初中数学鲁教版 (五四制)七年级上册第三章 勾股定理综合与测试课时作业

一、选择题(每小题3分,共36分)

1.如图所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线段AB的长度为(　A　)

A.5 B.6 C.7 D.25

第1题图

2.下列各组数中,以它们为边长不能构成直角三角形的是(　D　)

A.60,80,100  B.13,5,12 

C.0.3,0.4,0.5 D.2,3,4

3.(2021泰安期中)如图所示,阴影部分是一个正方形,则此正方形的面积为(　A　)

A.64 B.32 C.16 D.128

第3题图

4.如图所示,把长方形纸条ABCD沿EF,GH同时折叠,B,C两点恰好落在AD边的P点处,若∠FPH=90°,PF=8,PH=6,则长方形ABCD的边BC长为(　A　)

A.24 B.22 C.20 D.30

第4题图

5.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图所示,在△ABC中,∠ACB= 90°,AC+AB=10尺,BC=3尺,求AC的长.在这个问题中,AC的长为(　C　)

A.4尺  B. 尺 

C. 尺 D.5尺

第5题图

6.如图所示,在波平如镜的湖面上,有一朵盛开的美丽的红莲,它高出水面3尺,突然一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵刚好齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为6尺,则水深是(　C　)

A.3.5尺 B.4尺 C.4.5尺 D.5尺

第6题图

7.如图所示,高速公路上有A,B两点相距25 km,C,D为两村庄,已知DA=10 km,CB=15 km.DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,现要在AB上建一个服务站E,使得C,D两村庄到E站的距离相等,则AE的长是(　C　)

A.5 km B.10 km C.15 km D.25 km

第7题图

8.在△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则BC等于(　C　)

A.14  B.4 

C.14或4 D.9或5

9.某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜(如图所示).在三棱镜的侧面上,从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝,已知此三棱镜的高为9 cm,底面边长为4 cm,则这圈金属丝的长度至少为(　D　)

A.8 cm B.10 cm C.12 cm D.15 cm

第9题图

10.如图①所示,美丽的弦图蕴含着四个全等的直角三角形.已知每个直角三角形较长的直角边为a,较短的直角边为b,斜边长为c.如图②所示,现将这四个全等的直角三角形紧密拼接,形成飞镖状,已知外围轮廓(实线)的周长为24,OC=3,则该飞镖状图案的面积为(　C　)

A.6 B.12 C.24 D.24

第10题图

11.如图所示,在Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使点A与BC的中点D重合,折痕为PQ,则线段BQ的长度为(　C　)

A.  B. 

C.4 D.5

第11题图

12.给出下列四个说法:①如果a,b,c为一组勾股数,那么4a,4b,4c仍是勾股数;②如果直角三角形的两边是5,12,那么第三边必是13;③如果一个三角形的三边是12,25,21,那么此三角形必是直角三角形;④如果三角形三边长分别是n2-4,4n,n2+4(n>2),那么此三角形是直角三角形.其中正确的说法是(　C　)

A.①② B.①③ C.①④ D.②④

二、填空题(每小题3分,共18分)

13.已知在△ABC中,AB=5,BC=8,BC边上的中线AD=3,则AC=　5　. 

14.如图所示,AB,BC,CD,DE是四根长度均为5 cm的火柴棒,点A,C,E共线.若AC=6 cm,CD⊥BC,则线段CE的长度是　8　cm. 

第14题图

15.如图所示,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将纸片沿MN折叠,使点B落在CD边上的B′处,点A的对应点为A′,且B′C=3,则AM的长是　2　. 

第15题图

16.如图所示,AB⊥BC于点B,DC⊥BC于点C,E是BC上一点,∠BAE=    ∠DEC=60°,AB=3,CE=4,则AD=　10　. 

第16题图

17.如图所示,A,B两个小镇在河流CD的同侧,到河边的距离分别为AC=10 km,BD=30 km,且CD=30 km,现在要在河边建一自来水厂,向A,B两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万元,在河流CD上选择水厂的位置为点M,使铺设水管的费用最节省,则总费用是　150　万元. 

第17题图

18.如图所示,在正方形网格中,A,B,C,D均为格点,则∠BAC-∠DAE=　45°　. 

第18题图

三、解答题(共46分)

19.(8分)(2021泰安期中)如图所示的是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20 dm,3 dm,2 dm,A和B是这个台阶上两个相对的端点,点A处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁从A点沿着台阶面爬行到B点的最短路程为多少?

解:如图所示,三级台阶平面展开图为长方形,长为20 dm,宽为(2+3)×3 dm,

则蚂蚁从A点沿台阶面爬行到B点的最短路程是此长方形的对角    线长.

设蚂蚁从A点沿台阶面爬行到B点的最短路程为x dm,

根据勾股定理,得x2=202+[(2+3)×3]2.

解得x=25.

即蚂蚁从A点沿着台阶面爬行到B点的最短路程为25 dm.

20.(8分)(2021沂源期中)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, AB=20 cm,AC=16 cm,点P从点A出发,以每秒1 cm的速度向点C运动,连接PB,设运动时间为t s(t>0).　

(1)求BC的长;

(2)当PA=PB时,求t的值.

解:(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=20 cm,AC=16 cm,

所以BC2=AB2-AC2.解得BC=12 cm.

(2)设AP=t cm,则BP=AP=t cm,PC=(16-t)cm.

在Rt△PCB中,

因为∠PCB=90°,

所以PC2+BC2=PB2,

即(16-t)2+122=t2.

解得t=12.5.

所以当点P运动到PA=PB时,t的值为12.5.

21.(8分)《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》规定:机动车在同方向只有一条机动道的公路上行驶的速度不得超过 70 km/h.如图所示,一辆小汽车在同方向只有一条机动道的公路上行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30 m的C处,过了2 s后,测得小汽车与车速检测仪间距离为50 m,这辆小汽车超速了吗? (参考数据转换:1 m/s=3.6 km/h)

解:由题意,知△ABC是直角三角形,∠C=90°,AC=30 m,AB=50 m,

根据勾股定理,有BC2+AC2=AB2,

即BC2+302=502.

解得BC=40 m.

所以小汽车的速度为=20(m/s).

20 m/s=(20×3.6)km/h=72 km/h.

因为72 km/h>70 km/h,

所以这辆小汽车超速行驶.

22.(10分)如图所示,一架25 m长的梯子AC斜靠在一面竖直的墙AB上,这时梯子底端C到墙的距离BC为7 m.

(1)求这架梯子的顶端距地面的高度AB的长;

(2)如果梯子的顶端A沿墙下滑4 m到点A′,小明说梯子的底端C在水平方向向右也滑动4 m.你认为小明说的对吗?请说明你的理由.

解:(1)在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2+BC2=AC2,

即AB2+72=252,

所以AB=24 m,

即这架梯子的顶端距地面的高度AB的长是24 m.

(2)小明说的不对.

理由:因为梯子的顶端A下滑了4 m至点A′,

所以BA′=AB-AA′=24-4=20(m).

在Rt△BA′C′中,由勾股定理,得BA′2+BC′2=A′C′2,

即202+BC′2=252.

所以BC′=15m,

所以CC′=BC′-BC=15-7=8(m),

即梯子的底端在水平方向向右滑动了8 m.

23.(12分)我国海监船在某岛海域的巡航如图所示,OA⊥OB,OA=    45 n mile,OB=15 n mile,该岛位于O点,我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船,自A点出发沿着AO方向匀速驶向该岛所在地点O,我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船,结果在点C处截住了渔船.

(1)请用直尺和圆规作出C处的位置;

(2)求我国海监船行驶的航程BC的长.

解:(1)如图所示,作AB的垂直平分线与OA交于点C.

(2)连接BC,如图所示.

由作图可得CD为AB的中垂线,则CB=CA.

由题意可得OC=45-CA=45-CB.

因为OA⊥OB,

在Rt△BOC中,BO2+OC2=BC2,

所以152+(45-BC)2=BC2,

解得BC=25.

故我国海监船行驶的航程BC的长为25 n mile.