2023南充阆中中学高三上学期10月月考数学（文）含答案

阆中中学2022年秋高2020级10月月考

数学试题（文）

(满分150分  考试时间：120分钟)

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符号题目要求的）

1． 已知全集，集合，集合，则

A．   B．   C．   D．

2． 已知复数满足：，则

A．   B．   C．5   D．

3． 下列统计量可用于度量样本，，......，离散程度的是

A．，，......，的众数   B．，，......，的中位数  

C．，，......，的极差   D．，，......，的平均数

4． 航天之父､俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年给出火箭最大速度的计算公式.其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度. 已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（    ）倍.

A．   B．   C．   D．

5． 已知向量，，且，则

A．5   B．4   C．3   D．2

6． 已知数列满足，若，则

A．   B．   C．   D．

7． 已知函数为R上的奇函数，当时，，则的解

集为

A．   B．

C．   D．

8． 在正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则

A．  

B．平面平面

C．平面平面  

D．平面平面

9． 执行下面的程序框图，则输出的n=

A．17   B．19 

C．21   D．23

10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是，，，若，且

,则等于

A．3   B．   C．3或   D．-3或

11．已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为

A．1   B．   C．   D．2

12. 已知定义域为R的奇函数，满足，记，下列对描述正确的是

A．图象关于对称   B．图象关于对称

C．   D．

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上）

13．若函数为奇函数，则________．

14．双曲线的右焦点到直线的距离为________．

15．函数的值域为___________．

16．若，，记的最小值为A，的最大值为B，则___________.

三、解答题（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22—23题为选考题，考生根据

要求作答.）

（一）必考题：共60分

17．（本小题满分12分）

根据某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录数据绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪位运动员的成绩更好？并说明理由；

（2）求24个得分的中位数m，并将所得分超过m和不超过m的得分数填入下面的

 列联表，并根据该列联表，判断能否有90%的把握认为甲、乙两名运动员的每

场比赛得分有差异？

附：

18.（本小题满分12分）

设是等差数列的前项和，已知，，

（1）求和；

（2）若，求数列的前项和．

19．（本小题满分12分）

如图，四棱台，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰

梯形，且，，．

（1）证明：点在平面内；

（2）求四棱台的体积．

20．（本小题满分12分）

已知函数.

（1）讨论的单调性.

（2）当时，试问曲线是否存在过坐标原点且斜率不为0的切线？若

 存在，求切点的横坐标；若不存在，请说明理由.

21．（本小题满分12分）

已知抛物线上的点到其焦点的距离为．

（1）求和的值；

（2）若直线交抛物线于A、B两点，线段的垂直平分线交抛物线P于C、D两点，求证：A、B、C、D四点共圆．

（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一

题计分.

22．（本小题满分10分）坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是上的动点，P点满足，P点的轨迹为曲线.

（1）求的参数方程；

（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.

23．（本小题满分10分）不等式选讲

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若，，，求的最大值.

阆中中学2022年秋高2020级10月月考

数学参考答案（文）

1．D   2．D   3．C   4．A   5．A   6．D

7．B【详解】因为函数为R上的奇函数，所以，

又当时，，

当时，，则，所以时，，

则由可得，或或，解得或或，

综上可得，不等式的解集为．故选：C．

8．C【详解】解：对于选项A，取的中点，则，

由于与平面相交，故平面平面不成立，选项A错误；

对于选项B，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则，

由于与平面相交，故平面平面不成立，选项B错误；

在正方体中，且平面，

又平面，所以，

因为分别为的中点，所以，所以，

又，所以平面，

又平面，所以平面平面，故C正确；

对于选项D，如图所示，设，，则为平面与平面的交线，

在内，作于点，在内，作，交于点，连结，

则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，

由勾股定理可知：，，

底面正方形中，为中点，则，

由勾股定理可得，

从而有：，

据此可得，即，

据此可得平面平面不成立，选项D错误；

9．C【详解】依据程序框图的算法功能可知，输出的是满足的最小正奇数，因为，解得，所以输出的．故选：C.

10．A【详解】，，

，

，

，

，

，故选：A.

11．C【详解】由椭圆可得，

所以，，所以，

所以在中，，

因为，且，所以，

设的坐标为，且，

所以， 所以点P到y轴的距离为，故选：C

12．C【详解】由，得，

，得，

所以，即，

即，所以关于直线对称，A，B选项错误；

又为奇函数，则，

所以，即，

所以，即，C选项正确；

因为，函数关于直线对称，周期为，所以不一定，D选项错误；故选：C.

14．1【详解】因为函数为奇函数，所以，

而，

则

，所以，则.故选：C.

15．【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为（3，0），

所以右焦点到直线的距离为.故答案为：

16．.【详解】，

，当时，，故函数的最小值为．

当时，，故函数的最小值为．

的值域为.

17．【详解】由二次函数性质知：，

而，则，

所以上，递增，上，递减，

当趋向负无穷时也趋向负无穷，当趋向正无穷时趋向0，而，

所以，

则可得，，，故.

故答案为：【也可以直接由图象法求解】

17．【解析】（ⅰ）由茎叶图可知：乙运动员的得分基本上是对称的，叶的分布是“单峰”的，有的叶集中在茎3，4上；甲运动员的得分基本上也是对称的，只有的叶集中在茎3，4上．所以乙运动员的成绩更好．

（ⅱ）由茎叶图可知：乙运动员得分的中位数是36；甲运动员得分的中位数是27．所以乙运动员的成绩更好．

（ⅲ）从叶在茎上的分布看，乙运动员的得分更集中于单峰值附近，这说明乙运动员的发挥更稳定．

以上给出3种理由，学生答出其中一种或其他合理理由均可得分．...................................4分

（1）由茎叶图可知，.....................................................................................6分

列联表如下：

......................................................................................................................................................8分

由于，......................................................................10分

所以没有90%的把握认为甲、乙两名运动员的每场比赛得分有差异．..............................12分

18．（1）设等差数列的公差为d，则，....................................2分

解得，..............................................................................................................................4分

所以，；.................................................6分

（2）由（1）得：，，...................................................................8分

则，...........................................................................10分

所以

（可以不再通分化简）........................................................................................12分

19．【解析】（1）由棱台可知，

面为梯形，所以//，....................................................................................1分

又为正方形，所以//，............................................................................2分

所以//，.......................................................................................................................3分

所以，，，四点共面，..........................................................................................4分

即点在平面内.............................................................................................................5分

（2）设棱台是由棱锥截出的，如图，

棱台的侧面是全等的等腰梯形，则棱锥的侧面是全等的等腰三角形，显然侧棱都相等，

设是底面上与的交点，则是的中点也是中点，.....................6分

所以，，则平面，正方形中心，因此是正棱锥，棱台是正棱台，

设是的中心，显然，

是直角梯形，，，....................................................8分

高，...............................................................................10分

棱台的体积为．................................................................12分

20．（1）.............................................................................1分

当时，在上单调递增..............................................................................................2分

当时，若；若.

则在上单调递减，在上单调递增.............................................4分

当时，若；若.

则在上单调递增，在上单调递减.............................................6分

（未综上所述不扣分）

（2）设切点为，则..........................................................................8分

消去，得，..........................................................................................9分

即，解得或..............................................................................10分

当时，；当时，...............................................................................11分

所以曲线存在过坐标原点且斜率不为0的切线，且切点的横坐标为...........12分

27．（1）抛物线的焦点为，准线方程为，

点到其焦点的距离为，则，可得，..................................................2分

故抛物线的方程为．.....................................................................................................3分

将点的坐标代入抛物线方程可得，解得............................................4分

（2）由中垂线的性质可得，，，，所以，，........................................................................................................................5分

设、，联立消去并整理，得

则，，且，即，.........................................................6分

则．...............................................7分

设线段的中点为，则点的纵坐标为，

所以，点的横坐标为，则．................................................................8分

直线为线段的垂直平分线，所以，直线的方程为．

设、，联立，

消去并整理得，，可得，

则，，..................................................................................................9分

故．

设线段的中点为，则．........................................................................10分

，

，，................................11分

故，所以，，，

故，故，

所以，点、都在以为直径的圆上，故、、、四点共圆．......................12分

28．（1）设，由可知，.............................................................2分

有，即.....................................................................................4分

故的参数方程为(为参数)...........................................................................5分

（2）曲线的普通方程为：，

由极坐标与直角坐标的互化公式得曲线的极坐标方程为：，........................6分

同理，曲线的极坐标方程为：，.........................................................................7分

射线与的交点的极径为，.....................................................................8分

射线与的交点的极径为，....................................................................9分

所以..........................................................................................................10分

23．（1）当时，原不等式等价于，即成立，所以；

当时，原不等式等价于，解得，

又，所以；

当时，原不等式等价于，即不成立，解得；

综上所述，不等式的解集为；.....................................................................5分

（2）由柯西不等式得，........................................7分

所以，......................................................................................................8分

当且仅当，即且时等号成立，................................................9分

即的最大值为..........................................................................................10分