2023届高考文科数学一轮复习测试调研卷（全国卷地区使用）

2023届高考文科数学一轮复习测试调研卷

（全国卷地区使用）

【考试时间：120分钟】

【满分：150分】

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则(   )

A. B. C. D.

2.若，则(   )

A.-2 B.-1 C.1 D.2

3.若平面向量a与b的夹角为60°，，，则等于(   ).

A. B. C.4 D.12

4.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：

则下列结论中错误的是(   )

A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4

B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8

C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4

D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6

5.若实数x，y满足约束条件，则的最大值是(   )

A.8 B.7 C.2 D.

6.过抛物线的焦点F作直线交抛物线于、两点，若，则的值为(   )

A.10 B.8 C.6 D.4

7.执行如图所示的程序框图，若输出的，则空白判断框中可填入的条件是(   )

A. B. C. D.

8.函数的大致图象为(   )

A. B.

C. D.

9.如图，在正方体中，M，N分别为AC，的中点，则下列说法中错误是(   )

A.平面

B.

C.直线MN与平面ABCD所成的角为45°

D.异面直线MN与所成的角为60°

10.已知数列的前n项和，正项等比数列满足，则使成立的n的最大值为(   )

A.5 B.6 C.7 D.8

11.已知是R上的单调递增函数，，不等式恒成立，则m的取值范围是(   )

A. B. C. D.

12.在体积为的直三棱柱中，底面为锐角三角形，且，，则其外接球的表面积为(   )

A. B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知等差数列的前n项和为.若，，则的公差___________.

14.树人中学为了庆祝“天问一号”成功着陆火星，特举办中国航天史知识竞赛，高一某班现有2名男生和2名女生报名，从报名学生中任选2名学生参赛，则恰好选中2名女生的概率为______________.

15.已知A在直线上，点B是圆上的点，则的最大值为_____________.

16.已知是奇函数，且当时，.若，则__________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）在中，.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，且的面积为，求的周长.

18.（12分）如图，是棱长为4的正方体，E是的中点.

(I)证明：；

(Ⅱ)求三棱锥的体积.

19.（12分）随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提髙，某市近年机动车保有量逐年递增.根据机动车管理部门的统计数据，以5年为一个研究周期，得到机动车每5年纯增数量(单位：万辆)的情况如下表.

其中，2，3，…，时间变量对应的机动车纯增数量为，且通过数据分析得到时间变量x与对应的机动车纯增数量y(单位：万辆)具有线性相关关系.

(1)求机动车纯增数量y关于时间变量x的回归方程，并预测2025~2030年间该市机动车纯增数量的值；

(2)该市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到的2×2列联表如下表.

根据列联表判断，能否有99%的把握认为对限行是否赞同与拥有私家车有关？

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

，.

20.（12分）已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若当时，方程有实数解，求实数a的取值范围.

21.（12分）已知椭圆，其左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于A，B两点，且椭圆的离心率.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若椭圆上存在一点M，使得，求直线l的方程.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（10分）[选修4 – 4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系中，曲线的参数方程为(其中φ为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(I)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

(Ⅱ)射线与曲线，分别交于点(均异于极点)，当时，求的最小值.

23.（10分）[选修4 – 5：不等式选讲]

已知函数.

(I)当时，求不等式的解集；

(Ⅱ)若恒成立，求a的取值范围.

答案以及解析

1.答案：D

解析：因为，所以.

2.答案：D

解析：因为，所以，所以，所以.故选D.

3.答案：B

解析：因为，所以，又因为向量a与b的夹角为60°，，

所以，所以.

4.答案：C

解析：对于A，甲同学周课外体育运动时长的中位数为，故选项A正确；对于B，乙同学周课外体育运动时长大部分在8h以上，故平均数大于8，故选项B正确；对于C，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率为，故选项C错误；对于D，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率为，故选项D正确.故选C.

5.答案：B

解析：画出约束条件的可行域，如图中阴影部分所示.

作出直线并平移，数形结合知，当直线经过点A时，取得最大值.由，解得，故，故选B.

6.答案：B

解析：依题意得，，，又，.因此，，故选B.

7.答案：C

解析：模拟执行程序框图，；；；；；，退出循环.故空白判断框中可填入的条件是“”，选C.

8.答案：A

解析：根据函数解析式，因为，所以该函数为偶函数，其图象关于y轴对称，且恒成立，当时，函数值为0，只有选项A符合题意.

9.答案：D

解析：如图，连接BD，，由M，N分别为AC，的中点知.因为平面，平面，所以平面，故A正确.易知平面，平面，所以.又，所以，故B正确.易知MN与平面ABCD所成的角即为与平面ABCD所成的角，为45°，故C正确.易知MN与所成角即为与所成角，为45°，故D错误.故选D.

10.答案：D

解析：设等比数列的公比为q，由题意可知当时，；当时，，

.，，，

，，n的最大值为8，故选D.

11.答案：D

解析：依题意，在R上是增函数，，不等式恒成立，即恒成立，等价于恒成立，.令，则，易得，，，故选D.

12.答案：A

解析：由三棱柱的体积为得，故.由为锐角三角形得，由余弦定理可得，故.

设的外接圆半径为r，由正弦定理可得，故.设三棱柱外接球的半径为R，则，故外接球的表面积为，故选A.

13.答案：1

解析：∵等差数列的前n项和为，，，

解得的公差.

14.答案：

解析：将2名男同学和2名女同学分别记为a，b，A，B，从中任选2人，有，，，，，，共6种情况，其中恰好选中2名女生的情况有1种，故选中的2人都是女生的概率为.

15.答案：45°

解析：若点A固定，则当AB与圆相切时，最大，此时.当点A在直线l上移动时，易知当时，最小，且，此时最大，最大值为.

因为是锐角，所以的最大值为45°.

16.答案：-3

解析：设，则.由时，知.又函数为奇函数，则，即时，.又，则，故.

17.答案：（Ⅰ）

（Ⅱ）

解析：（Ⅰ）因为，所以，
因为，所以，所以，.

（Ⅱ）因为的面积，
所以.
由余弦定理可得，
所以，
所以的周长为.

18.答案：(I)见解析

(Ⅱ)

解析：(I)证明：连接.

∵四边形是正方形，

.

在正方体中，

平面，

又平面，

.

又平面，平面，

平面.

又平面，

.

(Ⅱ)设与交于点F，连接.

在正方体中，.

又分别是的中点，

，

∴四边形是平行四边形，

.

过平面平面，

平面.

又正方体的棱长为4，

.

19.答案：(1)，2025~2030年间该市机动车约纯增34.8万辆

(2)有99%的把握认为对限行是否赞同与拥有私家车有关

解析：(1)由机动车的纯增数量表可知

，，

所以，

因为回归直线过样本点的中心，所以，

解得，所以.

当年度周期为2025~2030时，，所以，

所以2025~2030年间该市机动车约纯增34.8万辆.

(2)根据列联表，计算得的观测值.

因为，

所以有99%的把握认为对限行是否赞同与拥有私家车有关.

20.答案：（1）见解析

（2）

解析：（1）函数的定义域为R，，

当时，，则在上单调递增；

当时，令，得，

则在上单调递减，在上单调递增.

综上，当时，在R上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）由，得，

因为，所以.

令，，则.令，得.当时，，为减函数；当时，，为增函数.

所以.

又，，，所以，

所以当时，.

所以函数的值域为，

因此实数a的取值范围为.

21.答案：（1）

（2）

解析：（1）过的直线，

令，解得，，

，，，椭圆C的方程为.

（2）设，，，

由，得，，将其代入椭圆方程，可得，

，

，

联立方程，得消去x，可得，

，，

，

即，解得.

故所求直线l的方程为.

22.答案：(I)；

(Ⅱ)

解析：(I)由题可得曲线的普通方程为，

曲线的直角坐标方程为.

(Ⅱ)曲线的极坐标方程为，所以.

又因为，

所以

.

因为，所以，

所以当时，有最小值，最小值为.

23.答案：(I)或

(Ⅱ)

解析：(I)当时，

等价于或或

解得或，

∴不等式的解集为或.

(Ⅱ)易知，

∴若恒成立，

则，即，

或，

解得，

的取值范围为.