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【培优分级练】人教版数学八年级上册 11.1.1《三角形及三角形的边》培优三阶练（含解析）
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11.1.1 三角形及三角形的边知识点01 三角形及相关概念1、三角形的定义：由不在 上的三条线段 相接所组成的图形叫做三角形.如图，①②③不是三角形，④是三角形。【注意】①由三条线段组成;②三条线段不在同一条直线上;③三条线段首尾顺次相接.【巧记诀】三条线段不共线，首尾相接是关键，线段即为三条边，公共端点为顶点. 2、三角形的三要素：3、三角形的表示：三角形用符号“ ”表示，如上图的三角形，记作“ ”，读作“ ”.【注意】表示三角形时，字母 .即：可以记作△ABC，也可记作△ABC.4、三角形的顶点如图，△ABC的三个顶点分别是：A，B，C.5、三角形的边、内角如图，△ABC的三条边分别是：AB，BC，CA.它的三个内角（简称三角形的角）分别是： A，B， C.【注意】①.三角形的三边用字母表示时，字母没有顺序限制.②.三角形的三边，有时也用一个 来表示.6、一般情况下，我们把边BC叫做A的 ，AC，AB叫A的 ；边AC叫B的 ，AB，BC叫B的 ； 知识点02 三角形的分类7、三角形的分类 【注意】(1)等边三角形的三条边相等，是特殊的等腰三角形,等腰三角形包含等边三角形.(2)对三角形分类时一定要统一标准,做到不重、不漏.三角形按边分类后等腰三角形包括 .等腰三角形相等的两边叫做 ，两腰的夹角叫做 ，其余两角是 .【总结】三角形分类的“独立”与“交叉”(1)独立性:三角形的两种分类方法是相互独立的,同一标准下不能有两类不同的三角形,如锐角三角形和等腰三角形就是不同的两类.(2)交叉性:同一个三角形可以同属于两个不同的类别,如等腰直角三角形按边分类属于等腰三角形,而按角分类则属于直角三角形.知识点03 三角形三边关系8、三角形的三边关系三条线段要组成一个三角形必须满足 .三角形两边的差 第三边．【注意】1.一个三角形的三边关系可以归纳成如下一句话：三角形的任何两边之和 第三边，任何两边之差 第三边.2.在做题时，不仅要考虑到两边之和大于第三边，还必须考虑到两边之差小于第三边.文字三角形中任意两边的和大于第三边三角形中任意两边的差小于第三边图形符号在△ABC中， 在△ABC中， 综合 依据 应用(1)判断三条线段能否组成三角形;(2)已知两边长,求第三边长的取值范围【分门别类判断三条线段能否组成三角形】(1)当三条线段互不相等时,只需要验证 的两条线段之和是否大于 的线段,若大于,则能组成三角形,否则不能组成三角形﹔(2)当有两条线段相等时,只需要验证 的两条线段之和是否大于第三条线段;(3)三条 的线段一定可以组成一个三角形. 培优第一阶——基础过关练1．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成三角形的是（ ）A．4，2，4 B．1，6，8 C．10，6，3 D．3，3，62．下列三条线段，首尾顺次相连不能围成三角形的是（ ）A．2、4、5 B．10、10、10 C．3、3、6 D．7、24、253．已知三角形的两边长分别为2cm和3cm，则该三角形第三边的长不可能是（ ）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm4．如图，以AB为边的三角形的个数是（ ）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个5．若长度分别为3，5，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的最大值为________．6．已知三角形三边长分别为2，9，，若为偶数，则这样的三角形有___________个．7．若三角形两边的长分别为2和7，且第三边的长为奇数，则第三边的长为______．8．三角形的三边分别为 5， ，9，则的取值范围为________.9．现有四条线段，长度依次是2，3，4，5，从中任选三条，能组成不同三角的个数为______．10．已知a，b，c是的三边长，则______． 培优第二阶——拓展培优练11．等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（ ）A．17cm B．22cm C．17cm或22cm D．13cm12．若等腰三角形的腰长为20，底边为x，则底边x的取值范围为_________．13．如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝6cm，BC＝4cm，则 BD 的长度的取值范围是（ ）A．大于 4cm B．小于 6cmC．大于 4cm 或小于 6cm D．大于 4cm 且小于 6cm14．一个三角形的3边长分别是、，，它的周长不超过39cm．则x的取值范围是（ ）A． B． C． D．15．周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有_______个．16．如图，加油站和商店在马路的同一侧，到的距离大于到的距离，米．一个行人在马路上行走，当到的距离与到的距离之差最大时，这个差等于______米．17．如图中的三角形的个数是 ________个18．在等腰中，，一腰上中线BD将三角形周长分为12和21两部分，则这个三角形的腰长为__________．19．若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的正整数n的值有 ___个．20．如图，点P是△ABC内任意一点，求证：． 培优第三阶——中考沙场点兵1．有一等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角的度数为 ．2．三个数3，在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则的取值范围为______3．已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|．4．已知的三边长分别为、、，化简__________．5．若a，b，c是的三边的长，则化简________．6．已知a，b，c分别为的三边，且满足，．(1)求c的取值范围；(2)若的周长为12，求c的值．7．实际问题：各边长都是整数，最大边长为31的三角形有多少个？问题建模：为解决上面的数学问题，我们先研究下面的数学模型。在1～n这n个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于n，有多少种不同的取法？为了找到解决问题的方法，我们把上面数学模型简单化．探究一：在1～4这4个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于4，有多少种不同的取法？第一步：在1～4这4个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于4，根据题意，有下列取法：1+4，2+3，2+4，3+2，3+4，4+1，4+2，4+3；而1+4与4+1，2+3与3+2，…是同一种取法，所有上述每一种取法都重复过一次，因此共有种不同的取法．第二步：在1～4这4个自然数中，每次取两个相同的数，使得所取的两个数之和大于4，有下列取法：3+3，4+4，因此有2种不同的取法．综上所述，在1～4这4个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于4，有种不同的取法．探究二：在1～5这5个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于5，有多少种不同的取法？第一步：在1～5这5个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于5，根据题意，有下列取法：1+5，2+4，2+5，3+4，3+5，4+2，4+3，4+5，5+1，5+2，5+3，5+4；而1+5与5+1，2+4与4+2，…是同一种取法，所有上述每一种取法都重复过一次，因此共有种不同的取法．第二步：在1～5这5个自然数中，每次取两个相同的数，使得所取的两个数之和大于5，有下列取法：3+3，4+4，5+5因此有3种不同的取法．综上所述，在1～5这5个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于5，有种不同的取法．探究三：在1～6这6个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于6，有多少种不同的取法？（仿照探究二写出探究过程）探究四：在1～7这7个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于7，有 种不同的取法．探究五：在1～n（n为偶数）这n个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于n，有 种不同的取法．探究六：在1～n（n为奇数）这n个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于n，有 种不同的取法．问题解决：①各边长都是整数，最大边长为20的三角形有 个；②各边长都是整数，最大边长为31的三角形有______个．8．阅读下列材料并填空．平面上有n个点（n≥2）且任意三个点不在同一条直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线？（1）分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线……（2）归纳：考察点的个数和可连成直线的条数Sn发现：如下表点的个数可作出直线条数21=33=46=510=…………n(3)推理：平面上有n个点，两点确定一条直线．取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n－1）种取法，所以一共可连成n(n-1)条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2；即（4）结论：试探究以下几个问题：平面上有n个点（n≥3），任意三个点不在同一条直线上，过任意三个点作三角形，一共能作出多少不同的三角形？（1）分析：当仅有3个点时，可作出 个三角形；当仅有4个点时，可作出 个三角形；当仅有5个点时，可作出 个三角形；……（2）归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数Sn，发现：（填下表）点的个数可连成三角形个数3 4 5 …… n (3)推理： （4）结论：
