北京市首都师范大学附属中学实验学校2022--2023学年九年级上学期10月阶段性测试数学试卷(含答案)

这是一份北京市首都师范大学附属中学实验学校2022--2023学年九年级上学期10月阶段性测试数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北京市首都师范大学附属中学实验学校2022--2023学年九年级
上学期10月阶段性测试数学试卷（含答案与详解）
一、选择题（本题共24分，每小题3分，第1-8题均有四个选项。符合题意的选项只有一个）
1．（3分）抛物线y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
2．（3分）用配方法解方程x2+2x＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x+1）2＝0 B．（x+1）2＝1 C．（x+2）2＝4 D．（x+2）2＝0
3．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣10＝0的两个根，则x1•x2的值为（　　）
A．3 B．10 C．﹣3 D．﹣10
4．（3分）如果关于x的方程x2﹣5x+m+2＝0有一个根为0，那么m的值等于（　　）
A．0 B．2 C．﹣2 D．5
5．（3分）已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如表所示：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
6
1
﹣2
﹣3
a
1
6
…
则表格中a的值应为（　　）
A．﹣2 B．0 C．1 D．3
6．（3分）下列二次函数图象不经过第二象限的是（　　）
A．y＝3x2 B．y＝3x2﹣2
C．y＝﹣3x2+4 D．y＝﹣3（x﹣1）2+2
7．（3分）二次函数y＝kx2﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k≤1 D．k≤1且k≠0
8．（3分）已知一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的较小根为x1，则估计x1的近似值最接近的是（　　）
A．﹣1.5 B．﹣1.3 C．﹣1.0 D．﹣0.8
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）抛物线y＝+1的对称轴是直线 　 　．
10．（3分）请写出一个开口方向向上，且与y轴交于点（0，4）的二次函数表达式为 　 　．
11．（3分）请写出一个满足以下两个条件的一元二次方程：
①两根均为整数；②两根异号．
这个方程可以是 　 　．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，直接写出不等式ax2+bx+c＞0的解集为 　 　．

13．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则整数a的最大值为 　 　．
14．（3分）某工厂2019年共生产1000件A型商品，2021年共生产1440件A型商品，设平均年增长率为x，根据题意可列方程 　 　，解得x＝　 　．
15．（3分）在平面直角坐标系xOy中．已知抛物线G：y＝ax2的开口方向及大小与抛物线y＝﹣x2+8相同，则a＝　 　；现将坐标系先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，抛物线G不随之移动，则在新坐标系内，抛物线G的表达式为 　 　．
16．（3分）如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于点C，直线y＝x+b经过点B，且与y轴交于点D，则a+b+c的值为 　 　；已知P为第一象限抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BD于点F，若PF＝AB，则点P的横坐标为 　 　．

三、解答题（本题共52分，17-18题4分，19-22题每小题4分，23-26题每小题4分）
17．（4分）解方程：（x﹣3）2＝9．
18．（4分）解方程：x2+2x﹣8＝0．
19．（5分）已知代数式，A＝（2m+1）（2m﹣1）﹣m（3m﹣1）．
（1）化简代数式A；
（2）若m是方程x2+x﹣3＝0的一个根．求代数式A的值．
20．（5分）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取满足条件的最大整数时，求出此时方程的两个根．
21．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c经过点（0，﹣3），且当x＝﹣2时，y取得最大值为1．
（1）直接写出该二次函数图象的顶点坐标为 　 　；
（2）求该二次函数的表达式；
（3）在坐标系中画出该二次函数的图象．

22．（5分）阅读下面材料：
小明在解方程（2x﹣3）2+4（2x﹣3）﹣5＝0时，发现括号内的代数式是完全相同的，于是采用了如下方法：令t＝2x﹣3①，则原方程为t2+4t﹣5＝0．解得t1＝﹣5，t2＝1，分别代入①后算出了x的值．
解决以下问题：
（1）直接写出方程（2x﹣3）2+4（2x﹣3）﹣5＝0的根为 　 　；
（2）利用材料中的方法求抛物线y＝（5x+6）2﹣（5x+6）﹣12与x轴的交点坐标；
（3）直接写出方程（2x2+1）2﹣9（2x2+1）＝0有 　 　个实根．
23．（6分）北京市某中学开展了包含古建、民俗、中医药、造纸印刷、丝绸文化、非遗精品六大系列的实践项目课程，并用展板进行成果展览．为了装饰，学校用长为32dm的彩带紧紧围在一块面积为60dm2的矩形展板四周（彩带恰好围满，且不重叠）．设矩形展板的一边长为xdm．
（1）另一边的长为 　 　dm（用含x的式子表示）；
（2）求矩形展板的两条边长；
（3）以同样的方式，用长为32dm的彩带能紧紧围在一块面积为65dm2的矩形展板四周吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．
24．（6分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a．
（1）直接写出二次函数图象的对称轴是直线 　 　；
（2）若该二次函数的图象开口向下，且y的最大值是2，求抛物线的解析式；
（3）对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤x+1，x2≥5时，总有y1≥y2，请结合函数图象，求出t的取值范围．
25．（6分）在△ABC中，AB＝AC，过点C作射线CB'，使∠ACB'＝∠ACB（点B'与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB'上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD＝90°．
（1）如图1，当点E与点C重合时，AD与CB'的位置关系是 　 　，若BC＝a，则CD的长为 　 　；（用含a的式子表示）
（2）如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．
①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．


26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，如果点Q满足条件：以线段PQ为对角线的正方形，且正方形的边分别与x轴，y轴平行，那么称点Q为点P的“和谐点”，如图所示，已知点D（﹣1，2），E（1，2），F（﹣1，﹣2）．
（1）已知点A的坐标是（2，1）．
①在D，E，F中，是点A的“和谐点”的是 　 　．
②已知点B的坐标为（0，b），如果点B为点A的“和谐点”，求b的值；
（2）已知点C（m，0），如果线段DE上存在一个点M，使得点M是点C的“和谐点”，直接写出m的取值范围．


北京市首都师范大学附属中学实验学校2022--2023学年九年级
上学期10月阶段性测试数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（本题共24分，每小题3分，第1-8题均有四个选项。符合题意的选项只有一个）
1．（3分）抛物线y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：由y＝2（x﹣1）2+3，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，3），
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，记住：顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
2．（3分）用配方法解方程x2+2x＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x+1）2＝0 B．（x+1）2＝1 C．（x+2）2＝4 D．（x+2）2＝0
【分析】两边都加上一次项系数一半的平方，然后写成完全平方式即可．
【解答】解：∵x2+2x＝0，
∴x2+2x+1＝1，即（x+1）2＝1，
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣10＝0的两个根，则x1•x2的值为（　　）
A．3 B．10 C．﹣3 D．﹣10
【分析】利用根与系数的关系求出两根之积即可．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣10＝0的两个根，
∴x1x2＝﹣10．
故选：D．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
4．（3分）如果关于x的方程x2﹣5x+m+2＝0有一个根为0，那么m的值等于（　　）
A．0 B．2 C．﹣2 D．5
【分析】把x＝0代入方程得到关于m的方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝0代入x2﹣5x+m+2＝0得m+2＝0，
解得m＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5．（3分）已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如表所示：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
6
1
﹣2
﹣3
a
1
6
…
则表格中a的值应为（　　）
A．﹣2 B．0 C．1 D．3
【分析】由抛物线经过点（﹣3，1），（1，1），可得抛物线的对称轴，由抛物线的对称性及抛物线经过（﹣2，﹣2）可得抛物线经过点（0，﹣2），即可求得a＝﹣2．
【解答】解：由表格可得抛物线经过点（﹣3，1），（1，1），
∴抛物线对称轴为直线x＝＝﹣1，
∵抛物线经过（﹣2，﹣2），
∴抛物线经过点（0，﹣2），
∴a＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
6．（3分）下列二次函数图象不经过第二象限的是（　　）
A．y＝3x2 B．y＝3x2﹣2
C．y＝﹣3x2+4 D．y＝﹣3（x﹣1）2+2
【分析】利用二次函数的性质进行分析即可．
【解答】解：A、y＝3x2的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点为原点，图象经过第一、二象限，故此选项不合题意；
B、y＝3x2﹣2的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点为（0，﹣2），图象经过第一、二、三、四象限，故此选项不合题意；
C、y＝﹣3x2+4的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点为（0，4），图象经过第一、二、三、四象限，故此选项不合题意；
D、y＝﹣3（x﹣1）2+2的图象开口向下，对称轴为y＝1，顶点为（1，2），交y轴于（0，﹣1），图象经过第一、三、四象限，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．（3分）二次函数y＝kx2﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k≤1 D．k≤1且k≠0
【分析】根据二次函数y＝kx2﹣2x+1的图象与x轴有两交点，可知kx2﹣2x+1＝0时的Δ＞0，且k≠0，从而可以求得k的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣2x+1的图象与x轴有交点，
∴kx2﹣2x+1＝0时，
，
解得k＜1且k≠0．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数与x轴的交点，能将抛物线与一元二次方程建立关系以及注意二次项系数不等于0是解题的关键．
8．（3分）已知一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的较小根为x1，则估计x1的近似值最接近的是（　　）
A．﹣1.5 B．﹣1.3 C．﹣1.0 D．﹣0.8
【分析】利用公式法表示出方程的根，估算即可．
【解答】解：x2﹣x﹣3＝0，
b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13，
∴x＝，
∴方程的最小值是，即﹣＜a＜﹣1，
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，以及估算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）抛物线y＝+1的对称轴是直线 　x＝　．
【分析】根据二次函数的性质即可得到抛物线的对称轴．
【解答】解：由抛物线y＝+1可得抛物线的对称轴为x＝，
故答案为：x＝．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键．
10．（3分）请写出一个开口方向向上，且与y轴交于点（0，4）的二次函数表达式为 　y＝x2+x+4（答案不唯一）　．
【分析】根据题意写出满足题意二次函数解析式即可．
【解答】解：∵开口向上，
∴a＞0，
∵y轴的交点为（0，4），
∴次函数表达式为y＝x2+x+4．
故答案为：y＝x2+x+4（答案不唯一）．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
11．（3分）请写出一个满足以下两个条件的一元二次方程：
①两根均为整数；②两根异号．
这个方程可以是 　x2+2x﹣3＝0（答案不唯一）　．
【分析】只要两根之积小于0且两根的和为整数即可．
【解答】解：满足条件的一元二次方程不唯一，
例如x2+2x﹣3＝0（答案不唯一），
故答案为：x2+2x﹣3＝0（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，直接写出不等式ax2+bx+c＞0的解集为 　﹣2＜x＜6　．

【分析】直接写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：根据函数图象知，抛物线在x轴上方时，﹣2＜x＜6，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为﹣2＜x＜6．
故答案为：﹣2＜x＜6．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
13．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则整数a的最大值为 　2　．
【分析】根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出a的范围，确定出所求即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，
∴Δ＝4﹣4（a﹣1）≥0，且a﹣1≠0，
解得：a≤2且a≠1，
则整数a的最大值为2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，灵活运用一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
14．（3分）某工厂2019年共生产1000件A型商品，2021年共生产1440件A型商品，设平均年增长率为x，根据题意可列方程 　1000（1+x）2＝1440　，解得x＝　20%　．
【分析】利用该工厂2021年的生产量＝该工厂2019年的生产量×（1+平均年增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：依题意得：1000（1+x）2＝1440，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
故答案为：1000（1+x）2＝1440；20%．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（3分）在平面直角坐标系xOy中．已知抛物线G：y＝ax2的开口方向及大小与抛物线y＝﹣x2+8相同，则a＝　﹣　；现将坐标系先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，抛物线G不随之移动，则在新坐标系内，抛物线G的表达式为 　y＝﹣（x+2）2﹣3　．
【分析】抛物线的开口方向和开口大小由a的值决定，则可求得a的值，然后利用二次函数平移规律得出答案．
【解答】解：∵抛物线G：y＝ax2的开口方向及大小与抛物线y＝﹣x2+8相同，
∴a＝﹣，
∴抛物线G为：y＝﹣x2，
则将抛物线G：y＝﹣x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的新的抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2﹣3．
故答案为：﹣，y＝﹣（x+2）2﹣3．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，掌握抛物线的开口方向和开口大小由a的值决定，掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
16．（3分）如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于点C，直线y＝x+b经过点B，且与y轴交于点D，则a+b+c的值为 　﹣1　；已知P为第一象限抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BD于点F，若PF＝AB，则点P的横坐标为 　1　．

【分析】用待定系数法求出函数解析式，从而得出a+b+c的值；然后设P（m，﹣m2+m+2），则F（m，m﹣2），根据PF＝AB得出关于m的方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：把A（﹣1，0），B（2，0）代入y＝ax2+x+c得：
，
解得；
∴y＝﹣x2+x+2；
把B（2，0）代入直线y＝x+b得：
2+b＝0，
解得b＝﹣2，
∴y＝x﹣2，
∴a+b+c＝﹣1﹣2+2＝﹣1．
设P（m，﹣m2+m+2），则F（m，m﹣2），
∴PF＝﹣m2+m+2﹣（m﹣2）＝﹣m2+4，
∵PF＝AB＝3，
∴﹣m2+4＝3，
解得m＝±1，
∵P为第一象限抛物线上一动点，
∴m＝1．
故答案为：﹣1；1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数和二次函数的性质，关键是求出一、二次函数的解析式．
三、解答题（本题共52分，17-18题4分，19-22题每小题4分，23-26题每小题4分）
17．（4分）解方程：（x﹣3）2＝9．
【分析】两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（x﹣3）2＝9，
开方得：x﹣3＝±3，
解得：x1＝0，x2＝6．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
18．（4分）解方程：x2+2x﹣8＝0．
【分析】利用因式分解法解出方程．
【解答】解：x2+2x﹣8＝0
（x﹣2）（x+4）＝0
x﹣2＝0，x+4＝0
x1＝2，x2＝﹣4
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
19．（5分）已知代数式，A＝（2m+1）（2m﹣1）﹣m（3m﹣1）．
（1）化简代数式A；
（2）若m是方程x2+x﹣3＝0的一个根．求代数式A的值．
【分析】（1）先根据平方差公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项即可；
（2）根据方程的解的定义得出m2+m﹣3＝0，求出m2+m＝3，再代入求出答案即可．
【解答】解：（1）A＝（2m+1）（2m﹣1）﹣m（3m﹣1）
＝4m2﹣1﹣3m2+m
＝m2+m﹣1；

（2）∵m是方程x2+x﹣3＝0的一个根，
∴m2+m﹣3＝0，
即m2+m＝3，
当m2+m＝3时，A＝3﹣1＝2．
【点评】本题考查了整式的化简求值和一元二次方程的解，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
20．（5分）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取满足条件的最大整数时，求出此时方程的两个根．
【分析】（1）由根的判别式，可得关于k的不等式，求解即可；
（2）先根据题意，确定k的值，再求方程的解．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
即16﹣4（k+1）＞0，
解得k＜3；
（2）∵k是小于3的最大整数，
所以k＝2，
当k＝2时，原方程为x2﹣4x+3＝0，
解得，x1＝﹣1，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了根的判别式的应用和一元二次方程的解法．一元二次方程根的个数取决于△，Δ＝b2﹣4ac．
21．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c经过点（0，﹣3），且当x＝﹣2时，y取得最大值为1．
（1）直接写出该二次函数图象的顶点坐标为 　（﹣2，1）　；
（2）求该二次函数的表达式；
（3）在坐标系中画出该二次函数的图象．

【分析】（1）利用二次函数的性质可得出得出顶点坐标；
（2）利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；
（3）列表、描点、连线画出函数的图象即可．
【解答】解：（1）∵当x＝﹣2时，y取得最大值为1．
∴二次函数图象的顶点坐标是（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）；
（2）设二次函数为y＝a（x+2）2+1，
将点（0，﹣3）代入得：﹣3＝4a+1，
解得a＝﹣1，
∴二次函数的表达式为y＝﹣（x+2）2+1．
（3）列表：
x
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
﹣3
0
1
0
﹣3
…
描点、连线画出函数y＝﹣（x+2）2+1的图象如图：
．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质找出二次函数图象的顶点坐标；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式；（3）利用五点法画出二次函数图象．
22．（5分）阅读下面材料：
小明在解方程（2x﹣3）2+4（2x﹣3）﹣5＝0时，发现括号内的代数式是完全相同的，于是采用了如下方法：令t＝2x﹣3①，则原方程为t2+4t﹣5＝0．解得t1＝﹣5，t2＝1，分别代入①后算出了x的值．
解决以下问题：
（1）直接写出方程（2x﹣3）2+4（2x﹣3）﹣5＝0的根为 　x＝﹣1或x＝2　；
（2）利用材料中的方法求抛物线y＝（5x+6）2﹣（5x+6）﹣12与x轴的交点坐标；
（3）直接写出方程（2x2+1）2﹣9（2x2+1）＝0有 　2　个实根．
【分析】（1）根据材料方法直接求解即可；
（2）根据抛物线与一元二次方程的关系，求出方程的解即为抛物线与x轴的交点；
（3）根据材料中的方法求解即可．
【解答】解：（1）令t＝2x﹣3①，则原方程为t2+4t﹣5＝0，
解得t1＝﹣5，t2＝1，
把t1＝﹣5，t2＝1分别代入①得：
2x﹣3＝﹣5或2x﹣3＝1，
解得x＝﹣1或x＝2，
故答案为：x＝﹣1或x＝2；
（2）令y＝0，则（5x+6）2﹣（5x+6）﹣12＝0，
令5x+6＝t①，则原方程为t2﹣t﹣12＝0，
解得t1＝﹣3，t2＝4，
把t1＝﹣3，t2＝4分别代入①得：
5x+6＝﹣3或5x+6＝4，
解得x＝﹣或x＝﹣，
∴抛物线y＝（5x+6）2﹣（5x+6）﹣12与x轴的交点坐标为（﹣，0），（﹣，0）；
（3）令2x2+1＝t①，则原方程为t2﹣9t＝0，
解方程得：t1＝0，t＝9，
把t1＝0，t＝9代入①得：
2x2+1＝0（不成立）或2x2+1＝9，
解得x＝±2．
∴方程（2x2+1）2﹣9（2x2+1）＝0有两个实数根，
故答案为：2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点和换元法解一元二次方程，关键是掌握换元法解一元二次方程．
23．（6分）北京市某中学开展了包含古建、民俗、中医药、造纸印刷、丝绸文化、非遗精品六大系列的实践项目课程，并用展板进行成果展览．为了装饰，学校用长为32dm的彩带紧紧围在一块面积为60dm2的矩形展板四周（彩带恰好围满，且不重叠）．设矩形展板的一边长为xdm．
（1）另一边的长为 　（16﹣x）　dm（用含x的式子表示）；
（2）求矩形展板的两条边长；
（3）以同样的方式，用长为32dm的彩带能紧紧围在一块面积为65dm2的矩形展板四周吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．
【分析】（1）根据矩形周长是32dm，一边为xdm，即可表示另一边；
（2）由矩形面积公式列方程可解得答案；
（3）同（2）列出方程，判断根的情况，可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，另一边的长为﹣x＝（16﹣x）dm，
故答案为：（16﹣x）；
（2）∵矩形面积是64dm2，
∴x（16﹣x）＝64，
解得x1＝x2＝8，
∴16﹣x＝8，
∴矩形展板的两条边长都为8dm；
（3）不能，理由如下：
若x（16﹣x）＝65，则x2﹣16x+65＝0，
∵Δ＝（﹣16）2﹣4×65＝﹣4＜0，
∴原方程无实数解，即不能用长为32dm的彩带能紧紧围在一块面积为65dm2的矩形展板四周．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二次方程．
24．（6分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a．
（1）直接写出二次函数图象的对称轴是直线 　x＝2　；
（2）若该二次函数的图象开口向下，且y的最大值是2，求抛物线的解析式；
（3）对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤x+1，x2≥5时，总有y1≥y2，请结合函数图象，求出t的取值范围．
【分析】（1）利用对称轴公式计算即可；
（2）构建方程求出a的值即可解决问题；
（3）当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，推出当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，满足条件，可得t≥﹣1，t+1≤5，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）二次函数y＝ax2﹣4ax+3a，
∴对称轴为直线x＝﹣＝2．
故答案为：x＝2．

（2）∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x＝2，
∴当x＝2时，y取到最大值为2．
∴4a﹣8a+3a＝2．
解得a＝﹣2，
∴二次函数为y＝﹣2x2+8x﹣6，

（3）∵当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，
∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，满足条件，
∴t≥﹣1，t+1≤5，
∴﹣1≤t≤4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．（6分）在△ABC中，AB＝AC，过点C作射线CB'，使∠ACB'＝∠ACB（点B'与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB'上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD＝90°．
（1）如图1，当点E与点C重合时，AD与CB'的位置关系是 　互相垂直　，若BC＝a，则CD的长为 　a　；（用含a的式子表示）
（2）如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．
①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．


【分析】（1）根据三角形内角和定理可得AD与CB'的位置关系是互相垂直，过点A作AM⊥BC于点M，根据等腰三角形性质得到CM＝BM＝BC＝a，利用AAS证明△ACD≌△ACM，根据全等三角形性质即可得出CD＝CM＝a；
（2）当点E与点C不重合时，①过点A作AM⊥BC于点M、AN⊥CB'点N，利用AAS证明△ACD≌△ACM，根据全等三角形性质即可得到∠BAC＝2∠DAE；
②在BC上截取BF＝CD，连接AF，利用SAS证明△ABF≌△ACD，根据全等三角形性质得到AF＝AD，∠BAF＝∠CAD，根据角的和差得到∠FAE＝∠DAE，再利用SAS证明△FAE≌△DAE，根据全等三角形性质及线段和差即可得到BE＝CD+DE．
【解答】解：（1）当点E与点C重合时，∠DAE＝∠DAC，
∵∠DAE+∠ACD＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥CB'，
即AD与CB'的位置关系是互相垂直，
若BC＝a，过点A作AM⊥BC于点M，如图：

则∠AMC＝90°＝∠ADC，
∵AB＝AC，
∴CM＝BM＝BC＝a，
在△ACD与△ACM中，
，
∴△ACD≌△ACM（AAS），
∴CD＝CM＝a，
即CD的长为a，
故答案为：互相垂直；a；
（2）①当点E与点C不重合时，用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系是：∠BAC＝2∠DAE，证明如下：
过点A作AM⊥BC于点M、AN⊥CB'点N，如图：

则∠AMC＝∠ANC＝90°，
∴∠CAN+∠ACB'＝90°，
∵∠DAE+∠ACD＝90°，
即∠DAE+∠ACB'＝90°，
∴∠DAE＝∠CAN，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴∠BAC＝2∠CAM＝2∠BAM，
在△ACN与△ACM中，
，
∴△ACN≌△ACM（AAS），
∴∠CAN＝∠CAM，
∴∠BAC＝2∠CAM＝2∠CAN＝2∠DAE；
②用等式表示线段BE、CD、DE之间的量关系是：BE＝CD十DE，证明如下：
在BC上截取BF＝CD，连接AF，如图：

∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠ACB'＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB′＝∠ACD，
在△ABF和△ACD中，
，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴AF＝AD，∠BAF＝∠CAD，
∴∠BAF+∠CAE＝∠CAD+∠CAE＝∠DAE，
由①知：∠BAC＝2∠DAE，
即∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAF+∠CAE＝∠BAC，
∴∠FAE＝∠BAC﹣（∠BAF+∠CAE）＝∠BAC，
∴∠FAE＝∠DAE，
在△FAE和△DAE中，
，
∴△FAE≌△DAE （SAS），
∴FE＝DE，
∴BE＝FE+BF＝CD+DE．
【点评】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，如果点Q满足条件：以线段PQ为对角线的正方形，且正方形的边分别与x轴，y轴平行，那么称点Q为点P的“和谐点”，如图所示，已知点D（﹣1，2），E（1，2），F（﹣1，﹣2）．
（1）已知点A的坐标是（2，1）．
①在D，E，F中，是点A的“和谐点”的是 　E，F　．
②已知点B的坐标为（0，b），如果点B为点A的“和谐点”，求b的值；
（2）已知点C（m，0），如果线段DE上存在一个点M，使得点M是点C的“和谐点”，直接写出m的取值范围．

【分析】（1）①画出图形根据“和谐点”的定义判断即可．
②画出图形根据“和谐点”的定义解决问题即可．
（2）在x轴上作出点E在点E右侧的“和谐点”G（3，0），在x轴上作出点D在点D左侧的“和谐点”H（﹣3，0），利用图象法可得结论．
【解答】解：（1）①如图1中，在D，E，F中，是点A的“和谐点”的是点E，点F．
故答案为：E，F．


②如图2中，∵点B的坐标为（0，b），点B为点A的“和谐点”，
观察图形可知B（0，3）或B′（0，﹣1），
∴b＝3或﹣1．


（2）如图3中，

观察图形可知，∵点M在线段DE上，
∴点M的“和谐点”在线段GH上，H（﹣3，0），G（3，0），
∴点C（m，0）在线段GH上，
∴﹣3≤m≤﹣1或1≤m≤3．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，“和谐点”的定义等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．