初中数学鲁教版 (五四制)七年级上册第二章 轴对称综合与测试随堂练习题

一、选择题(每小题3分,共36分)

1.(2021宜宾)下列图形是轴对称图形的是(　D　)

                      A    B    C    D

2.如图所示,线段AC,AD关于直线AB成轴对称,点E,F分别在AC,AD上,且AE=AF.ED,CF相交于点B.图中关于AB成轴对称的三角形共有(　D　)

A.1对     B.2对    C.3对      D.4对

第2题图

3.将一张正方形纸片按如图所示的步骤,通过折叠得到图④,在CA,CB上各取一点连成虚线,沿该虚线剪去一个角,剩余部分展开铺平后得到的图形可能是(　B　)

                      A    B    C    D

4.如图所示,在方格纸中,选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑,不能与图中阴影部分构成轴对称图形的是(　D　)

A.① B.② C.③ D.④

第4题图

5.如图所示,AD平分∠BAC,交BC于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若S△ABC=12,DF=2,AC=3,则AB的长是(　D　)

A.2 B.4 C.7 D.9

第5题图

6.在联欢会上,有A,B,C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上,他们在玩抢凳子游戏,要求在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的(　C　)

A.三边中线的交点   B.三条角平分线的交点

C.三边垂直平分线的交点 D.三边上高所在直线的交点

7.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,点D是AC的中点,过点D作DE⊥AC,交BC于点E,连接EA,则∠BAE的度数为(　C　)

A.30° B.80° C.90° D.110°

第7题图

8.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M,N,再分别以点M,N为圆心,以大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是(　D　)

①AD是∠BAC的平分线;

②∠ADC=60°;

③△ABD是等腰三角形;

④点D到直线AB的距离等于CD的长度.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

第8题图

9.如图所示,△ABC是等边三角形,P是三角形内一点,PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,若△ABC的周长为24,则PD+PE+PF等于(　A　)

A.8　　 B.9　　 C.12　　 D.15

第9题图

10.(2021龙口期中)如图所示,AB=AC,点B关于AD的对称点E恰好落在CD上,∠BAC=124°,AF为△ACE中CE边上的中线,则∠ADB的度数为(　B　)

A.24° B.28° C.30° D.38°

第10题图

11.如图所示,等边三角形ABC的边长为4,AD是BC边上的中线,F是AD上的动点,E是AC边上一点,若AE=2,当EF+CF取得最小值时,∠ECF的度数为(　A　)

A.30° B.45° C.35° D.60°

第11题图

12.如图所示,在Rt△ABC中,∠B=45°,AB=AC,点D为BC中点,直角   ∠MDN绕点D旋转,DM,DN分别与边AB,AC交于E,F两点,下列结论:①△DEF是等腰直角三角形;②AE=CF;③△BDE≌△ADF;④BE+CF=EF,其中正确的个数是(　C　)

A.1 B.2 C.3 D.4

第12题图

二、填空题(每小题3分,共18分)

13.小明在平面镜中看到身后墙上钟表(指针)显示的时刻是12:15,这时的实际时刻应该是　11:45　. 

14.(2021乐陵期中)小明在纸上面画了一个边长为5 cm的等边三角形ABC,并将一根宽为2 cm的直尺按如图所示放在所画△ABC上,使得直尺一条边与△ABC的边BC在同一条直线上,另一条边交边AB于点E,则AE=　1 cm　. 

第14题图

15.如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠DBC=15°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,则∠A的度数是　50°　. 

第15题图

16.如图所示,已知AE=BE,DE是AB的垂线,F为DE上一点,BF=11 cm, CF=3 cm,则AC=　14 cm　. 

第16题图

17.如图所示,∠AOB=30°,点M,N分别是射线OB,射线OA上的动点,点P为∠AOB内一点,且OP=4,则△PMN周长的最小值为　4　. 

第17题图

18.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADC的度数为　130°或90°　. 

三、解答题(共46分)

19.(8分)如图所示,在△ABC中,已知AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交AC于点M,连接MB.

(1)若∠ABC=68°,求∠NMA的度数;

(2)若AB=10 cm,△MBC的周长是18 cm,求BC的长度.

解:(1)因为AB=AC,

所以∠C=∠ABC=68°.

所以∠A=180°-∠C-∠ABC=180°-68°-68°=44°.

因为MN垂直平分线段AB,所以∠ANM=90°.

所以∠NMA=90°-∠A=90°-44°=46°.

(2)因为MN是AB的垂直平分线,

所以AM=BM.

所以△MBC的周长为BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC.

因为AB=10 cm,△MBC的周长是18 cm,

所以AC=AB=10 cm,AC+BC=18 cm.

所以BC=18-AC=18-10=8(cm).

20.(8分)如图所示,在等边三角形ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,作BO,CO的垂直平分线分别交BC于点E和点F.小明说:“E,F是BC的三等分点.”你同意他的说法吗?请说明理由.

解:同意.理由如下:

连接OE,OF,如图所示.

因为E为BO垂直平分线上的点,且∠OBC=30°,

所以BE=OE,∠EBO=∠EOB=30°,

所以∠BEO=120°,

所以∠OEF=60°.

同理,∠OFE=60°,

所以△OEF为等边三角形,

即EF=OE=BE,EF=OF=FC,

故BE=EF=FC,

故E,F为BC的三等分点,

故该说法正确.

21.(8分)如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,∠ACB的平分线交AD于点E,交AB于点F,FG⊥BC于点G,请猜测AE与FG之间有怎样的数量关系,并说明理由.

解:AE=FG.理由如下:

因为CF平分∠ACB,FA⊥AC,FG⊥BC,

所以FG=FA.

因为∠AFC+∠ACF=90°,∠DEC+∠ECD=90°,且∠ACF=∠ECD,

所以∠AFC=∠DEC.

因为∠AEF=∠DEC,

所以∠AFC=∠AEF.

所以AE=FA.

所以AE=FG.

22.(10分)请按要求完成下面三道小题.

(1)如图①所示,AB=AC.这两条线段一定关于某条直线对称吗?如果是,请画出对称轴a(尺规作图,保留作图痕迹);如果不是,请说明理由.

(2)如图②所示,已知线段AB和点C.求作线段CD(不要求尺规作图),使它与AB成轴对称,且A与C是对称点,标明对称轴b,并简述画图   过程.

(3)如图③所示,任意位置的两条线段AB,CD,AB=CD.你能通过对其中一条线段作有限次的轴对称使它们重合吗?如果能,请描述操作方法;如果不能,请说明理由.

                    ①      ②      ③

解:(1)是.如图①所示,作∠BAC的平分线所在直线a.(答案不唯一)

                  ①       ②         ③

(2)如图②所示:

①连接AC;

②作线段AC的垂直平分线,即为对称轴b;

③作点B关于直线b的对称点D;

④连接CD,CD即为所求作的线段.

(3)能.如图③所示,连接BD;作线段BD的垂直平分线,即为对称轴c;作点C关于直线c的对称点E;连接BE;作∠ABE的平分线所在直线d即为对称轴,故其中一条线段作2次的轴对称即可使它们重合.

23.(12分)如图所示,在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F,连接CF,AD交于点G.

(1)试说明:BF=CD;

(2)试说明:AD⊥CF;

(3)连接AF,试判断△ACF的形状,并说明理由.

解:(1)因为CA=CB,∠ACB=90°,

所以∠CBA=∠CAB=45°.

因为DE⊥AB,所以∠DEB=90°,所以∠BDE=45°.

因为BF∥AC,所以∠CBF+∠ACB=180°,所以∠CBF=90°,

所以∠BFD=45°=∠BDE,所以BF=DB.

因为D为BC的中点,所以CD=DB,所以BF=CD.

(2)在△CBF和△ACD中,

CB=AC,∠CBF=∠ACD,BF=CD,

所以△CBF≌△ACD(SAS),所以∠BCF=∠CAD.

因为∠BCF+∠GCA=90°,所以∠CAD+∠GCA=90°,

所以∠AGC=90°,即AD⊥CF.

(3)△ACF是等腰三角形.

理由如下:因为BF=DB,DE⊥AB,所以AD=AF.

由(2)可知△CBF≌△ACD,所以CF=AD,

所以CF=AF,即△ACF是等腰三角形.