买了这种商品x件，
因为，所以，
依题意有：，
解之得：，
故他购买了这种商品140件；
(3)若，则，
解之得：，
因为n＞0，此种情况不合题意，舍去，
若，则，
解之得：，
因为，所以此种情况不合题意，舍去，
若，则，
解之得：，
综上所述，．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．判断购买商品所在的范围，并能根据不同的范围计算花费是解决本题的关键．

题型3 行程问题
解题技巧：行程问题总公式为：路程=速度×时间。
解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．
行程问题可分为四大类，不同类型的问题，在求解速度时有所不同，具体如下：
①相遇问题（或相向问题）：

速度和×时间=总路程
②追及问题：
同时不同地：

速度差×时间=起点间的距离
同地不同时：

速度差×时间=先行路程
不同时不同地：

速度差×时间=起点间的距离+先行路程
③航行问题：（1）顺流速度=静水速度+水流速度；（2）逆流速度=静水速度-水流速度。
④火车过桥问题：火车过桥问题是一种特殊的行程问题，需要注意的是从车头至桥起，到车尾离桥止，火车所行距离等于桥长加上车长，列车过桥问题的基本数量关系为：车速×过桥时间=车长+桥长。
1．（2022·陕西·西安七年级期末）甲、乙两人分别从相距2000米的A，B两地步行出发相向而行，两人速度保持不变，若两人同时出发，则他们10分钟之后相遇；若乙比甲先出发4分钟，则甲出发8分钟之后，甲乙两人相遇，则甲的速度为（     ）
A．70米/分钟 B．80米/分钟 C．90米/分钟 D．100米/分钟
【答案】D
【分析】根据题意可算出甲、乙两人的速度之和，设甲的速度为米分，可表达出乙的速度，根据题意可列出方程，从而求解即可．
【详解】解：根据题意可知，甲、乙两人的速度之和为（米分），
设甲的速度为米分，则乙的速度为米分，
根据题意可知，，解得．故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用行程问题，解题的关键是根据相遇问题得出甲、乙的速度和．
2．（2022·河北·涿州市双语学校七年级期末）已知下列两个应用题：
①现有60个零件的加工任务，甲单独每小时可以加工4个零件，乙单独每小时可以加工6个零件．现甲乙两人合作，问两人开始工作几小时后还有20个零件没有加工？
②甲乙两人从相距20km的两地同时出发，背向而行，甲的速度是4km/h，乙的速度是6km/h，问经过几小时后两人相距60km？
其中可以用方程4x+6x+20＝60表述题目中数量关系的应用题是（   ）
A．① B．② C．①② D．①②都不对
【答案】C
【分析】①设两人开始工作x小时后还有20个零件没有加工，根据甲生产的零件数＋乙生产的零件数＋未加工的零件数＝计划加工零件的总数，即可得出关于x的一元一次方程；②设经过x小时后相距60km，根据甲的路程＋乙的路程＋原来两人间隔的距离＝两地间的距离，即可得出关于x的一元一次方程．
【详解】解：①设两人开始工作x小时后还有20个零件没有加工，
依题意，得：4x＋6x＋20＝60，∴①可以用方程4x＋6x＋20＝60来表述；
②设经过x小时后两人相距60km，依题意，得：4x＋6x+20＝60，
∴②可以用方程4x＋6x＋20＝60来表述；
综上分析可知，①②可以用方程4x+6x+20＝60表述题目中数量关系，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
3．（2022·广东七年级期末）已知A、B两站间的距离为480千米，一列慢车从A站出发，一列快车从B站出发，慢车的平均速度为60千米/时，快车的平均速度为100千米/时，如果两车同时出发，慢车在前，快车在后，同向而行，那么出发后________小时两车相距80千米．
【答案】10或14
【分析】可设出发后x小时两车相距80千米，分两种情况：两车相距80千米时慢车在前；两车相距80千米时快车在前列方程，解方程即可求解．
【详解】解：设出发后x小时两车相距80千米，当慢车在前时，
100x﹣60x＝480﹣80，解得x＝10，
当快车在前时，100x﹣60x＝480+80，解得x＝14，
答：出发后10小时或14小时两车相距80千米，故答案为：10或14．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，涉及路程问题，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
4．（2022·湖北七年级期末）轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用2h，船在静水中的速度为26km/h，水速为2km/h．设A港和B港相距x km．根据题意，列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设A港和B港相距x千米，根据行船问题公式可知，顺水速度较快，所用时间较少，所以利用行程问题公式，列方程为： ，变形为：，据此选择．
【详解】解：设A港和B港相距x千米，，
变形为：∴方程为：故选B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，抓住关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．顺水速度=水流速度+静水速度，逆水速度=静水速度-水流速度．
5．（2022·河南·南阳市第九中学校七年级阶段练习）小莉和同学在“五一”假期去森林公园玩，在溪流边的A码头租了一艘小艇，逆流而上，划行速度8千米/时．到B地后沿原路返回，速度增加50%，回到A码头比去时少花了20分钟．求A、B两地之间的路程．
【答案】8千米
【分析】设A、B两地之间的路程为x千米，根据等量关系式：回到A码头比去时少花了20分钟列出方程，解方程即可．
【详解】解：设A、B两地之间的路程为x千米，
依题意得：，解得：x＝8．
答：A、B两地之间的路程为8千米．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．
6．（2022·宁夏·银川北塔中学七年级期末）周末小明和爸爸在400米的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如下对话：

(1)请根据它们的对话内容，求出小明和爸爸的骑行速度；
(2)爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸跑道上相距50米？
【答案】(1)小明的骑行速度为200米/分，爸爸的骑行速度为400米/分；
(2)爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过或分钟，小明和爸爸相距50米．
【分析】（1）设小明的骑行速度为x米/分，则爸爸的骑行速度为2x米/分，根据距离=速度差×时间即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过y分钟，小明和爸爸跑道上相距50米．根据距离=速度差×时间即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
（1）解：设小明的骑行速度为x米/分，则爸爸的骑行速度为2x米/分，
根据题意得：2（2x-x）=400，解得：x=200，
∴2x=400．
答：小明的骑行速度为200米/分，爸爸的骑行速度为400米/分；
（2）解：设爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过y分钟，小明和爸爸相距50米．
400y-200y=50，解得y=；
爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，爸爸又比小明多骑了350米，
根据题意得：400y-200y=350，解得y=．
答：爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过或分钟，小明和爸爸相距50米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，由路程差找出合适的等量关系列出方程，再求解．

题型4工程问题
【解题技巧】我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。
工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1”，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复杂的工程问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。
1．（2022·广东江门·七年级期末）有一项城市绿化整治任务交甲、乙两个工程队完成，已知甲单独做10天完成，乙单独做8天完成，若甲先做1天，然后甲、乙合作x天后，共同完成任务，则可列方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】据甲完成的工程量+乙完成的工程量=总工程量，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：，故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．（2022·云南文山·七年级期末）整理一批图书，如果由一个人单独做要花40小时．现先由一部分人用1小时整理，随后增加5人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作．假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？
【答案】10
【分析】等量关系为：所求人数1小时的工作量+所有人2小时的工作量=1，把相关数值代入即可求解．
【详解】设先安排整理的人员有x人，依题意得，
,
解得： ，
答：先安排整理的人员有10人．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．此题用到的公式是：单人工作效率×工作时间×人数=工作量．
3．（2022·新疆乌鲁木齐·七年级期末）将一段长为1.2千米河道的整治任务交由甲、乙两个工程队接力完成，共用时60天．已知甲队每天整治24米，乙队每天整治16米，求甲、乙两队分别整治河道多少米？
【答案】甲、乙两队分别整治河道720米、480米
【分析】设甲整治河道为x米，则乙整治河道为（1200－x）米，根据“将一段长为1.2千米河道的整治任务交由甲、乙两个工程队接力完成，共用时60天”，列方程求解即可．
【详解】解：设甲整治河道为x米，则乙整治河道为（1200－x）米，
由题意得， ,
解得，x＝720，
1200－x＝480（米），
答：甲、乙两队分别整治河道720米、480米．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
4．（2022·浙江台州·一模）新农村建设中，某镇成立了新型农业合作社，扩大了油菜种植面积，今年2000亩油菜喜获丰收．该合作社计划租赁5台油菜收割机机械化收割，一台收割机每天大约能收割40亩油菜．
(1)求该合作社按计划几天可收割完这些油菜；
(2)该合作社在完成了一半收割任务时，从气象部门得知三天后有降雨，于是该合作社决定再租赁3台油菜收割机加入抢收，并把每天的工作时间延长10%，请判断该合作社能否完成抢收任务，并说明理由．
【答案】(1)该合作社按计划10天可收割完这些油菜
(2)该合作社能完成抢收任务，理由见解析
【分析】（1）设该合作社按计划天可收割完这些油菜，再根据“工作效率工作时间=工作总量”列一元一次方程并解答即可；
（2）先求出增加3台油菜收割机后一天的收割量，再求出三天的收割量，然后和1000亩进行比较即可．
(1)解：设该合作社按计划天可收割完这些油菜
解得：
答：该合作社按计划10天可收割完这些油菜；
(2)解：原来一天的收割量：（亩），
现在一天的收割量：（亩），
现在三天可完成的收割量：（亩）亩．
答：该合作社能完成抢收任务．
【点睛】本题考查了一元一次方程应用中的工程问题，找到等量关系是解答本题的关键．
5．（2022·云南大理·）列方程解应用题：在洱海保护治理工作中，洱海生态廊道建设是洱海保护体系的最后一道污染物拦截防线，也是洱海最重要的一道生态安全屏障．大理市政府于2019年启动了129公里洱海生态廊道建设．截止2020年10月止，已经完成主体建设68公里，其余61公里正在全线推进．记者了解到：其中有一段长2400米的河道需要工程队进行整治．甲工程队每天可完成35米，乙工程队每天可完成45米．（1）若该任务由甲、乙两个工程队合作完成，请问整治这段河道任务用了多少天？
（2）若在前期，由于乙工程队需要机械维修，则先由甲工程队单独整治一段时间，剩下的工程由甲、乙两队来合作完成．整治完了全部河道共用时48天，求甲、乙工程队分别整治了多少米的河道？
【答案】（1）30天；（2）甲、乙工程队分别整治了1680米、720米的河道．
【分析】（1）设甲、乙两队合作天可完成任务，由总工程2400米列一元一次方程，解一元一次方程即可；
（2）设甲先整治了米，则剩余米由甲、乙两队合作完成，根据所用时间48天，列一元一次方程，解一元一次方程即可解题．
【详解】解：（1）设甲、乙两队合作天可完成任务，根据题意列方程，
解方程，得，
答：该任务由甲、乙两个工程队合作完成，则需要用时30天．
（2）设甲先整治了米，则剩余米由甲、乙两队合作完成，
根据题意列方程，解方程，得，
甲队先整治的时间为（天），
剩余工程由甲、乙两队合作整治的时间为（天），
甲队整治河道（米），乙队整治河道（米），
答：甲工程队分别整治了1680米，乙工程队分别整治了720米的河道．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6．（2022·哈尔滨工业大学附属中学校开学考试）某小区建完之后，需要做内墙粉刷装饰，现有甲、乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷个房间，乙工程队每天能粉刷个房间．且单独粉刷这些墙面甲工程队比乙工程队要多用天，在粉刷的过程中，该开发商要付甲工程队每天费用元，付乙工程队每天费用元．（1）求这个小区共有多少间房间？（2）为了尽快完成这项工程，若先由甲、乙两个工程队按原粉刷速度合作一段时间后，甲工程队停工了，而乙工程队每天的粉刷速度提高乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间是甲工程队的工作时间的倍还多天，求乙工程队共粉刷多少天？（3）经开发商研究制定如下方案:
方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：按（3）问方式完成；
请你通过计算帮开发商选择一种既省时又省钱的粉刷方案．
【答案】（1）间；（2）天；（3）选择方案三既省时又省钱．
【分析】（1）设乙队要刷天，利用甲乙粉刷的房间数一样列方程求解，从而可得答案；
（2）设甲工程队粉刷天，则乙工程队粉刷天，利用各部分的工作量之和等于总工作量列方程，从而解方程可得答案；
（3）先分别计算三种方案的完成工作的工作时间，分别计算出三种情况下的费用，比较以后可得结论．
【解析】解：（1）设乙队要刷天，
根据题意得:，解得（间），
答:这个小区共有间房间．
（2）设甲工程队粉刷天，则乙工程队粉刷天，
根据题意得：，
解得（天），答：乙工程队共粉刷天．
（3）方案一：由甲工程队单独完成需要时间和费用:（天)，（元）
方案二：由乙工程队单独完成需要天，费用：（元），
方案三：按（2）问方式完成需要时间为天，
费用：（元）
且，方案三最合适，
答：选择方案三既省时又省钱．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的实际应用，以及最优化的选择问题，掌握以上知识是解题的关键．

题型5 商品销售问题
【解题技巧】此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。
实际售价＝标价×打折率 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．
在解决复杂商品销售问题时，通常会多设原价为a这个未知数，虽然在解题过程中，这个未知数会被消掉。但是，若不设这个未知数，许多关系就不好表达了。
1．（2022·甘肃·甘州中学七年级期末）某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，若按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，则在这次买卖中，他(     )
A．不赚不赔 B．赔了12元 C．赔了18元 D．赚了18元
【答案】C
【分析】要知道赔赚，就要先算出两件衣服的原价，要算出原价就要先设出未知数，然后根据题中的等量关系列方程求解．
【详解】设在这次买卖中第一件原价是x，则可列方程：（1+25%）x＝135，
解得：x＝108，比较可知，第一件赚了27元；设第二件原价是，
第二件可列方程：（1﹣25%）＝135，解得：＝180，比较可知亏了45元，
两件相比则一共亏了45﹣27＝18元．故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明白盈利与亏本的含义，准确列出计算式，计算结果，难度一般．
2．（2022·河南郑州·七年级期末）某种商品每件的进价为80元，标价为120元．为了拓展销路，商店准备打折销售，若使利润率为，设商店打x折销售，则依题意得到的方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用售价减去进价等于利润即可得到方程．
【详解】解：根据题意可列一元一次方程：
．故选：C．
【点睛】本题主要考查列一元一次方程，理解题意是解题的关键．
3．（2022·海南·东方市港务中学七年级期中）某帮扶公司以每吨500元的价格收购了100吨某种药材．若直接在市场上销售，每吨的售价是1000元．该公司决定加工后再出售，相关信息如下表所示：
工艺
每天可加工药材数量（吨）
成品率
售价(元/吨)
粗加工
14
80%
5000
精加工
6
60%
11000
注：①出品率指加工后所得产品的质量与原料的质量的比值；②加工后的废品不产生效益．受市场影响，该公司必须在10天内将这批药材加工完毕，现有3种方案：
A．若全都粗加工；则粗加工合格的成品总量是 吨，粗加工销售总收入是 元，粗加工的利润是 元 ；
B．若尽可能多的精加工，其余的的直接在市场上销售；则精加工合格的成品总量是 吨，精加工销售总收入是 元，剩余未加工药材的销售总收入是 元．
C．部分粗加工，部分精加工，恰好10天完成所有药材的加工．请计算C种方案的总利润．
结论：通过3种方案的利润评估， 方案获得的利润最大．（填A 、B、C字母）
【答案】A．80；400000；350000．B．60；396000；40000．C．428000元．结论：C
【分析】根据收购价可求出收购费用，根据表中信息求出上述歌空，并分别求出三种方案的利润，比较即可得答案．
【详解】解：∵每吨药材的收购价是500元，
∴100吨药材的收购费用是500×100＝50000（元）
A方案：∵100吨药材全部被粗加工，
∴所需加工的时间是100÷14≈8（天），在规定的时间内完成，
∴粗加工合格的成品总量为：100×80%=80（吨），
∴粗加工销售总收入为：5000×80=400000（元），
∴粗加工的利润为：400000－50000＝350000（元），
故答案为：80；400000；350000．
B方案：∵尽可能多地精加工，剩余的直接在市场上销售，
∴10天可精加工的药材量是6×10＝60（吨）
∴精加工销售总收入为：11000×60×60%＝396000（元）
∵剩余100－60＝40（吨）的药材直接在市场上销售，每吨的售价为1000元，
∴剩余未加工药材的销售总收入为：1000×40＝40000（元）
故答案为：60；396000；40000．
∴两项合计可得利润为：396000＋40000－50000＝386000（元）
C方案：设粗加工x天，
∵部分精加工，部分粗加工，且恰好共10天完成，
∴精加工（10-x）天，
∴解得：x＝5
∴这种方案共可获得利润14×5×80%×5000＋6×5×60%×11000－50000＝428000（元）
∵350000<386000<428000
∴C方案获得的利润最大．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据题意正确得出等量关系是解题关键．
4．（2022·四川成都实外七年级期末）为了丰富学生的课余生活、拓展学生的视野，学校小卖部准备购进甲、乙两类中学生书刊．若购买400本甲和300本乙共需要6400元．其中甲、乙两类书刊的进价和售价如下表：

甲
乙
进价（元/本）
m
m﹣2
售价（元/本）
20
13
（1）求甲、乙两类书刊的进价各是多少元？（2）第一次小卖部购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润（利润＝售价﹣进价）为5750元，求小卖部甲、乙两类书刊分别购进多少本？（3）第二次小卖部购进了与上次一样多的甲、乙两类书刊，由于两类书刊进价都比上次优惠了10%，小卖部准备对甲书刊进行打折出售，乙书刊价格不变，全部售完后总利润比上次还多赚10元，求甲书刊打了几折？
【答案】（1）甲类书刊的进价是10元，乙类书刊的进价是8元；（2）甲类书刊购进350本，乙类书刊购进450本；（3）甲书刊打了9折
【分析】（1）根据购买400本甲和300本乙共需要6400元列方程，解方程即可求解；
（2）设甲类书刊购进x本，则乙类书刊购进（800﹣x）本，由全部售完后总利润（利润＝售价﹣进价）为5750元可列方程，解方程结可求解；（3）设甲书刊打了a折，分别求解800本书的进价和售价，根据800本书的利润列方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）由题意得400m+300（m﹣2）＝6400，解得m＝10，∴m﹣2＝10﹣2＝8（元），
答：甲类书刊的进价是10元，乙类书刊的进价是8元；
（2）设甲类书刊购进x本，则乙类书刊购进（800﹣x）本，
由题意得（20﹣10）x+（13﹣8）（800﹣x）＝5750，解得x＝350，
∴800﹣x＝800﹣350＝450（本），
答：甲类书刊购进350本，乙类书刊购进450本；
（3）设甲书刊打了a折，
800本书的进价为（350×10+450×8）×（1﹣10%）＝6390（元），
800本书的售价为350×20450×13＝700a+5850，
800本书的利润为700a+5850﹣6390＝5750+10，
解得a＝9，答：甲书刊打了9折．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
5．（2022·福建七年级期末）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利=售价-进价）

甲
乙
进价（元/件）
22
30
售价（元/件）
29
40
（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？（3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？
【答案】（1）购进甲种商品150件、乙种商品90件；（2）1950元；（3）8.5折
【分析】（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，根据单价×数量=总价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）根据总利润=单件利润×销售数量，列式计算即可求出结论；（3）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，
根据题意得：22x+30=6000，解得：x=150，∴=90，
答：该超市第一次购进甲种商品150件、乙种商品90件．
（2）（29-22）×150+（40-30）×90=1950（元）．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1950元．
（3）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，
根据题意得：（29-22）×150+（40×-30）×90×3=1950+180，解得：y=8.5．
答：第二次乙商品是按原价打8.5折销售．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据总利润=单件利润×销售数量列式计算；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
6．（2022·重庆八中）春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．俗称新春、新年、新岁、岁旦、年禧、大年等，口头上又称度岁、庆岁、过年、过大年．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某水果店现推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为200元．每盒坚果礼盒的成本为150元，每个水果篮的售价比每盒坚果的售价多100元，售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润一样多．（1）求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价．（2）在年末时，该水果店购进水果篮1250个和坚果礼盒1200盒，进行“新春特惠”促销活动，水果店规定，每人每次最多购买水果篮1个或坚果礼盒1盒．水果篮每个售价打九折后再参与店内“每满100元减m元”的活动，坚果礼盒每盒直接参与店内“每满100元减m元”的活动；售卖结束时，坚果礼盒全部售卖完，售卖过程中由于部分水果变质导致水果篮有50个没办法售出．若该水果店获得的利润率为20%，求m的值．
【答案】（1）每个水果篮的售价为300元，每盒坚果礼盒的售价为200元；（2）10
【分析】（1）设每盒坚果礼盒的售价为元，则每个水果篮的售价为元，根据售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润一样多，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据促销方案找出每个水果篮和每盒坚果礼盒的活动价，根据利润=销售收入-总成本，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论.
【详解】（1）设每盒坚果礼盒的售价为元，则每个水果篮的售价为元，依题意得：，得：，每个水果篮的售价为：，
答：每个水果篮的售价为300元，每盒坚果礼盒的售价为200元.
（2）： (元），每个水果篮的活动价为元，
每盒坚果礼盒的售价为元，每盒坚果礼盒的活动价为元，依题意得：

解得：．答：的值为．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系正确列出一元一次方程是解题的关键．

题型6 比赛积分问题
解题技巧：此类问题，主要是通过积分来列写等式方程。需要注意，有些比赛结果只有胜负；有的比赛结果又胜负和平局。
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数 比赛积分=胜场积分+负场积分+平场积分
1．（2022·山西·古县七年级期末）小明与他的爸爸一起做“投篮球”游戏．两人商定游戏规则为：小明投中1个得2分，小明爸爸投中1个得1分，两人共投中了25个．经计算，发现小明比爸爸多得2分，你知道小明投中几个吗？设小明投中x个，根据题意，列方程正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设小明投中数为x个，根据投中总数25个，可知小明爸爸投中数为25-x个，由题可知小明比爸爸多得2分，根据得分的数量关系列方程求解．
【详解】解：设小明投中数为x个，可知小明爸爸投中数为25-x个，由题可知小明比爸爸多得2分，根据题意列方程：
；故选：A
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解实际应用中已知条件和未知数的数量关系．
2．（2022·陕西·紫阳县师训教研中心七年级期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．答对一题得x分，答错一题扣2分．在此次竞赛中，有一位参赛者答对14道题，答错6道题，这位参赛者的最终得分为72分．则x＝________．
【答案】6
【分析】根据题意可直接进行列方程进行求解．
【详解】解：由题意得：
，
解得：；
故答案为：6
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
3．（2022·江苏盐城·七年级期末）某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下表：
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
A
18
14
4
32
B
18
11
7
29
C
18
9
9
27
根据表格提供的信息，可知胜一场积 _____分．
【答案】2
【分析】根据C队情况确定胜一场和负一场共积3分，然后设胜一场积x分，则负一场积（3﹣x）分，根据A队情况列出一元一次方程并求解即可．
【详解】解：观察C队情况，可知胜一场和负一场的积分之和为27÷9=3分．
设胜一场积x分，则负一场积（3﹣x）分．
根据A队情况得14x+4（3﹣x）＝32．
解得x＝2．∴胜一场积2分．故答案为：2．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键．
4．（2022·福建漳州·七年级期末）篮球赛单循环赛一般按积分确定名次．胜一场得2分，负一场得1分．某次篮球联赛中，太阳队目前的战绩是7胜5负，后面还要比赛13场．若太阳队的最终得分为40分，求太阳队一共胜了几场？
【答案】15场
【分析】解：设太阳队后13场比赛胜x场，则负(13-x) 场，根据太阳队的最终得分为40分，列出方程，解之即可
【详解】解：设太阳队后13场比赛胜x场，
根据题意，得．解得，
太阳队一共胜的场数为：8+7=15(场)．
答：太阳队一共胜15场．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数是解题的关键．
5．（2022·福建·厦门市湖滨中学七年级期中）某次篮球联赛积分榜如下表所示：
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
前进
14
10
4
24
东方
14
9
5
23
远大
14
7
7
21
恒大
14
4
10
18
蓝天
14
0
14
14
(1)通过观察积分表，填空：胜一场得 分，负一场得 分．
(2)雄鹰队也参加了本次篮球联赛，获得积分25分，问雄鹰队的胜、负场次情况．
(3)联赛中还有一个队伍，队长电话向当地组织者汇报，说队伍在比赛中获得胜场和负场的积分一样多，请你通过数学计算判断该队长是否说谎．
【答案】(1)2，1(2)雄鹰队胜11场、负3场(3)该队长说谎了
【分析】（1）根据题意可得“蓝天”负14场，得14分；“前进队”胜10场，负4场，得24分，可得到负一场得1分，从而得到“前进队”胜10场，得20分，即可求解；（2）设雄鹰队胜场数是m，则负场数是（14-m），根据“积分25分”列出方程，即可求解；（3）设该队场数是x，则负场数是（14-x），根据“队伍在比赛中获得胜场和负场的积分一样多”列出方程，即可求解．
(1)解：根据题意得：“蓝天”负14场，得14分；“前进队”胜10场，负4场，得24分，
∴负一场得分，∴“前进队”胜10场，得分，
∴胜一场得分；故答案为：2，1；
(2)设雄鹰队胜场数是m场，则负场数是（14-m）场，依题意得：
，解得： ，∴，
答：该雄鹰队胜11场；负3场；
(3)设该队场数是x场，则负场数是（14-x）场，依题意得：
，解得： ，
∵x为整数，∴不符合题意，舍去，
∴该队伍在比赛中获得胜场和负场的积分不可能一样多，
故该队长说谎了．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
6．（2022·山东七年级课时练习）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况．
（1）参赛者小婷得76分，她答对了几道题？
（2）参赛者小明说他得了80分．你认为可能吗？为什么？
参赛者
答对题数
答错题数
总得分
甲
20
0
100
乙
19
1
94
丙
14
6
64
【答案】（1）16道；（2）不可能，理由见解析．
【分析】（1）由图表中甲的答题情况和得分可知答对一题得5分，由乙和丙可知答错一题不但不给分，还要倒扣1分，由此设设小婷答对x道题，根据题意列方程，解一元一次方程即可；
（2）设小明答对x道，则答错道，根据题意列一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：（1）由图表中甲的答题情况和得分可知答对一题得5分，由乙和丙可知答错一题不但不给分，还要倒扣1分，设小婷答对x道题，根据题意得方程：，
解得，答：小婷答对了16道题；
（2）不可能．设小明答对x道，则答错道，根据题意得，解得，
答对题数不是整数，所以不可能．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

题型7 配套问题
【解题技巧】因工艺上的特点，某几个工序之间存在比例关系，需这几道工序的成对应比例才能完全配套完成，这类题型为配套问题。配套问题，主要利用配套的比例来列写等式方程。
“配套”型应用题中有三组数据：（1）车间工人的人数；（2）每人每天平均能生产的不同的零件数；（3）不同零件的配套比。利用（3）得到等量关系，先构造分式方程，再利用比例的性质交叉相乘积相等得到一元一次方程。
1．（2022·山西·七年级课时练习）某校手工社团30名学生制作纸飞机模型，每人每小时可做20个机身或60个机翼，一个飞机模型要一个机身配两个机翼，为了使每小时制作的成品刚好配套，应该分配多少名学生做机身，多少名学生做机翼？设分配x名学生做机身，则可列方程为（          ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设分配x名学生做机身，根据一个飞机模型要一个机身配两个机翼，则飞机模型的个数乘以2等于机翼的个数，据此列出一元一次方程即可求解．
【详解】设分配x名学生做机身，则可列方程为, 故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系是解题的关键．
2．（2022·山东威海·期末）一张方桌由一个桌面、四条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面40个或做桌腿240条，现有6m3木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好配套？设用x立方米木料做桌面，由题意列方程，得__________．
【答案】
【分析】设用x立方米木料做桌面，则用立方米木料作桌腿，根据一个桌面配四个桌腿列出方程即可．
【详解】解：设用x立方米木料做桌面，则用立方米木料作桌腿，
由题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意是解题的关键．
3．（2022·山东青岛·七年级期末）七年级1班共有学生45人，其中男生人数比女生人数少3人．某节课上，老师组织同学们做圆柱形笔筒，每名学生每节课能做筒身30个或筒底90个．
(1)七年级1班有男生、女生各多少人？(2)原计划女生负责做筒身，男生做筒底，要求每个筒身匹配2个筒底，那么每节课做出的筒身和筒底配套吗？如果不配套，男生要支援女生几人，才能使筒身和筒底配套？
【答案】(1)男生21人，女生24人(2)不配套；男生要支援女生3人
【分析】（1）根据男生人数+女生人数＝总人数，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（2）根据题意，可以计算出原计划制作的筒身和筒底数，然后看一下数量是否是二倍的关系即可判断原计划生产的是否配套；然后根据判断设男生要支援女生a人，再列方程，解答即可．
(1)解：设女生有x人，则男生有（x﹣3）人，
由题意可得：x+（x﹣3）＝45，解得x＝24，∴x﹣3＝21，
答：七年级1班有男生21人，女生24人．
(2)解：女生可以做筒身：24×30＝720（个），男生可以做筒底：21×90＝1890（个），
∵720×2＜1890，∴原计划每节课做出的筒身和筒底不配套；
设男生要支援女生a人，才能使筒身和筒底配套，根据题意得：
（24+a）×30×2＝（21﹣a）×90，解得a＝3，
答：男生要支援女生3人，才能使筒身和筒底配套．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系式，是解题的关键．
4．（2022·江西上饶·七年级期末）某车间有技术工人56人，平均每天每人可加工甲种部件18个或乙种部件15个，2个甲种部件和3个乙种部件配成一套，问加工甲、乙两种部件各安排多少人才能使每天加工的两种部件刚好配套？并求出加工了多少套？
【答案】安排20人加工甲部件，安排36人加工乙部件，一共加工了180套
【分析】设安排x人加工甲部件，则安排（56-x）人加工乙部件，等量关系为：3×18×加工甲部件的人数=2×15×加工乙部件的人数，依此列出方程，解方程即可．
【详解】解：设安排x人加工甲部件，则安排（56-x）人加工乙部件，依题意得：
， 解得 x=20，
乙：56-20=36（人），则加工＝180（套），
答：安排20人加工甲部件，安排36人加工乙部件，一共加工了180套．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键是设出加工甲的人数，表示出乙的人数，根据配套情况列方程求解．
5．（2022·辽宁阜新·七年级期末）某服装厂要生产同一种型号的服装，已知3m长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套．
(1)列一元一次方程解决问题：现库内存有布料200m，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可以生产多少套衣服？
(2)如果恰好有这种布料327m，最多可以生产多少套衣服？本着不浪费的原则，如果有剩余，余料可以做几件上衣或裤子？
【答案】(1)用120米布做上衣，80米布做裤子才能恰好配套，可以生产80套衣服
(2)布料327m，最多可以生产130套衣服，余料可以做1件上衣或2条裤子
【分析】（1）设做上衣的布料用x米，则做裤子的布料用 (200-x)米，根据3米长的某种布料可做上衣2 件或裤子3条，得出做上衣与裤子所用的布料关 系，进而得出方程求解即可；
（2）由已知先求出一套衣服用料2.5米，用327÷2.5＝130...2，再根据本着不浪费的原则 可以得出结论．
(1)解：设做上衣用x米布，则做裤子用（200-x）米布，依题意有：，
解得：x=120，则：200-x=80，
答：用120米布做上衣，80米布做裤子才能恰好配套，可以生产80套衣服．
(2)∵做一件上衣用米布，做一条裤子用1米布，
∴一套服装用2.5米布，
3272.5=130剩余2米布，
∴布料327米，最多可以生产130套衣服，余料可以做1件上衣或2条裤子．
【点睛】本题主要考查的是一元一次方程应用题中的配套问题，根据题意列出对应的方程是解题的关键．
6．（2022·广西防城港·初一期末）劳作课上，王老师组织七年级5班的学生用硬纸制作圆柱形笔筒．七年级5班共有学生55人，其中男生人数比女生人数少3人，每名学生每小时能剪筒身30个或剪筒底90个．
（1）七年级5班有男生，女生各多少人；
（2）原计划女生负责剪筒身，男生负责剪筒底，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，男生应向女生支援多少人，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．
【答案】（1）七年级5班有男生26人，女生29人；（2）不配套，男生应向女生支援4人，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．
【分析】（1）设七年级5班有男生x人，则有女生（x+3）人，根据男生人数+女生人数=55列出方程，求解即可；（2）分别计算出26名男生和29名女生剪出的筒底和筒身的数量，可得不配套；设男生应向女生支援y人，根据制作筒底的数量=筒身的数量×2列出方程，求解即可．
【解析】解：(1)设七年级5班有男生x人，则有女生（x+3）人，由题意得：
x+x+3=55，解得x=26，女生：26+3=29（人）．
答：七年级5班有男生26人，女生29人；
（2）男生剪筒底的数量：26×90=2340（个），女生剪筒身的数量：29×30=870（个），
∵一个筒身配两个筒底，2340:870≠2:1，
∴原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，每小时剪出的筒身与筒底不配套．
设男生应向女生支援y人，由题意得：90×（26﹣y）=（29+y）×30×2，解得y=4．
答：男生应向女生支援4人，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．
【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．

题型8 调配问题
【解题技巧】调配问题中，调配前后总量始终保持不变，可利用这个关系列写等式方程，有时又在调配前后的变化中找等量关系。
调出者的数量=原有的数量－调出的数量 调进者的数量=原有的数量+调入的数量
1．（2022·杭州市公益中学七年级期末）A、B两地果园分别有苹果20吨和30吨，C、D两地分别需要苹果15吨和35吨；已知从A、B到C、D的运价如表：

A果园
B果园
到C地
每吨15元
每吨10元
到D地
每吨12元
每吨9吨
（1）若从A果园运到C地的苹果为x吨，则从A果园运到D地的苹果为　 　吨，从B果园将苹果运往C地的苹果为　 　吨，从B果园将苹果运往D地的苹果为　 　吨．
（2）若从A果园运到C地的苹果为x吨，用含x的代数式表示从A果园到C、D两地的总运费是　 　元；用含x的代数式表示从B果园到C、D两地的总运费是　 　元．
（3）若从A果园运到C地的苹果为x吨，从A果园到C、D两地的总运费和B果园到C、D两地的总运费之和是545元，若从A果园运到C地的苹果为多少吨？
【答案】（1）（20-x），（15-x），（x+15）；（2）（3x+240），（285-x）；（3）10吨
【分析】（1）由A果园的苹果吨数结合从A果园运到C地的苹果吨数即可得出从A果园运到D地的苹果重量，再根据C、D两地需要的苹果重量即可得出从B果园运到C、D两地苹果的重量；
（2）根据运费=重量×每吨运费即可得出从A果园到C、D两地的总运费，再根据运费=重量×单吨运费即可得出从B果园到C、D两地的总运费；
（3）根据（2）的结论结合总运费即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）∵A果园有苹果20吨，从A果园运到C地的苹果为x吨，
∴从A果园运到D地的苹果为（20-x）吨，从B果园将苹果运往C地的苹果为（15-x）吨，
∴从B果园将苹果运往D地的苹果为35-（20-x）=（x+15）吨．
故答案为：（20-x），（15-x），（x+15）；
（2）从A果园到C、D两地的总运费是15x+12（20-x）=（3x+240）元；
从B果园到C、D两地的总运费是10（15-x）+9（x+15）=（285-x）元．
故答案为：（3x+240），（285-x）；
（3）根据题意得：3x+240+285-x=545，解得：x=10．
答：从A果园运到C地的苹果为10吨．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数，解题的关键是：（1）根据数量关系：A果园苹果总重量=A果园运往C地苹果重量+A果园运往D地苹果重量，B果园苹果总重量=B果园运往C地苹果重量+B果园运往D地苹果重量列出代数式；（2）根据运费=重量×每吨运费列出代数式；（3）结合（2）结论以及总运费列出关于x的一元一次方程．
2．（2022·山东师范大学第二附属中学）在我市某新区的建设中，现要把188吨物资从仓库运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为12吨/辆和8吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
运往地车型
甲地（元辆）
乙地（元辆）
大货车
640
680
小货车
500
560
（1）求这两种货车各用多少辆？（2）如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，运往甲、乙两地的总运费为w元，请用含a的代数式表示w；（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资为100吨，请求出安排前往甲地的大货车多少辆，并求出总运费．
【答案】（1）大货车11辆，小货车7量；（2）10800；（3）5辆，10900元
【分析】(1) 首先设大货车用x辆，则小货车用(18-x)辆，利用所运物资为188吨得出等式方程求出即可；
(2)根据安排10辆货车前往甲地，前往甲地的大货车为a辆，得出小货车的辆数，进而得出w与a的函数关系；(3)根据运往甲地的物资为100吨，列出方程即可得出a的取值，进而解答．
【详解】(1) 设大货车用x辆，则小货车用(18-x)辆，
12x+8（18-x）=188解得x=11，∴18-x=7，
答：大货车11辆，小货车7量；
(2)∵安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，
∴w=640a+680（11-a）+500（10-a）+560（a-3）=20a+10800；
(3)12a+8（10-a）=100，解得a=5，∴w=10900．
答：排前往甲地的大货车5辆，总运费为10900元．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，列代数式，代数式求值计算，正确理解题意，根据问题设出对应的未知数，依据等量关系列得方程解决问题是解题的关键．
3．（2022·陕西咸阳七年级月考）甲仓库有水泥吨，乙仓库有水泥吨，要全部运到、两工地，已知工地需要吨，工地需要吨，甲仓库运到、两工地的运费分别是元/吨、元/吨，乙仓库运到、两工地的运费分别是元/吨、元/吨，本次运动水泥总运费需要元．（运费：元/吨，表示运送每吨水泥所需的人民币）
（1）设甲仓库运到工地水泥为吨，请在下面表格中用表示出其它未知量．

甲仓库
乙仓库
A工地


B工地


（2）用含的代数式表示运送甲仓库吨水泥的运费为________元．（写出化简后的结果）
（3）求甲仓库运到工地水泥的吨数．
【答案】（1）； （2） （3）30吨
【分析】（1）根据题意填写表格即可；（2）根据表格中的数据，以及已知的运费表示出总运费即可；
（3）根据本次运送水泥总运费需要25900元列方程化简即可．
【详解】（1）设甲仓库运到A工地水泥的吨数为x吨，则运到B地水泥的吨数为（100﹣x）吨，乙仓库运
到A工地水泥的吨数为（70﹣x）吨，则运到B地水泥的吨数为（x+10）吨，补全表格如下：

（2）运送甲仓库100吨水泥的运费为:140x+150（100﹣x）=﹣10x+15000，故答案为：﹣10x+15000；
（3），整理得：．解得．
答：甲仓库运到工地水泥的吨数是吨．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意找到相等关系是解本题的关键．
4．（2022·山东七年级期中）温州和杭州某厂同时生产某种型号的机器若干台，温州厂可支援外地10台，杭州厂可支援外地4台，现在决定给武汉8台，给南昌6台，每台机器的运费（单位：元台）如下表．设杭州厂运往南昌的机器为台．
终点
起点
南昌
武汉
温州厂
400
800
杭州厂
300
500
（1）用含的代数式来表示总运费；（2）若总运费为8400元，求杭州厂运往南昌的机器应为多少台？
（3）试问有无可能使总运费是7800元？若有可能，请写出相应的调动方案；若无可能，请说明理由．
【答案】（1）元，；（2）杭州厂运往南昌的机器应为4台；（3）方案为从杭州向南昌调动1台，向武汉调动3台；从温州向南昌调动5台，向武汉调动5台．
【分析】（1）总运费四条路线运费之和（每一条运费台数运费）；
（2）利用（1）的表达式，令其等于8400，解方程即可；
（3）让（1）的表达式等于7800，解方程求解．如果解有意义就说明有可能，否则就没可能．
【详解】解：（1）设杭州运往南昌的机器为台，则杭州运往武汉的机器为台，温州运往南昌的机器为台，温州运往武汉的机器为台，
则总运费（元；
（2）当总运费为8400元时，得，解得：.
故杭州厂运往南昌的机器应为4台；
（3）可能，依题意有，解得，符合实际意义，
方案为从杭州向南昌调动1台，向武汉调动3台；从温州向南昌调动5台，向武汉调动5台．
【点睛】此题考查的知识点是一元一次方程的应用，关键明确：总费用四条路线的运费之和（每一条路线的运费台数运费）．
5．（2022·乐平七年级月考）现从两个蔬菜市场A，B向甲、乙两地运送蔬菜，已知A，B各有蔬菜14t，甲地需要蔬菜15t，乙方地需要蔬菜13t，从A到甲地运费50元/t，到乙地30/t；从B到甲地运费60元/t，到乙地45元/t．
（1）设A市场运送到甲地的蔬菜为t，请完成下表：

运往甲地（t）
运往乙地（t）
A


B


（2）若总运费为1280元，则A市场运送到甲地的蔬菜为多少吨？
【答案】（1）见解析；（2）1吨．
【分析】（1）根据A地到甲地运送蔬菜x吨，则B地到甲地（15-x）吨，再由A、B两地的蔬菜量，可得A、B运往乙地的数量．（2）根据题意，列出方程求解即可．
【详解】解：（1）13-（14-x）=x-1，完成填表：

运往甲地（t）
运往乙地（t）
A

14-x
B
15-x
x-1
（2）50x+30（14-x）+60（15-x）+45（x-1）=1280，
整理得：5x+1275=1280，解得：x=1．
∴若总运费为1280元，则A地到甲地运送蔬菜1吨．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是正确求解第一问，注意方程思想的运用．
6．（2022·杭州七年级期中）甲仓库有水泥110吨，乙仓库有水泥70吨，现要将这些水泥全部运往两工地，调运任务承包给某运输公司．已知工地需水泥100吨，工地需水泥80吨，从甲仓库运往两工地的路程和每吨每千米的运费如表：

路程（千米）
运费（元/吨·千米）
甲仓库
乙仓库
甲仓库
乙仓库
地
25
20
1
0.8
地
20
15
1.2
1.2
（1）设甲仓库运往地水泥吨，则甲仓库运往地水泥_______吨，乙仓库运往地水泥_______吨，乙仓库运往地水泥________吨（用含的代数式表示）；
（2）用含的代数式表示总运费，并化简；
（3）若某种运输方案的总运费是3820元，请问具体的调运方案是怎样的？
【答案】（1），，；（2）总运费为元；（3）从甲仓库运往地水泥吨，甲仓库运往B地水泥为吨；乙仓库运往地水泥为吨；乙仓库运往地水泥为吨．
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）由（1）及表格可直接进行列式求解；
（3）由（2）及题意可得，然后解方程即可．
【详解】解：（1）设甲仓库运往地水泥吨，由题意得：
甲仓库运往B地水泥为：吨；乙仓库运往地水泥为吨；乙仓库运往地水泥为吨；故答案为，，；
（2）由（1）及表格可得：总运费为：
==；∴总运费为元；
（3）由（2）及题意可得：，解得：，
∴从甲仓库运往地水泥吨，甲仓库运往B地水泥为：吨；乙仓库运往地水泥为吨；乙仓库运往地水泥为吨；
答：具体调运方案为从甲仓库运往地水泥吨，甲仓库运往B地水泥为吨；乙仓库运往地水泥为吨；乙仓库运往地水泥为吨．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．

题型9 数字与日历问题
解题技巧：已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖邻相邻两数相差7，即可设日历中某数为（在日历中该数上下左右都有相应数字），横行相邻数为，；竖邻两数为，；
注：求出的数必须是整数且符合画框要求。
1．（2022·河北沧州·七年级期末）一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，求原两位数.设原两位数的个位数字是，根据题意可列方程为(     )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出原两位数的十位数字是，再根据将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99建立方程即可．
【详解】解：由题意得：原两位数的十位数字是，
则可列方程为，故选：D．
【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．
2．（2022·浙江台州·七年级期末）在编写数学谜题时，“”内要求填写同一个数字，若“”内数字为，则列出方程正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据十位数的表示方法表示，进而得出方程．
【详解】解：设“”内数字为
则故选：D．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际问题，正确表示出十位数是解决本题的关键．
3．（2022·陕西西安·七年级期末）如图，在2022年元月份的月历表中，任意框出表中竖列上相邻的四个数，则这四个数的和可能是（   ）

A．42 B．60 C．78 D．86
【答案】C
【分析】由于表中竖列上相邻两列的数相差7，所以可设这四个数中最小的一个数为x，则其余的三个数为x+7，x+14，x+21，然后根据这四个数的和分别等于四个选项中的数列出方程，求出方程的解，然后根据实际意义取值即可．
【详解】解：设这四个数中最小的一个数为x，则其余的三个数为x+7，x+14，x+21，
那么，这四个数的和为x+x+7+x+14+x+21=4x+42．
A、如果4x+42=42，那么x=0，故A不符合题意；
B、如果4x+42=60，那么x=4.5，故B不符合题意；
C、如果4x+42=78，那么x=9，故C符合题意；
D、如果4x+42=86，那么x=11，故D不合题意．故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答．
4.（2022·北京二中七年级期中）小明计划和爸爸一起自驾游，如表是这月份的日历，用如图框住5个日期，他们的和是50，图中x是出行日期，爸爸的车牌尾号是“9”，则出行日期是几号，这天能出行吗？（ ）（注：北京市限行政策：周一到周五限行，周末和节假日不限行，每周一限行尾号为1和6，每周二限行尾号为2和7，每周三限行尾号为3和8，每周四限行尾号为4和9，每周五限行尾号为0和5）
周日
周一
周二
周三
周四
周五
周六

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31




A．11，不能 B．11，能 C．10，能 D．10，不能
【答案】A
【分析】根据日历表示出其它几个数字，根据数字之和等于50列出方程，求得x，再根据日历和限行标准即可得出结论．
【详解】解：其它几个数为：，
根据题意，解得，
由日历可知，11号是周四，周四限行尾号为4和9，
故出行的日期是11号，这天不能出行，故选：A．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出x的值．
5．（2022·河南南阳·七年级阶段练习）将正整数1至2018按一定规律排列如图：

平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和是2013，请求出这三个数．
【答案】三个数为670，671，672
【分析】设中间数为x，则另外两个数分别为x﹣1、x+1，根据三个数的和=2013，列出方程解方程即可．
【详解】解：设中间数为x，则另外两个数分别为x﹣1、x+1，根据题意得：
（x﹣1）+x+（x+1）=2013，
解得：x=671，
答：这三个数为670，671，672．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，找出题目中的等量关系式，列出方程，是解题的关键．
6．（2022·河北保定·七年级期末）将连续的偶数0，2，4，6，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框五个数．（十字框只能平移）

(1)若框住的5个数中，正中间的一个数为16，则这5个数的和为________；
(2)十字框内五个数的最小和是________；
(3)设正中间的数为a，用式子表示十字框内五个数的和；(4)十字框能否框住这样的5个数，它们的和等于2030？若能，求出正中间的数a；若不能，请说明理由．
【答案】(1)80(2)最小值为70(3)5a(4)不能，理由见解析
【分析】（1）根据图示进行计算便可得结果；
（2）用a表示出其余4个数，再求和便可，根据a的最小值求出五个数的最小和；
（3）用a表示出其余4个数，再求和便可；
（4）根据（2）中的代数式，结合题意列出a的方程，根据方程有无解进行解答便可．
（1）解：由题意得，这5个数的和为：4+14+16+18+28=80，故答案为：80；
（2）解：设正中间的数为a，则其余4个数分别为a-12，a-2，a+2，a+12，∴十字框内5个数的和为：（a-12）+（a-2）+a+（a+2）+（a+12）=5a，由图可知，a≥14，∴5a≥70．故答案为：70；
（3）解：由（2）知十字框内5个数的和为5a；
（4）解：根据题意得，5a=2030，解得，a=406，∴406是第204个偶数，204÷6=34，所以2030在数阵的第34行第6列，∴十字框不能框出这样的5个数它们的和等于2030．
【点睛】主要考查一元一次方程的应用，规律型：数字的变化类，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．

题型10．和、差、倍、分（比例）问题
（1）和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几，“是”、“比”相当于“=”；
即：当较大量是/比较小量的几倍多几时：较大量=较小量×倍数+多余量；
当较大量是/比较小量的几倍少几时：较大量=较小量×倍数-所少量。
（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．
1．（2022·山东威海·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中记载了这样一个有趣的数学问题：“今有五等诸侯，共分橘子60颗，人别加三颗，向五人各得几何？”题目大意是：诸侯五人，共同分60个橘子，若后面的每个人总比他前一个人多分3个，问每个人各分得多少个橘子？若设中间的那个人分得x个橘子，依题意可列方程为（   ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设中间的那个人分得x个橘子，然后根据题意分别表示出其他四个人的橘子数，最后根据橘子总数为60列出方程即可．
【详解】解：设中间的那个人分得x个橘子，
由题意得，故选C．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找准等量关系式解题的关键．
2．（2022·湖北襄阳·七年级期末）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）的销售瓶数的比为2：5．已知每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装_______大瓶．
【答案】20000
【分析】设每份为x瓶，则大瓶销售了2x瓶，小瓶销售了5x瓶，根据大小消毒液的总重量为22.5吨=22500000克建立方程求出其解即可．
【详解】解：设每份为x瓶，则大瓶销售了2x瓶，小瓶销售了5x瓶，根据题意得：
2x×500+5x×250=22500000，
解得x=10000，
所以大瓶销售了：2×10000=20000瓶，
故答案是：20000．
【点睛】本题考查了运用比例问题的设每份为未知数的方法建立方程求解的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时运用设间接未知数降低解题难度是关键．
3．（2022·内蒙古九年级期中）程大位《直指算法统宗》趣题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设小和尚有x人，依题意列方程得（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设小和尚有x人，根据共100个和尚可知大和尚有（100－x）人，根据100个和尚分100个馒头正好分完．可以得到一个等量关系：大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数＝100，依此列出方程即可．
【详解】解：设小和尚有x人，则大和尚有（100－x）人，
根据题意得：．故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
4．（2022·广西平桂·期中）“壮丽70年，奋斗新时代!”国庆节期间，唐玲同学仅用3天时间就看完了一本课外读物．第二天看的页数比第一天看的页数的一半少5页，第三天看的页数刚好是第二天的2倍．设第一天看了该书的页，问：（1）用含x的代数式表示这本书的页数； （2）当x=60时，这本书的页数是多少？ （3）如果这本书有225页，唐玲第二天看了多少页？
【答案】（1）（2）当x=60时，这本书共135页；（3）唐玲第二天看了43页
【分析】（1）根据题意用x表示出第二天和第三天的页数再加上第一天的x得到代数式；
（2）令x=60，代入（1）的式子求值；（3）令，解方程
【解析】解：（1）这本书的页数为： =；
（2）当x=60时，，
答：当x=60时，这本书共135页；
（3）由题意，得：， 解之，得：，
所以：． 答：唐玲第二天看了43页．
【点睛】点睛本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找等量关系列出方程求解．
5．（2022·河南南阳·七年级阶段练习）为创设一个洁净、美丽的校园环境，培养学生的环保意识和爱护校园的主人翁意识，2021年11月29日，郑州某校组织开展了“弯弯腰捡垃圾，美丽校园我创造”的主题活动．在分发垃圾袋时发现，若每人发2个垃圾袋则多5个，若每人发3个垃圾袋则少4个．问：有多少个学生，准备了多少个垃圾袋？
【答案】有9个学生，准备了23个垃圾袋
【分析】设有x个学生，根据题意“每人发2个垃圾袋则多5个，若每人发3个垃圾袋则少4个”垃圾袋个数相等列一元一次方程，即可求解．
【详解】解：设有x个学生．由题意得：，
解得：，
垃圾袋有（个）
答：有9个学生，准备了23个垃圾袋．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用题，根据题意列出二元一次方程组是解决本题的关键．
6．（2022·河南郑州·七年级期末）某校组织七年级（）班学生分成甲、乙两队参加社会劳动实践，其中甲队人数是乙队人数的倍，后因劳动需要，从甲队抽调人支援乙队，这时甲队人数是乙队人数的一半，则甲、乙两队原来各有多少人？
【答案】甲队有人，乙队有人
【分析】设乙队有人，则甲队有人，根据“从甲队抽调人支援乙队，这时甲队人数是乙队人数的一半”列方程求解即可．
【详解】解：设乙队有人，则甲队有人，
根据题意的，得：，
解得：，所以，
答：甲队有人，乙队有人．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，列出一元一次方程是解题的关键．

题型11 几何问题（等积问题）
解题技巧：图形无论如何切割或边形，其面积或体积始终不变，利用这个不变的特点，列写等式方程。
1．（2022·河北承德·七年级期末）如图，在大长方形（是宽）中放入六个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．若设，分析思路描述正确的是（       ）

甲：我列的方程，找小长方形的长作为相等关系；
乙：我列的方程，找的是大长方形的长做相等关系．
A．甲对乙不完全对 B．甲不完全对乙对 C．甲乙都正确 D．甲乙都不对
【答案】A
【分析】根据小长方形的长作为相等关系，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设，根据小长方形的长作为相等关系，得出，
根据大长方形的宽做相等关系可得，
∴甲对乙不完全对，故A正确．故选：A．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．（2022·宁夏·景博中学七年级期末）若将一个底面半径为6cm，高为40cm的“瘦长”圆柱体钢材锻压成底面半径为12cm的“矮胖”圆柱体零件毛坯，则毛坯的高是________cm．
【答案】10
【分析】设毛坯的高为，根据圆柱形钢材的体积相等得出方程解答即可．
【详解】解：设毛坯的高为，根据题意，得
．解得．故答案为：．
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据圆柱形钢材的体积相等得出方程解答．
3．（2022·黑龙江哈尔滨·七年级期末）如图，一个长方形征好分成A、B、C、D、E、F这6个正方形，其中最小的正方形A边长为1，则这个长方形的面积是_____________．

【答案】143
【分析】设正方形E的边长为x，则原长方形的长为(3x+1)，宽为(2x+3)，然后根据长方形的对边相等列方程求解即可．
【详解】解：设正方形E的边长为x，则D正方形的边长是x+1,C正方形的边长是x+2,B正方形的边长是2x-1,∴原长方形的长为(3x+1)，宽为(2x+3)，
根据题意，得2x-1+x=x+2+x+1，解得：x=4．
当x=4时，3x+1=13，2x+3=11，
∴长方形的面积=13×11=143．故答案为：143．
【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确分析题意，找到各正方形的边长之间的关系．
4．（2022·成都市·七年级课时练习）用一根80cm的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10cm，则围成长方形的面积为______．
【答案】375
【分析】设长方形的长为xcm，则宽为（x-10）cm，然后运用长方形的周长求得x，进而求得长方形的长和宽，最后根据长方形的面积公式计算即可．
【详解】解：设长方形的长为x，则宽为x-10
由题意得：2（x+x-10）=80，解得x=25
则长方形的宽为25-10=15
所以围成长方形的面积为15×25=375．
故答案为：375．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意列出方程、求得长方形的长和宽是解答本题的关键．
5．（2022·河南驻马店·七年级期末）一个长方体水箱从里面量得长、宽、高分别是50cm、40cm和30cm，此时水箱中水面高12cm，放入一个棱长为20cm的正方体实心铁块后，水箱中的水面仍然低于铁块的顶面，则此时铁块在水箱中露出水面部分的体积为 _____cm3．
【答案】2000
【分析】设铁块沉入水底后水面高hcm，根据铁块放入水中前后的体积不变列出方程求解．
【详解】设铁块沉入水底后水面高为hcm，由题意得：
50×40×12+20×20×h＝50×40×h，
解得h＝15．
则水箱中露在水面外的铁块的高度为：20﹣15＝5（cm）．
∴水箱中露在水面外的铁块的体积为：20×20×5＝2000（cm3）．
故答案为：2000．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，掌握长方体的体积计算公式是解决问题的关键．
6．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）如图，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为5厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽6厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？

【答案】每一个长条的面积为．
【分析】设原来正方形纸的边长是，则第一次剪下的长条的长是，宽是，第二次剪下的长条的长是，宽是；再根据第一次剪下的长条的面积第二次剪下的长条的面积，列出方程，求出的值是多少，即可求出每一个长条面积为多少．
【详解】解：设原来正方形纸的边长是，则第一次剪下的长条的长是，宽是，第二次剪下的长条的长是，宽是，
由题意得：，解得：，则．
答：每一个长条的面积为．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，解题的关键是正确列出一元一次方程．

题型12 一元一次方程之动点问题
1．（2022·山东济南·七年级期末）如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的项点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边________上．

【答案】DC
【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，根据乙的速度是甲的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【详解】正方形的边长为4，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1：3，由题意知：
①第一次相遇甲乙行的路程和为8，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在AD边的中点处；
②第二次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在DC边的中点处；
③第三次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在CB边的中点处；
④第四次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在BA边的中点处；
⑤第五次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在AD边的中点处；
∴，
∴第2022次相遇在边DC上，故答案为：DC．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，是行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题．
2．（2022·河南南阳·七年级期中）如图，数轴上A、B两点对应的有理数分别是和． 动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿数轴在A、B之间往返运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在B、A之间往返运动，设运动时间为秒，当时，若原点O恰好是线段PQ的中点，则的值是_______．

【答案】1或7
【分析】分两种情况讨论：当0 【详解】当0 ∵原点O恰好是线段PQ的中点，
∴点P、Q表示的数互为相反数，∴-5+t+6-2t=0，∴t=1；
当5.5 ∴-5+t+2t-16=0，∴t=7．故答案为：1或7．
【点睛】本题主要考查了数轴与动点，一元一次方程，解决问题的关键是熟练掌握数轴上的动点表示的数与起始点表示的数和动点移动距离的关系，中点为原点的线段两端点表示的数的关系，互为相反数的两个数的和的特征，解一元一次方程的一般方法．
3．（2022·江苏·泰兴市济川初级中学七年级阶段练习）如图，长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从A出发，以1cm/s的速度沿A→B→C运动，最终到达点C，在点P运动了8秒后，点Q开始以2cm/s的速度从D运动到A，在运动过程中，设点P的运动时间为t秒，当△APQ的面积为4cm2时，t的值为________

【答案】或
【分析】分两种情况，①点P在AB上时，点Q在D处；②点P在BC上时；由三角形面积分别求出t的值即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠BAD=90°，AD=BC=6cm，
分两种情况：①点P在AB上时，点Q在D处，如图1所示：

∵△APQ的面积为4cm2，∴，即，解得：t=；
②点P在BC上时，如图2所示：

∵△APQ的面积为4cm2，∴即，解得：AQ=1cm，
∴DQ=AD-AQ=6-1=5cm，∴，解得：t=；
综上所述，当△APQ的面积为4cm2时，t的值为或；故答案为：或．
【点睛】本题考查了用一元一次方程解决问题；根据题意正确的列出方程是解题的关键．
4．（2022·安徽·桐城市第二中学七年级期末）已知多项式的次数为a，常数项为b，a，b分别对应着数轴上的A、B两点．

(1)______，______；并在数轴上画出A、B两点；
(2)若点P从点A出发，以每秒3个单位长度单位的速度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍；
(3)数轴上还有一点C的坐标为30，若点P和Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C点运动，P到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，点Q到达终点C停止．求点P和点Q运动多少秒时，P，Q两点之间的距离为4．
【答案】(1)4，16，图见解析
(2)或秒
(3)或或或秒
【分析】（1）根据多项式2x3y﹣xy+16的次数为a，常数项为b，直接可得a＝4，b＝16，再在数轴上表示4和16即可；
（2）设运动t秒，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，可得3t＝2×|4+3t﹣16|，即可解得t＝ 或t＝8；
（3）设运动x秒，P，Q两点之间的距离为4，分四种情况：①点P追上Q之前，②点P追上Q，P还未到达C时，③P到达C后返回，还未与Q相遇时，④P到达C后返回，与Q相遇后时，分别列出方程，解可解得答案．
（1）
∵多项式2x3y﹣xy+16的次数为a，常数项为b，
∴a＝4，b＝16，
在数轴上画出A、B两点如下：

（2）
设运动t秒，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，根据题意得：
3t＝2×|4+3t﹣16|，
解得t＝ 或t＝8，
答：运动 秒或8秒，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍；
（3）
设运动x秒，P，Q两点之间的距离为4，
①点P追上Q之前，16+x﹣（4+3x）＝4，解得x＝4，
②点P追上Q，P还未到达C时，4+3x﹣（16+x）＝4，解得x＝8，
③P到达C后返回，还未与Q相遇时，，解得x＝9，
④P到达C后返回，与Q相遇后时，，解得x＝11，
综上所述，点P和点Q运动4秒或8秒或9秒或11秒时，P，Q两点之间的距离为4．
【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是分类讨论，分别找等量列方程．
5．（2022·四川·安岳县七年级期中）如图1，在长方形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间；

(1)当t 为何值时，线段AQ的长度等于线段AP的长度？
(2)当t 为何值时，AQ与AP的长度之和是长方形周长的？
(3)如图2，P、Q到达B、A后继续运动，P点到达C点后都停止运动．当t 为何值时，线段AQ的长等于线段CP的长的一半？
【答案】(1)当t=2时，线段AQ的长度等于线段AP的长度
(2)当t=3时，AQ与AP的长度之和是长方形周长的
(3)当时，线段AQ的长等于线段CP的长的一半
【分析】（1）由长方形的特征可知AD=BC=6cm，由题意易得DQ=tcm，AP=2tcm，则有AQ=（6-t）cm，进而问题可求解；
（2）由（1）可知6-t+2t=9，然后问题可求解；
（3）由题意易得AQ=（t-6）cm，CP=（18-2t）cm，进而问题可求解．
（1）
解：∵AB=12cm，BC=6cm，
∴在长方形ABCD中，AD=BC=6cm，
由题意得：DQ=tcm，AP=2tcm，则有AQ=（6-t）cm，
∴，
解得：，
∴当t=2时，线段AQ的长度等于线段AP的长度；
（2）
解：由（1）可得：
，
解得：，
∴当t=3时，AQ与AP的长度之和是长方形周长的；
（3）
解：由题意得：AQ=（t-6）cm，CP=（18-2t）cm，
∴，
解得：；
∴当时，线段AQ的长等于线段CP的长的一半．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
6．（2022·河南三门峡·七年级期末）爱思考的小明将一个玩具火车放置在数轴上水平移动，如图（1）．他发现当A点移动到B点时，B点所对应的数为24；当B点移动到A点时，A点所对应的数6（单位：单位长度）．
 图（1）
(1)由此可得点A处的数字是 ，玩具火车的长为 个单位长度．
(2)如果火车AB正前方10个单位处有一个“隧道”MN，火车AB从（1）的起始位置出发到完全驶离“隧道”恰好用了t秒，已知火车AB的速度为0.5个单位/秒，则可知“隧道”MN的长为 个单位．（自己在草纸上画图分析，用含t的代数式表示即可）
(3)他惊喜的发现，“数轴”是学习数学的重要的工具，于是他继续深入探究：在（1）条件下的数轴上放置与AB大小相同的玩具火车CD，使原点O与点C重合，两列玩具火车分别从点O和点A同时在数轴上同时移动，已知CD火车速度为2个单位/秒，AB火车速度为1个单位/秒（两火车均向右运动），几秒后两火车的A处与C处相距2个单位？


【答案】(1)12，6(2)(3)10秒或14秒
【分析】（1）由数轴观察知三个玩具火车长是，则一个玩具火车长为6个单位长度，再求出点处的数字即可；
（2）设“隧道”的长为，根据点的位置也通过“隧道”列出关于的方程，据此求解即可得；
（3）设秒后两火车的处与处相距2个单位，则点移动后对应的点为，点所对应的点为，分在的左侧和在的右侧两种情况，分别利用数轴的性质建立方程，解方程即可得．
（1）解：由题意可知，三个玩具火车长是，∴一个玩具火车长为6个单位长度，∴点处的数字是，故答案为：12，6．
（2）解：设“隧道”的长为，当点的位置也通过“隧道”时，则，整理得：，故答案为：．


（3）解：设秒后两火车的处与处相距2个单位，则点移动后对应的点为，点所对应的点为，当在的右侧时，由题意得：，解得，当在的左侧时，由题意得：，解得，故10秒或14秒后两火车的处与处相距2个单位．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，以及用数轴解决实际问题，解决问题的关键是弄清题意，根据题意找到题目中的等量关系．