2023届高考数学一轮复习测试调研卷（天津地区使用）

2023届高考数学一轮复习测试调研卷

（天津地区使用）

【考试时间：120分钟】

【满分：150分】

一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分）

1.已知集合，，，则(   )

A. B. C. D.

2.已知，则“”是“”的(   )

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

3.函数的图象大致为(   ).

A. B.

C. D.

4.为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：

①样本数据落在区间的频率为0.45；
②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有的当地中小型企业能享受到减免税政策；
③估计样本的中位数为480万元.
其中正确结论的个数为(   )

A.0 B.1 C.2 D.3

5.已知实数，则这三个数的大小关系正确的是(   )

A. B. C. D.

6.已知函数是定义在R上的函数，.若对任意的，且，有，则不等式的解集为(   )

A. B. C. D.

7.已知抛物线的准线与双曲线相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若为直角三角形，则实数(   )

A. B. C. D.

8.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图所示.已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为，设酒杯上部分（圆柱）的体积为，下部分（半球）的体积为，则(   )

A.2 B. C.1 D.

9.已知函数，则下列结论不正确的有(   )

A.函数的最大值为2

B.函数的图象关于点对称

C.函数的图象与函数的图象关于x轴对称

D.若实数m使得方程在上恰好有三个实数解，则一定有

二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）

10.已知复数z满足，则________.

11.的展开式中的常数项为-32，则实数a的值为________；展开式中含项的系数为________.

12.设，直线与直线相交于点P，点Q是圆上的一个动点，则的最小值为__________.

13.不透明的盒中有大小、形状完全相同的个球，其中m个红球，2个绿球，3个黄球，若从盒中任取3个球，其中至多有一个红球的概率为，则_______；记为取出的3个球中的红球的个数，则随机变量的数学期望_______.

14.如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点.若，则的值为______.

15.函数有两个零点，且极大值小于1，则实数a的取值范围是________.

三、解答题（本题共5小题，共75分）

16.（15分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，.

（1）求角C的大小；

（2）求的值；

（3）求的值.

17.（15分）如图，底面ABCD是边长为3的正方形，平面平面ABCD，，，，.

（1）求证：平面平面BED.

（2）求直线CA与平面BEF所成角的正弦值.

（3）在线段AF上是否存在点M，使得二面角的大小为60°？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

18.（15分）已知为等差数列，为等比数列，，，.

（1）求和的通项公式；

（2）记的前n项和为，求证：；

（3）对任意的正整数n，设求数列的前2n项和.

19.（15分）已知椭圆的离心率为，直线过E的上顶点和右焦点，直线过E的右顶点，，与之间的距离为.

(1)求椭圆E的标准方程.

(2)已知过原点的直线与椭圆E交于A，B两点，点C是E上异于A，B的点，且，试问在x轴上是否存在点M，使得点M到直线AC的距离为定值？若存在，求出定值与点M的坐标；若不存在，请说明理由.

20.（15分）已知函数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）设，讨论函数在上的单调性；

（Ⅲ）证明：对任意的s，，有.

答案以及解析

1.答案：A

解析：因为，所以.

又，所以.

2.答案：A

解析：由可得成立；当时，推不出一定成立.所以“”是“”的充分不必要条件.

3.答案：A

解析：由题意知函数的定义域为R，定义域关于原点对称，因为，所以函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，D.由，故排除C.故选A.

4.答案：D

解析：由，得，
所以数据在区间的频率为，①正确；
数据在区间的频率为，②正确；
数据在区间的频率为0.3，数据在区间的频率为0.55，
故估计中位数为，③正确.

5.答案：A

解析：由题意可知，，，，，故，故选A.

6.答案：C

解析：由知，故不等式可化为，即，设，则函数是R上的增函数，

又，所以不等式可化为，所以，

即，

解得，故选C.

7.答案：D

解析：由题知，抛物线的准线为，联立，为直角三角形，，即，解得，故选D.

8.答案：A

解析：由球的半径为R，知酒杯下部分（半球）的表面积为，由酒杯内壁表面积为，得圆柱侧面积为，设酒杯上部分（圆柱）的高为h，则，解得，酒杯下部分（半球）的体积，酒杯上部分（圆柱）的体积，所以.故选A.

9.答案：B

解析：由函数可得最大值为2，故A项正确；可令，可得，，即有对称中心为，故B项不正确；函数的图象关于x轴对称的函数为，故C项正确；由函数在上的大致图象，可得方程在上恰好有三个实数解，则，故D项正确.

10.答案：

解析：因为复数z满足，则.

11.答案：-2；-842

解析：的通项，所以的展开式中的常数项为，解得.所以的展开式中含项的系数为.

12.答案：

解析：由题意得：，，

恒过定点，恒过定点，又，

点轨迹是以MN为直径的圆，即为圆心，为半径的圆，点轨迹为，

圆与圆C的圆心距，

两圆相离，的最小值是两圆圆心距d减去两圆半径之和，

即.故答案为.

13.答案：3；

解析：从个球中任取3个球，共有种情况，

由题意得，所以，的所有可能取值为0，1，2，3，

所以，，

，，

所以.

14.答案：

解析：根据题意得，，.

，

，解得.

15.答案：

解析：由题知的定义域为，则，

当时，，则在上单调递增，函数不可能有两个零点；当时，令，得；

令，得，则在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，极大值为.

又当时，；当时，，且有两个零点，

，解得.

的极大值小于1，，解得.

综上，实数a的取值范围是.

16.答案：（1）

（2）

（3）

解析：（1）在中，由余弦定理及，，，有.又因为，所以.

（2）在中，由正弦定理及，，，可得.

（3）由及，可得，进而，.所以，.

17.答案：（1）见解析

（2）

（3）在线段AF上存在点M使得二面角的大小为60°，此时

解析：（1）因为平面平面ABCD，平面平面，平面ADEF，，所以平面ABCD.

因为平面ABCD，所以.

又四边形ABCD是正方形，所以.

因为，平面BED，平面BED，所以平面BED.

又平面ACE，所以平面平面BED.

（2）因为DA，DC，DE两两垂直，所以以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，，所以，，.

设平面BEF的法向量为，

则

取，得为平面BEF的一个法向量.

所以.

所以直线CA与平面BEF所成角的正弦值为.

（3）假设在线段AF上存在符合条件的点M，由（2）可设，，则.

设平面MBE的法向量为，

则

令，得为平面MBE的一个法向量.

由（1）知平面BED，所以是平面BED的一个法向量，，

整理得，解得，

故在线段AF上存在点M使得二面角的大小为60°，此时.

18.答案：（1）；

（2）见解析

（3）

解析：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.

由，，可得，从而的通项公式为.

由，，，可得，解得，从而的通项公式为.

（2）由（1）可得，故，，从而，所以.

（3）当n为奇数时，；

当n为偶数时，.

对任意的正整数n，有

，

和.①

由①得.②

由①②得，从而得.

因此.

所以，数列的前2n项和为.

19.答案：(1)标准方程为.

(2)存在，点.

解析：(1)因为椭圆E的离心率为，所以，则，所以直线的斜率为-1.

如图，设E的右焦点为F，右顶点为P，上顶点为Q，过点P作于点D，

则，所以，即，解得，

则.

故椭圆E的标准方程为.

(2)由题意可得点O是线段AB的中点.

又，所以.

①当直线AC的斜率存在时，设直线AC的方程为，

由，得，

则，即.

由根与系数的关系可得，

由可得，即，

即，所以，

故.

假设存在点满足条件，设点M到直线AC的距离为d，

则，

当时，为定值，即d为定值.

②当直线AC的斜率不存在时，根据椭圆的对称性可得，

所以，故，点到直线AC的距离为.

综上可得，存在点，使得点M到直线AC的距离为定值.

20.答案：（Ⅰ）

（Ⅱ）在上单调递增

（Ⅲ）见解析

解析：（Ⅰ）由题，，
故，，
因此，曲线在点处的切线方程为.

（Ⅱ）解法一：，
则，

设，，
则，

故在上单调递增，

故，
因此对任意的恒成立，
故在上单调递增.

解法二：，
则，
又，当时，，
故对任意的恒成立，
故在上单调递增.

（Ⅲ）设，
则，
由（Ⅱ）知在上单调递增，
故当，时，，
因此，在上单调递增，

故，
因此，对任意的，有.