黑龙江省哈尔滨市第三中学校2022-2023学年高三上学期第二次验收考试数学试题（含答案）

哈三中2022—2023学年度上学期

高三学年第二次验收考试数学试卷

考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．

考试时间为120分钟；

（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（共60分）

（一）单项选择题（共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．，，则=（   ）

A． B． C． D．

2．已知，，且，则（   ）

A． B． C． D．

3．已知等比数列的公比，前n项和为，，，则=（   ）

A．29 B．30 C．31 D．32

4．近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术处于国际领先水平．某公司用9万元进购一台新设备用于生产电机，第一年需运营费用3万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为12万元，设该设备使用了年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（   ）

A．6 B．5 C．4 D．3

5．在中，点D是线段BC上任意一点，且满足，若存在实数m和n，使得，则=（   ）

A． B． C． D．

6．平面直角坐标系中，角的终边经过点，则=（   ）

A． B． C． D．

7．已知实数，，，则a，b，c的大小关系为（   ）

A． B． C． D．

8．已知定义在R上的奇函数满足．当时，．则下列结论错误的是（   ）

A．

B．函数的值域为

C．函数的图像关于直线对称

D．方程最少有两个解

（二）多项选择题（共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．下列说法中正确的有（   ）

A．“”是“”的充要条件

B．“”是“”的必要不充分条件

C．命题“存在，”的否定是：“存在，”

D．设，都是非零向量，则是成立的充分不必要条件

10．已知函数，则下列结论正确的是（   ）

A．函数的最小正周期为

B．函数在区间上单调递减

C．函数的图像不是中心对称图形

D．函数图像的对称轴方程仅有，

11．若数列的前n项和为，满足，，则下列结论正确的有（   ）

A．  B．

C．， D．，

12．已知函数，，e是自然对数的底数，则下列正确的是（   ）

A．若函数仅有一个零点，则

B．若，，

C．若对任意恒成立，则

D．若恒成立，则整数a的最大值为2

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）

13．已知函数，定义域为，则的值域为______．

14．已知是等差数列，是等比数列，是数列的前n项和，，，则=______．

15．如图所示，点P是正三角形外接圆圆O上的动点，正三角形的边长为3，则的取值范围是______．

16．已知满足，D是的边BC上一点，且，，则的最大值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．设函数，其中向量，．

（1）求函数单调递增区间；

（2）当时，函数恰有三个零点，求m的取值范围．

18．已知数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前n项和．

19．在①；②；③；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．

在锐角中，内角A，B，C，的对边分别是a，b，c，且______

（1）求角A的大小；

（2）若，求周长的范围．

20．疫情期间，为保障学生安全，要对学校进行消毒处理．校园内某区域由矩形OABC与扇形OCD组成，，，．消毒装备的喷射角，阴影部分为可消毒范围，要求点E在弧CD上，点F在线段AB上，设，可消毒范围的面积为S．

（1）求消毒面积S关于的关系式，并求出的范围；

（2）当消毒面积S最大时，求的值．

21．已知数列的前n项和为，满足．

（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前n项和为；

（3）记，数列的前n项和为．求证：．

22．已知函数．

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）当时，函数有两个零点，求实数m的取值范围；

（3）求证：对任意的，都有．

哈三中2022—2023学年度上学期

高三学年第二次验收考试数学答案

13．    14．−1    15．    16．

17．（1），，，

解得单调递增区间为．

（2）当时，，有三个不等实根，则，．

18．（1），

检验符合，则

（2），

则

19．（1）①，，，，∵，∴

②，，，，（舍），∵，∴

③，，∵，，∵，∴

（2）∵，∴，∴，

∵，∴，∴，

∵，∴，∴

20．（1），，，∴，

（2）设，，

，∴，，

∴，，∴，即时，y取最小值，此时S取最大值．

21．（1）∵，∴，作差得，

∴，∴，而时，，∴，∴，

数列是等比数列，∴，∴．

（2），

利用倍差法分别求得．

（3）∵，∴，

∴．

∴．

22．（1），

，故，

则函数在处的切线方程为；

（2）当时，，

则

则有，则对恒成立

则有为上的单调递增函数，又由知，

又由于当时，，且当时，

故函数有两个零点，只需m的取值范围为

（3）首先：设，

则有：，即

则有：，即为上的单调递增函数，

则有：当时，，即对任意恒成立，

则为上的单调递增函数，

对任意的，由于，知，

即……①

同理……②

由①②可得：．