吉林省长春市榆树市榆树市八号镇第一中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题(含答案)

榆树市八号镇第一中学10月份月考九年级数学试题

一．选择题（共8小题每题3分共24分）

1．当a满足（　　）时，二次根式有意义．

A．a≥3 B．a＞3 C．a≥﹣3 D．a＞﹣3

2．下列各式中，一定是二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

3．下列各式中，正确的是（　　）

A．﹣＝﹣3 B．＝﹣2 C．＝﹣3 D．＝±6

4．计算÷×结果为（　　）

A．3 B．4 C．4 D．6

5．若x＝﹣1，则代数式x2+2x+5的值为（　　）

A．7 B．4 C．3 D．3﹣2

6．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

7．下列计算中，正确的是（　　）

A．﹣＝21 B．3+＝ C． D．

8．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E．若OA＝2，△AOE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为（　　）

A．16 B．32   C．36 D．4

二．填空题（共6小题每题3分共18分）

9．若是整数，则最小的正整数n的值是 　   　．

10．若x＜1，化简﹣1＝　   　．

11．已知a＝﹣1，b＝+1，则a2b+ab2的值为 　   　．

12．（3分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝　   　．

13．若最简二次根式与是同类二次䅐式，则m＝　   　．

14．若m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则3m2﹣9m+2022的值为 　   　．

三．解答题（共10小题共计78分）

15．已知x＝，求代数式4x2﹣4x+3的值．

16．计算：（+1）2﹣（﹣）．

17．计算：2×+（﹣）﹣3+（2022﹣）0+|2﹣|．

18．（6分）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的位置（即OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使两个尖端分别在线段AB的两个端点上，此时AB与CD之间的数量关系为 　   　，并加以证明．

19．已知a＝4﹣2，b＝4+2．

（1）求ab，a﹣b的值；

（2）求2a2+2b2﹣a2b+ab2的值．

20．解方程：

（1）x2﹣6x＝7；

（2）x﹣2＝2x（x﹣2）．

21．（8分）如图，AC、BD交于点E，BC＝CD，且BD平分∠ABC．

（1）求证：△AEB∽△CED；

（2）若BC＝12，EC＝6，AE＝4，求AB的长．

22．已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）当k取满足条件的最大整数时，求出此时方程的两个根．

23．（10分）直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元，当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个，通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．

（1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出 　   　个水杯，月销售利润是 　   　元．

（2）若每个水杯售价上涨x元（x＞0），每月能售出 　   　个水杯（用含x的代数式表示）．

（3）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价．

24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，动点P从点A出发，沿AC以每秒5个单位长度的速度向终点C运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，将线段PQ绕点P逆时针旋转90°得到线段PR，连结QR．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．

（1）线段AP的长为 　   　（用含t的代数式表示）．

（2）当点P与点C重合时，求t的值．

（3）当C、R、Q三点共线时，求t的值．

（4）当△CPR为钝角三角形时，直接写出t的取值范围．

榆树市八号镇第一中学10月份月考九年级数学试题

参考答案

1． C．2． C．3． A．4． C．5． A．6． C．7． D．8． B．

9． 2．    10．﹣x．   11． 2．  12．．  13． 2．  14． 2025．

15． 解：∵x＝，

∴4x2﹣4x+3

＝4x2﹣4x+1+2

＝（2x﹣1）2+2

＝（2×﹣1）2+2

＝（1﹣﹣1）2+2

＝（﹣）2+2

＝7+2

＝9．

16． 解：原式＝3+2+1﹣（2﹣）

＝3+2+1﹣2+

＝4+．

17． 解：2×+（﹣）﹣3+（2022﹣）0+|2﹣|

＝+（﹣8）+1+2﹣

＝﹣5．

18． 解：AB＝3CD，

证明：连接CD，

∵OA＝3OD，OB＝3CO，

∴OA：OD＝BO：CO＝3：1，

∵∠AOB＝∠DOC，

∴△AOB∽△DOC，

∴＝，

∴AB＝3CD，

19．解：（1）∵a＝4﹣2，b＝4+2，

∴ab＝（4﹣2）×（4+2）

＝42﹣（2）2

＝16﹣12

＝4；

a﹣b＝（4﹣2）﹣（4+2）

＝4﹣2﹣4﹣2

＝﹣4；

（2）由（1）知：ab＝4，a﹣b＝﹣4，

所以2a2+2b2﹣a2b+ab2

＝2（a2+b2）﹣ab（a﹣b）

＝2[（a﹣b）2+2ab]﹣ab（a﹣b）

＝2×[（﹣4）2+2×4]﹣4×（﹣4）

＝2×（48+8）+16

＝2×56+16

＝112+16．

20．解：（1）∵x2﹣6x＝7，

∴x2﹣6x﹣7＝0，

则（x+1）（x﹣7）＝0，

∴x+1＝0或x﹣7＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝7；

（2）∵x﹣2＝2x（x﹣2），

∴2x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，

则（x﹣2）（2x﹣1）＝0，

∴x﹣2＝0或2x﹣1＝0，

解得x1＝2，x2＝0.5．

21．（1）证明：∵BC＝CD，

∴∠D＝∠CBD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD＝∠DBA＝∠D，

又∵∠AEB＝∠CED，

∴△AEB∽△CED；

（2）解：∵△AEB∽△CED，

∴，

又∵BC＝CD，

∴，

即，

∴AB＝8．

22．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，

∴Δ＝b2﹣4ac＞0，

即16﹣4（k+1）＞0，

解得k＜3；

（2）∵k是小于3的最大整数，

所以k＝2，

当k＝2时，原方程为x2﹣4x+3＝0，

解得，x1＝﹣1，x2＝﹣3．

23．解：（1）600﹣10×（45﹣40）＝600﹣10×5＝600﹣50＝550（个），

（45﹣30）×550＝15×550＝8250（元）．

故答案为：550；8250．

（2）依题意得：若每个水杯售价上涨x元（x＞0），每月能售出（600﹣10x）个水杯．

故答案为：（600﹣10x）．

（3）依题意得：（40+x﹣30）（600﹣10x）＝10000，

整理得：x2﹣50x+400＝0，

解得：x1＝10，x2＝40．

当x＝10时，600﹣10x＝600﹣10×10＝500；

当x＝40时，600﹣10x＝600﹣10×40＝200．

又∵要尽量减少库存，

∴x＝10，

∴40+x＝40+10＝50．

答：每个水杯的售价为50元．

24．解：（1）∵点P的运动速度为每秒5个单位，

∴AP＝5t，

故答案为：5t；

（2）当点P与点C重合时，

则5t＝4，

∴t＝；

（3）∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，

∴AB＝5，

∴sinA＝，tanA＝，

∴tanA＝，

又由旋转的性质知，PQ＝PR，

当C、R、Q三点共线时，如图，

∵∠RPQ＝∠AQP＝90°，

∴PR∥AQ，

∴△CPR∽△CAQ，

∴，

即，

∵AP＝5t，AC＝4，

∴CP＝4﹣5t，

∴，

∴t＝，

（4）由旋转的性质知PR∥AB，

∴∠CPR＝∠A，

∴∠CPR不可能为钝角，

若点R在△ABC内部，∠ACR也不可能为钝角，

①如图，过C作CD⊥AB于D，

当点R在CD上时，∠PRC＝90°，

当点R在CD左边时，∠CRP都为钝角，

∵∠RPQ＝∠PQD＝∠CDA＝90°，

∴四边形PQDR为矩形，

又∵PQ＝PR，

∴四边形PQDR为正方形，

∵AP＝5t，sin∠A＝，

∴PQ＝3t，

∵tan，

∴AQ＝4t，

∴PR＝PQ＝3t，

∵PR∥AB，

∴∠CPR＝∠A，∠PRC＝∠AQP＝90°，

∴△CPR∽△PAQ，

∴，

∴，

∴t＝，

∴当0＜t时，∠PRC为钝角，

②如图，

当点R在BC边上时，∠PCR＝90°，若点R在△ABC外，则∠PCR为钝角，

∵PR∥AB，

∴∠A＝∠CPR，

又∵∠C＝∠AQP＝90°，

∴△CPR∽△QAP，

∴，

∴AP＝5t，PQ＝PR＝3t，AQ＝4t，

∴，

∴t＝，

又∵点P最多只能运动到点C，

∴t，

∴当时，△PCR为钝角三角形．

综上所述：当0＜t或时，△PCR为钝角三角形．

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