2023届高考数学一轮复习测试调研卷（新高考Ⅰ卷地区使用）

2023届高考数学一轮复习测试调研卷

（新高考Ⅰ卷地区使用）

【考试时间：120分钟】

【满分：150分】

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合，，则(   )

A.  B.

C.  D.

2.已知复数z满足，则(   )

A. B. C. D.

3.已知在中，动点C满足，其中，且，则的最小值为(   ).

A. B. C. D.

4.若正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，高为2，则该正四棱台的体积为(   ).

A. B. C. D.14

5.从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为(   )

A. B. C. D.

6.设函数的图象关于原点对称，且相邻对称轴之间的距离为，则函数的单调增区间为(   )

A. B.

C. D.

7.已知表示a，b，c中的最大值，例如，若函数，则的最小值为(   )

A.2.5 B.3 C.4 D.5

8.已知四棱锥中，底面是矩形，且，侧棱底面，若四棱锥外接球的表面积为，则该四棱锥的表面积为(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.设函数的导函数为，则下列结论中正确的是(   )

A.  B.是的极值点

C.存在零点  D.在区间上单调递增

10.如图，在正五棱柱中，为的中点，分别为上两动点，且，则(   )

A.

B.三棱锥的体积随点M的位置的变化而变化

C.当N为的中点时，平面

D.直线与平面所成角的正切值最大为

11.已知定义域为R的奇函数，当时，，则下列结论正确的是(   )

A.对任意且，恒有

B.对任意，恒有

C.函数与的图象共有4个交点

D.若的最大值为-1，则

12.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q.若抛物线C上存在一点

到焦点F的距离等于3.则下列说法正确的（   ）

A.抛物线的方程是

B.抛物线的准线方程是

C.的最小值是

D.线段AB的最小值是6

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若的展开式中的系数为9，则a的值为____________.

14.过直线上一点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若四边形PACB的面积为3，则点P的横坐标为_____________.

15.若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为___________.

16.已知是椭圆的左、右焦点，M点是在第一象限椭圆E上一动点，若是锐角，则椭圆E在M点处的切线的斜率的取值范围是_____________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）已知等差数列的首项，公差，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，是否存在整数t，使得对任意的正整数n均有成立？若存在，求出最大的整数t；若不存在，请说明理由.

18.（12分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求角A的大小；

(2)若点D在边BC上，且，求的面积.

19.（12分）如图，在平面五边形ABCDE中是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是直角梯形，其中.将沿AD折起，使得点E到达点M的位置，且使.

(1)求证：平面平面ABCD；

(2)设点P为棱CM上靠近点C的三等分点，求平面PBD与平面MAD所成的二面角的正弦值.

20.（12分）2020年11月2日湖南省衡阳市衡南县清竹村，由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的晚稻品种“叁优一号”亩产为911.7公斤.在此之前，同一基地种植的早稻品种亩产为619.06公斤.这意味着双季亩产达到1530.76公斤，实现了“1500公斤高产攻关”的目标.在水稻育种中，水稻的不同性状对水稻的产量有不同的影响.某育种科研团队测量了株高(单位：cm)和穗长的数据，如下表(单位：株)：

(1)根据表中数据判断，能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为株高和穗长之间有关系？

(参考公式：，其中)

(2)在采样的稻田里随机抽取3株测量每穗总粒数，把抽取的低杆长穗株数记为X，求X的分布列和数学期望(把频率当成概率计算).

21.（12分）已知，分别是双曲线的左、有焦点，，P是C上一点，，且.

（1）求双曲线C的标准方程.

（2）经过点的直线l与双曲线C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D，过点O作（O为坐标原点），垂足为M.则在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

22.（12分）已知函数，e为自然对数的底数.

(1)求函数的极值；

(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.

答案以及解析

1.答案：A

解析：因为或，，所以或.

2.答案：B

解析：由得，所以，故选B.

3.答案：C

解析：由题意可得A，B，C三点共线，且点C在线段AB上，于是，且m，，所以，

当且仅当，即，时取等号，故选C.

4.答案：C

解析：.故选C.

5.答案：A

解析：2名男生记为，，2名女生记为，，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有，，，，，，，，，，，这12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有，，，这4种情况，则所求概率.故选A.

6.答案：B

解析：由题意知函数为奇函数，从而有，即，结合，得，又相邻对称轴之间的距离为，则，，故，令，解得，，故所求增区间为.

7.答案：B

解析：在同一平面直角坐标系中作出函数，，的图象，因为，所以的图象如图中实线所示.

由可得，由可得.

由图知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，

当时，，所以的最小值为3.

8.答案：D

解析：由题可将四棱锥的外接球看作是一个长方体的外接球，是长方体的体对角线，则球心是的中点.设球的半径为R，则，解得，则.如图，连接，由底面，可知.在中，，所以.在中，，，所以，所以.因为底面，所以.又，所以平面.因为平面，所以，同理可证，所以.又，所以，故选D.
 

9.答案：AD

解析：由题意知的定义域为.对于A，，则，故A正确；对于B，D，，所以函数单调递增，故无极值点，故B错误，D正确；对于C，，故函数不存在零点，故C错误.故选AD.

10.答案：ACD

解析：因为F为的中点，所以结合正五边形的对称性可知，.由正棱柱的性质易知.又因为，所以平面.因为平面，所以，故A正确.易知的面积为定值，点E到平面的距离为定值.因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，所以三棱锥的体积为定值，故B错误.当N为的中点时，.因为，所以.因为，所以，则.由选项A的解答易知.又因为，所以平面，故C正确.由题图可知，当点M与点C重合时，直线与平面所成的角最大，且最大角为，所以，故D正确.选ACD.

11.答案：BD

解析：由题意，定义域为R的奇函数，当时，

作出函数的图象，如图所示，

不妨设，结合图象可得，，此时，故，所以A错误；

当时，函数为“凹函数”，所以满足对任意，恒有，所以B正确；

结合图象，可得函数的图象与直线共有5个交点，所以C错误；

若，当时，可得；当时，令，解得，因为函数为奇函数，所以，要使得当时，的最大值为-1，可得，即，所以D正确.故选BD.

12.答案：BC

解析：抛物线的焦点为，准线方程为，由点到焦点F的距离等于3，可得，解得，则抛物线C的方程为，准线方程为，故A错误，B正确；易知直线l的斜率存在，，设，，直线l的方程为，由消去y并整理，得，所以，，所以，所以AB的中点Q的坐标为，

，故线段AB的最小值是4，故D错误；圆Q的半径，在等腰中，，当且仅当时取等号，

所以的最小值为，故C正确，故选BC.

13.答案：1

解析：，且展开式的通项，展开式中的系数为，.

14.答案：-1或1

解析：圆C的方程为，可知圆心为，半径为1.因为四边形PACB的面积为3，所以，即.连接PC，在中，，设，则，整理得，解得或，即点P的横坐标为-1或1.

15.答案：

解析：可化为.

令，

设，，则，设，

令，可得的单调递增区间为，由在上单调递增可知，，则，解得.

16.答案：

解析：设点M的坐标为，

由已知得，当为直角时，则

解得，解，得，

所以，此时.

椭圆在处切线方程为，即，

所以当时，是锐角，

此时，所以椭圆E在M点处的切线的斜率取值范围是.

17.答案：（1）（2）8

解析：（1）由题意得，整理得.

.

.

（2），

.

假设存在整数t满足总成立，

又，

数列是递增数列.

为的最小值，故，即.

又满足条件的t的最大值为8.

18.答案：(1).

(2)面积为.

解析：(1)由已知及正弦定理得.

，，

又，

，

，

，，

，故，得.

(2)解法一：，，

在中，，①

在中，，②

，，③

由①②③得.

由，得，，

不妨设，

在中，由余弦定理可得，

得，

则.

解法二：，，

.

的边BD与的边DC上的高相等，

，

由此可得，即.

不妨设，

在中，由余弦定理可得，，得，

则.

19.答案：(1)见解析.

(2)正弦值为.

解析：如图，取AD的中点N，连接MN，BN.

因为是等边三角形，所以，且，

在直角梯形ABCD中，因为，

所以四边形BCDN是矩形，所以，且，

所以，即，

又，所以平面MAD.

因为平面ABCD，

所以平面平面ABCD.

(2)由(1)知NA，NB，NM两两互相垂直，

以N为坐标原点，直线NA为x轴、NB为y轴、NM为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

根据题意，，

由P是棱CM的靠近点C的三等分点得，

，

设平面PBD的一个法向量为，

则即

令，则，故平面BDP的一个法向量为.

而平面MAD的一个法向量为，

设平面PBD与平面MAD所成的二面角的平面角为，

则，

所以，

所以平面PBD与平面MAD所成的二面角的正弦值为.

20.答案：(1)能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为株高和穗长之间有关系.

(2)分布列见解析，数学期望为.

解析：(1)根据2×2列联表中的数据，

可得

，

因此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为株高和穗长之间有关系.

(2)记“在采样的稻田里抽出低杆长穗稻株”为事件A，

则，所以.

X的所有可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

，

所以随机变量X的分布列如表所示，

随机变量X的数学期望.

21.答案：（1）

（2）在x轴上存在定点，使得为定值

解析：（1）由题意得，

因为，，

所以，

又，所以，解得，

所以，，

所以双曲线C的标准方程为.

（2）由（1）得，设，，则，

易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，，

联立直线l与双曲线C的方程，消去x得，，

，.

因为直线BD的斜率，

所以直线BD的方程为，

若在x轴上存在定点N，使得为定值，则直线BD过x轴上的某个定点.

在直线BD的方程中，令，得，

所以直线BD过定点.

因为，所以为直角三角形，

取OE的中点，则，为定值.

综上，在x轴上存在定点，使得为定值.

22.答案：(1)时，无极值；

时，的极小值为，无极大值.

(2)取值范围为.

解析：(1)，，

当时，，单调递增，函数无极值.

当时，令，得，

易知当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

的极小值为，无极大值.

综上，当时，无极值；

当时，的极小值为，无极大值.

(2)解法一：由得，，整理得.

令，

则，

当时，，单调递增，

且当时，，不满足题意.

当时，，满足题意.

当时，令，

则，函数在上单调递增，

而，且当时，，

在上存在唯一的，使得，

即，

在上单调递减，在上单调递增，

，

.

令，

则，

函数在上单调递减，又，

.

又，.

综上，实数a的取值范围为.

解法二：由得，，

整理得.

令，

则，

当时，，单调递增，

且当时，，不满足题意.

当时，，满足题意.

当时，得.

令，

则，

令，

则，

单调递减，又，

故当时，，即，单调递增，

当时，，即，单调递减，

，，得.

综上，实数a的取值范围为.

解法三：由得，，

整理得.

令，

则，

当时，，单调递增，

且当时，，不满足题意.

当时，，满足题意.

当时，由，得.

现在证明当时，.

，，

令，则，

易知单调递增，且，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

，

恒成立，

得恒成立.

综上，实数a的取值范围为.