2023北京首都师范大学附属密云中学高一上学期10月阶段性练习数学试题含解析

首师附密云中学2022-2023第一学期阶段练习·高一数学

2022.10.8   时间：120分钟   满分：150分

一、选择题（本题共30小题，每小题3分，共90分）

1. 下列命题正确的是

A. 很小的实数可以构成集合

B. 集合与集合是同一个集合

C. 自然数集N中最小的数是1

D. 空集是任何集合的子集

【答案】D

【解析】

【详解】试题解析：A 元素不确定

B．第一个集合是数集，第二个集合是点集，对象不统一

C 最小的数是0

考点：本题考查集合的概念

点评：解决本题的关键是理解集合的概念

2. 若集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由交集定义可直接得到结果.

【详解】由交集定义得：.

故选：C.

3. 已知集合，，，则是

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先根据条件求出，然后再根据并集的定义求出即可.

【详解】解：因为，，所以，则.

故选:A.

【点睛】本题考查集合补集以及并集的运算，属于基础题.

4. 命题“，”的否定是（    ）

A. 不存在，

B. ，

C. ，

D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】根据特称命题的否定直接判断.

【详解】根据特称命题的否定，可得命题“，”的

否定是“，”.

故选：D

5. 已知合集，，那么（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

首先化简集合，然后利用交集的定义求解.

【详解】化简集合，所以可得.

故选：A.

6. 已知集合，，则集合中元素的个数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由于集合分别表示抛物线、直线的点集，联立两方程，求出交点个数，即可得出结论.

【详解】联立，解得或，

所以.

故选：B.

7. 设，则下列不等式中不成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

对于A，C，D利用不等式的性质分析即可，对于B举反例即可

【详解】对于A，因为，所以，所以，即，所以A成立；

对于B，若，，则，，此时，所以B不成立；

对于C，因为，所以，所以C成立；

对于D，因为，所以，则，所以D成立，

故选：B.

【点睛】本题考查不等式的性质的应用，属于基础题.

8. 下列四个关系式：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】根据元素与集合的关系、集合与集合的关系、空集的知识确定正确选项.

【详解】是实数，所以正确，

是有理数，所以错误，

是集合，所以错误，

空集没有元素，所以错误.

所以正确的个数为个.

故选：A

9. 若aR，则a=2是（a-1）（a-2）=0的

A. 充分而不必要条件          B必要而不充分条件 B. 充要条件

C. 既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】

【详解】由a=2可得（a-1）（a-2）=0成立，反之不一定成立，故选A.

10. 已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据图像判断出阴影部分表示，由此求得正确选项.

【详解】根据图像可知，阴影部分表示，，所以.

故选：A

【点睛】本小题主要考查集合交集与补集的概念和运算，考查韦恩图，属于基础题.

11. 设集合， ，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分别求解两个集合中的不等式，结合选项分析即可.

【详解】由题意，，

，于是.

故选：C

12. 若为实数，则下列命题错误的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，，则

【答案】B

【解析】

【分析】根据不等式性质、函数单调性和作差法依次判断各个选项可得结果.

【详解】对于A，若，则，，A正确；

对于B，在上单调递减，当时，，B错误；

对于C，在上单调递减，当时，，C正确；

对于D，当，时，，，

，，，，即，D正确.

故选：B.

【点睛】本题考查不等关系的辨析问题，关键是熟练掌握不等式的性质、函数单调性以及作差法等判断不等关系的方法，属于基础题.

13. 设集合，，且，则实数的取值集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】化简集合，进一步得出答案.

详解】由题得，

因为，且，

所以实数的取值集合为.

故选：A.

14. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求得集合，从而求得，进而求得结果.

【详解】因为或，

则，

所以.

故选：B.

15. 若函数满足，且，，那么等于（    ）

A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】利用赋值法可得，进而即得.

【详解】因为函数满足，且，，

所以，

.

故选：B.

16. 若实数x，y满足，则的最大值为　　

A. 1 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据，即可求出最大值．

【详解】解：实数x，y满足，

，

，

当，时取等号，

故选C．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了运算和转化能力，属于基础题．

17. 已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0}只有一个元素，则实数a的值为（    ）

A.  B. 0 C. 或0 D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】根据是否为0分类讨论．

【详解】时，，满足题意；

时，，，此时，满足题意．

所以或．

故选：C

18. 设集合，，则（    ）

A.  B. ⫋ C. ⫋ D.

【答案】B

【解析】

【分析】将集合中表达式化为，再由此判断表达式中分子所表示集合的关系，即可得出结果.

【详解】对于集合，对于集合，

是奇数，是整数，所以⫋.

故选：B.

19. 下列四组中，与表示同一函数的是

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】A项对应关系不同；B项定义域不同；C项定义域不同，初步判定选D

【详解】对A，，与对应关系不同，故A错

对B，中，定义域，与定义域不同，故B错

对C，中，定义域，与定义域不同，故C错

对D，，当时，，当时，，故，D正确

故选D

【点睛】本题考查同一函数的判断，应把握两个基本原则：定义域相同；对应关系相同（化简后的函数表达式一样）

20. 下列函数中，值域为的是

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出每一个选项的函数的值域即得解.

【详解】对于选项A,函数的值域为，所以该选项不符；

对于选项B,函数的值域为R，所以该选项不符；

对于选项C,函数的值域为，所以该选项不符；

对于选项D, 函数的值域为[0,1],所以该选项符合.

故选D

【点睛】本题主要考查函数值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

21. 已知函数，则

A.  B. 4 C. 9 D. 16

【答案】C

【解析】

【分析】首先计算最内层函数=2，然后判断2<3,根据题意代入2所对应范围的函数解析式，计算即可求得结果.

【详解】解：因为5>3,所以， 则.

故选C.

【点睛】本题考查分段函数求值，根据分段函数的表达式分别求解是解决本题的关键，属于基础题.

22. 已知函数的对应关系如下表，函数的图象为如图所示的曲线，其中，，，则（    ）．

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

【答案】B

【解析】

【分析】利用给定图象求出的值，再根据给定数表即可得解.

【详解】观察函数的图象得：，由表格知：，

所以.

故选：B

23. 给出以下命题：

（1），；（2），；（3）有些自然数是偶数；

（4），；（5）是的充分不必要条件；

（6）符合条件集合有4个；

其中真命题的个数为（    ）

A. 1个 B. 3个 C. 4个 D. 6个

【答案】C

【解析】

【分析】根据存在量词命题的含义结合条件可判断（1）（3）（4），根据全称量词命题的含义及条件可判断（2），根据充分条件及必要条件的概念可判断（5），根据集合的关系可判断（6）.

【详解】当时，，故，，故（1）正确；

当时，不大于0，故（2）错误；

2,4是偶数，所以有些自然数是偶数，故（3）正确；

因为，故（4）错误；

由可推出，由推不出，

所以是的充分不必要条件，故（5）正确；

符合条件的集合与集合的子集数相同为4个，故（6）正确.

真命题的个数为4.

故选：C.

24. 若一元二次不等式的解集为，则（    ）

A. 5 B. 6 C.  D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意得到方程有两个根为，根据韦达定理可得到，进而得到答案.

【详解】一元二次不等式的解集为

即方程有两个根为

由韦达定理得到

解得

故得到.

故选：A.

25. 若关于x的不等式的解集为R，则实数k的取值范围是（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题可知满足或即可.

【详解】由题的解集为R，

当时，恒成立，满足题意；

当时，则，解得，

综上，.

故选：B.

【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，属于基础题.

26. 对任意的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据不等式恒成立等价于，再根据基本不等式求出，即可求解.

【详解】解：，

即，

即

又

当且仅当“”，即“”时等号成立，

即，

故.

故选：C.

27. 某产品总成本y万元与产量x（台）之间的关系是， ，若每台产品的售价为9万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是（　　）

A. 3台 B. 5台 C. 6台 D. 10台

【答案】A

【解析】

【分析】依题意利用 解出x的值，再结合x的取值范围，即得结果．

【详解】解：依题意， ，即，

解得或 （舍去），∵，∴.

∴生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是3（台）．

故选：A．

28. 在上的定义运算，则满足的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据运算的定义可得关于的不等式，从而可求不等式的解集.

【详解】即为，整理得到，

故，

故选：B．

29. 已知非空集合A，B满足以下两个条件

2，3，4，5，，；

若，则．

则有序集合对的个数为　　

A. 12 B. 13 C. 14 D. 15

【答案】A

【解析】

【分析】对集合A的元素个数分类讨论，利用条件即可得出．

【详解】解：由题意分类讨论可得：若，则3，4，5，；若，则3，4，5，；若，则2，4，5，；若，则2，3，5，；若，则3，4，1，；

若，则4，5，；若，则3，5，；若，则3，4，；

若，则3，5，；若，则3，4，；

若，则2，4，；

若3，，则4，．

综上可得：有序集合对的个数为12．

故选A．

【点睛】本题考查了元素与集合之间的关系、集合运算、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

30. 用表示集合A中的元素个数，若集合，，且.设实数的所有可能取值构成集合M，则=（    ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】根据题设条件，可判断出d（A）的值为1或3，然后研究的根的情况，分类讨论出a可能的取值．

【详解】由题意，，，可得值为1或3，

若，则仅有一根，必为0，此时a=0，则无根，符合题意

若，若仅有一根，必为0，此时a=0，则无根，不合题意，故有二根，一根是0，另一根是a，所以必仅有一根，所以，解得，此时的根为1或，符合题意，

综上，实数a的所有可能取值构成集合，故．

故选：A．

【点睛】本题考查方程的根的个数的判断以及集合中元素个数，综合性较强，考查了分类讨论的思想及一元二次方程根的个数的研究方法，难度中等．

二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）

31. 函数的定义域为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据题干条件列关系式，解方程即可得到答案.

【详解】解：由题意可知：，解得：且，所以的定义域为.

故答案为.

【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，同时考查了不等式组的解法，属于基础题.

32. 若，则______

【答案】-1

【解析】

【分析】根据集合的互异性推出，由得或，解方程即可.

【详解】由集合的互异性知，

若，则或，解得，所以.

故答案为：-1

【点睛】本题考查元素的互异性，根据元素与集合的关系求参数，属于基础题.

33. 设函数，若，则_________.

【答案】或

【解析】

【分析】分和两种情况解方程，可得出实数的值.

【详解】∵，

∴当时，，解得或；

当时，，解得(舍去)；

综上所述，或.

故答案为：或.

34. 已知，则的最小值为_____ ，当取得最小值时的值为______ .

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】

利用基本不等式求出最小值以及取得最小值时的值．

【详解】，

当且仅当时取等号

故答案为：

35. 在上定义运算，若成立，则的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据新定义，转化，解一元二次不等式即可

【详解】由题意，

解得：

故的取值范围是：

故答案为：

36. 集合，，若，求实数的取值范围_________.

【答案】

【解析】

【分析】先求出集合，根据即可求出实数的取值范围.

【详解】因为或，

，

又，

所以，即.

故答案为：.

37. 已知集合，函数的定义域、值域都是，且对于任意，，则满足条件的函数有_____个.

【答案】9

【解析】

【分析】直接列举出满足题意的函数，即得满足题意的函数的个数.

【详解】

当（1）时，若（2），则（3），（4）；

若（2），则（4），（3），

若（2），则（3），（4），共3种；

同理可得：当（1），（1）时，都有3种．

综上所述：满足条件的函数共有9种．

故答案为9．

【点睛】本题考查了函数的定义域和值域、函数的概念，属基础题．

三、解答题（共3小题，共32分）

38. 已知全集，集合，，.

（1）求；

（2）求；

（3）若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）求出集合，利用交集的定义可求得集合；

（2）利用补集和并集的定义可求得集合；

（3）根据可求得实数的取值范围.

【详解】（1），，

因此，；

（2），，因此，；

（3），且，.

39. 已知函数，.

（1）若函数的图象经过点，求实数的值；

（2）在（1）条件下，求不等式的解集；

（3）当时，函数的最小值为1，求当时，函数的最大值.

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）当时，最大值为13，当时，最大值为．

【解析】

【分析】（1）由题可得，进而即得；

（2）利用二次不等式的解法即得；

（3）对的对称轴与区间的关系进行分情况讨论，判断的单调性，利用单调性解出，再求出最大值．

【小问1详解】

由题可得，

∴；

【小问2详解】

由，

解得，

所以不等式的解集为；

【小问3详解】

因为是开口向上，对称轴为的二次函数，

①若，则在上是增函数，

∴，

解得，

∴；

②若，则在上是减函数，

∴，解得（舍）；

③若，则在上是减函数，在上是增函数；

∴，解得或（舍）．

∴；

综上，当时，的最大值为13，当时，最大值为．

40. 已知集合A，B为非空数集，定义A-B={x∈A且x∉B}.

（1）已知集合A=(-1，1)，B=(0，2)，求A-B，B-A；(直接写出结果即可)

（2）已知集合P={x|x2-ax-2a2≥0}，Q=[1，2]，若Q-P=，求实数a的取值范围.

【答案】（1），；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据定义可直接求出；

（2）由可得，讨论的正负即可求出的范围.

【详解】（1），

由定义可得，；

（2），，

当时，，满足；

当时，或，

，解得；

当时，或，

，解得，

综上，.

【点睛】本题考查集合的新定义问题，考查包含关系的判断及根据包含关系求参数范围，属于基础题.