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2023届四川省成都市树德中学高三上学期入学考试数学(理)含答案
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这是一份2023届四川省成都市树德中学高三上学期入学考试数学(理)含答案,共12页。试卷主要包含了 已知集合,,则, 已知向量,,,则, 已知数列满足, 已知函数,设,,,则等内容,欢迎下载使用。
树德中学高2020级高三开学考试试题(理科数学)一、选择题(本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合,,则()A. B. C. D. 2. ()A. B. C. D. 3. 航天之父、俄罗斯科学家齐奥科夫斯基(K.E.Tsiolkovsky)于1903年给出火箭最大速度的计算公式.其中,是燃料相对于火箭的喷射速度,是燃料的质量,是火箭(除去燃料)的质量,v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已,则当火箭的最大速度可达到时,火箭的总质量(含燃料)至少是火箭(除去燃料)的质量的()倍.A. B. C. D. 4. 已知向量,,,则()A. 6 B. 5 C. 8 D. 75. 已知数列满足:,点在函数的图象上,记为的前n项和,则()A. 3 B. 4 C. 5 D. 66. 现安排编号分别为1,2,3,4的四位抗疫志愿者去做三项不同的工作,若每项工作都需安排志愿者,每位志愿者恰好安排一项工作,且编号为相邻整数的志愿者不能被安排做同一项工作,则不同的安排方法数为()A. 36 B. 24 C. 18 D. 127. 已知正四棱锥的侧棱长为,底面边长为2,则该四棱锥的内切球的体积为()A. B. C. D. 8. 双曲线,已知O是坐标原点,A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点,F是双曲线C的右焦点,D是线段OF的中点,若B是圆上的一点,则△ABD的面积的最大值为()A. B. C. 3 D. 9. 已知数列的前n项和满足,若数列满足,则()A. B. C. D. 10. 已知函数,设,,,则()A. B. C. D. 11. 某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕,彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图,等腰△PMN的顶点P在半径为20的大⊙O上,点M,N在半径为10的小⊙O上,点O,P在弦MN的同侧.设,当△PMN的面积最大时,对于其它区域中的某材料成本最省,则此时()A. B. C. D. 012. 若函数与的图象存在公共切线,则实数a的最大值为()A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13. 的展开式中的常数项为___________.(用数字作答)14. 已知抛物线的焦点为F,点M为C上一点,点N为x轴上一点,若是边长为2的正三角形,则p的值为______.15. 已知数列满足,,,则数列的前20项和为___________.16. 在棱长为1的正方体中,M为底面ABCD的中心,Q是棱上一点,且,,N为线段AQ的中点,给出下列命题:①与共面; ②三棱锥的体积跟的取值无关;③当时,;④当时,过A,Q,M三点的平面截正方体所得截面的周长为.其中正确的有___________(填写序号). 三、解答题17.(12分)在非直角中,角,,对应的边分别,,,满足.(1)判断的形状;(2)若边上的中线长为2,求周长的最大值. 18.(12分)为弘扬中国传统文化,某电视台举行传统文化知识大赛,先进行预赛,规则如下:①有易、中、难三类题,共进行四轮比赛,每轮选手自行选择一类题,随机抽出该类题中的一个回答;②答对得分,答错不得分;③四轮答题中,每类题最多选择两次.四轮答题得分总和不低于10分进入决赛.选手甲答对各题是相互独立的,答对每类题的概率及得分如表: 容易题中等题难题答对概率0.60.50.3答对得分345(1)若甲前两轮都选择了中等题,并只答对了一个,你认为他后两轮应该怎样选择答题,并说明理由;(2)甲四轮答题中,选择了一个容易题、两个中等题、一个难题,若容易题答对,记甲预赛四轮得分总和为,求随机变量的数学期望. 19. (12分)如图,是边长为6的正三角形,点E,F,N分别在边AB,AC,BC上,且,为BC边的中点,AM交EF于点,沿EF将三角形AEF折到DEF的位置,使.(1)证明:平面平面;(2)试探究在线段DM上是否存在点,使二面角大小为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 20. (12分)已知点A,B分别为椭圆的左、右顶点,,为椭圆的左、右焦点,,P为椭圆上异于A,B的一个动点,的周长为12.(1)求椭圆E的方程;(2)已知点,直线PM与椭圆另外一个公共点为Q,直线AP与BQ交于点N,求证:当点P变化时,点N恒在一条定直线上. 21. (12分)已知函数,.(1)比较与的大小;(2)设方程有两个实根,,求证:. 22. (10分)在平而直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为 (为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为
(1)求曲线和的直角坐标方程;
(2)已知点是曲线上一点、M,N分别是和上的点,求的最大值. 23. (10分)已知函数.(1)当时,解不等式;(2)设不等式的解集为,若,求实数的取值范围.树德中学高2020级高三开学考试试题(理科数学)答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. C2. B3. A.4. D5. A.6. C.7. B8. A9. D.10. C.12. B.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13. 14. 315. 33016.①②④.三、解答题17.(1)解,,可得.即根据正弦定理,得.代入式,化简得.即,为外接圆的半径)化简得,或,即或,又非直角,因此是等腰三角形.(2)解:在△ABD和△ABC中,由余弦定理可得,又,所以,所以,设,,,所以△ABC的周长2a+ c=,所以当时,2a+ c有最大值为,即△ABC周长的最大值为.18.解:(1)依题意甲前两轮都选择了中等题,则后两轮的选择还有三种方案:方案一:都选择容易题,则总得分不低于10分的概率为;方案二:都选择难题,则总得分不低于10分的概率为;方案三:选择一个容易题、一个难题,则总得分不低于10分的概率为;因为,所以后两轮应该选择容易题进行答题;(2)依题意的可能取值为3、7,8、11、12、16,则,,,,所以的分布列为:378111216所以.19.(1)解:在中,易得,,,由,得,又,,,又为中点,,,因为,平面,平面,又平面,所以平面平面;(2)解:由(1)平面,以为原点,以为的正方向建立空间直角坐标系,,,,,由(1)得平面的法向量为,设平面的法向量为,,所以,所以.由题得,所以,所以,所以,因为二面角P—EN—B的大小为60°,所以,解之得(舍去)或.此时,所以. 20. (1)解:设椭圆的焦距为2c,则,,,,,由得,即由的周长为12,得,所以,,,故椭圆E的方程为:(2)解:设直线PQ的方程:,,(此处若设点斜式方程,需要讨论斜率是否存在,无讨论的扣1分,只讨论斜率不存在的情况给1分)联立方程组得,恒成立.,即①直线AP的方程:,直线的方程:,联立方程组消去y,得②由①②得所以,当点P运动时,点N恒在定直线上.方法二设,,设直线AP的方程:,直线BQ的方程:联立得①又∵P,Q两点在椭圆E上,因此,,②,故P,M,Q三点共线,所以,即③由②,③得将其代入①得所以,当点P运动时,点N恒在定直线上21. .解:(1)设,,当时,,单调递增;当时,,单调递减,………………………………………………3分故的最大值为,故.…………………………………………………………………………………4分(2)令,则,令.又由,得在上单调递增.…………………………………………………………5分又,,存在,使,即,在上单调递减,在上单调递增,.……………8分由在上单调递减,得.又,,,…………………………………………………………………………………10分,.综上所述,.………………………………………………………………12分22. 解:(1)由曲线的方程为(为参数),消去参数可得曲线的方程为,由曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程,根据极坐标与直角坐标的互化公式,且,可得曲线直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为.故的方程为,直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为.(2)由(1)知双曲线,则,,可得,所以,,由双曲线的定义,可得,因为点是曲线上一点、分别是和上的点,可得,,所以,所以的最大值为.23. 解:(1)当时,原不等式可化为.①当时,,解得:,;②当时,,解得:,;③当时,,解得:,;综上所述:不等式的解集为或.(2)由知:,,在上恒成立,,即,,解得:,,解得:,即实数的取值范围为.
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