【培优分级练】人教版数学八年级上册 11.3《多边形的内角和与外角和》培优三阶练（含解析）

第04课 多边形的内角和与外角和
课内知识点回顾

知识点01 多边形的有关概念
1、定义：
多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形.如图,是一个五边形,可表示为五边形ABCDE.

2、多边形的构成

①多边形的边:组成多边形的线段.
②多边形的内角:多边形相邻两边组成的角.
③多边形的外角:多边形的边与它的邻边的延长线组成的角.
【注意】
多边形每一个顶点处有两个外角,并且同一个顶点处的外角与内角互为邻补角.

3、多边形的对角线:
连接多边形不相邻的两个顶点的线段.如图，AC,AD就是五边形ABCDE的两条对角线.

【注意】
（1）从n边形一个顶点出发，可以作(n－3)条对角线;
（2）从一个顶点作出的对角线把n 边形分成(n－2)个三角形;
（3）n边形共有 条对角线.
4、凸多边形与凹多边形
①凸多边形:画出多边形的任何一条边所在的直线,整个多边形在这条直线的同一侧的多边形.

【注意】
没有特殊说明，我们所学的多边形都是凸多边形。
②凹多边形:至少有一条边,使整个图形不都在这条边所在直线的同一侧.如图所示.

③正多边形:每个角都相等,每条边都相等的多边形.


知识点02 多边形内角和与外角和
1、多边形的内角和
（1）公式:n边形内角和等于(n－2)×180°.
（2）探究过程:以五边形、六边形为例：
多边形
图形
探究过程
五边形

从一个顶点出发,可以作2条对角线,它们将五边形分成3个三角形,五边形的内角和等于180°×3=540°;
六边形

从一个顶点出发,可以作3条对角线,它们将六边形分成4个三角形,六边形的内角和等于180°×4=720°.
结论
从n边形的一个顶点出发,可以作(n－3)条对角线,它们将n边形分为(n－2)个三角形,n边形的内角和等于(n－2)×180°.
【注意】
推导多边形内角和公式的方法有很多,通常是将多边形内角和转化为三角形内角和来进行推导的.

2、多边形的外角和
（1）定理:多边形的外角和等于360°.
（2）探究过程:以六边形为例：

在每个顶点处各取一个外角,即∠1，∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6.六边形的6个外角加上与它们相邻的内角的和为180°×6=1080°，
所∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6－[1080°－180°×(6－2)=360°.
对于n边形来说：
n个外角为，与之相邻的内角为,
因为多边形的内角与相邻外角互补，即

则
所以

【注意】
（1）多边形的外角和是一个定值,即任何多边形的外角和都是360°,与多边形的边数无关.
（2）已知正多边形的一个外角为a°,则正多边形的边数为
课后培优练级练

培优第一阶——基础过关练
1．从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边分成10个三角形，则这个多边形是（       ）边形
A．十 B．十一 C．十二 D．十三
【答案】C
【分析】从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n−3）条对角线，把n边形分为（n−2）的三角形．
【详解】解：由题意可知，n−2＝10，解得n＝12．
∴这个多边形的边数为12．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了多边形，关键是掌握从一个n边形的某个顶点出发，可以把n边形分为（n−2）的三角形．
2．从多边形一条边上的一点（不是顶点）处出发，连接各个顶点得到2021个三角形，则这个多边形的边数为（       ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【答案】B
【分析】设多边形的边数为n，可根据多边形的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数为n-1，即可求解．
【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意得：
n-1=2020，
解得n=2021，
故选：B
【点睛】此题考查了规律型：图形的变化，理解多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数=多边形的边数-1是解题的关键．
3．下列说法正确的有（　　）个．
①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；
②连接C、D两点的线段叫两点之间的距离；
③两点之间直线最短；
④ n边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出（n-3）条对角线，这些对角线把这个n边形分成了（n-2）个三角形．
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【分析】利用角平分线的定义、两点间距离的定义、线段公理（两点之间线段最短）、以及多边形对角线的求法分析得出即可．
【详解】解：①从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线，故原说法错误；
②连接C、D两点的线段的长度叫两点之间的距离，故原说法错误；
③两点之间线段最短，故原说法错误；
④n边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出(n−3)条对角线，这些对角线把这个n边形分成了(n−2)个三角形，此说法正确．
所以，正确的说法只有1个，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义、两点间距离的定义、线段公理（两点之间线段最短）、以及多边形对角线的求法等知识，正确把握相关定义是解题关键．
4．一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2000°，则这个内角是（       ）．
A．160° B．140° C．200° D．20°
【答案】A
【分析】设多边形的边数是n，没加的内角为x，根据多边形的内角和公式，进行计算即可得解．
【详解】解：设多边形的边数是n，没加的内角为x，
根据题意得：，
∵，
∴，．
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式可得多边形的内角和是180°整数倍是解题的关键．
5．一个正多边形的每个外角都等于40°，则它的内角和是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据多边形的外角和求多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出即可．
【详解】解：设这个多边形是n边形，根据多边形的外角和为360°可得，40°×n=360°，
解得n=9．
所以这个多边形的内角和为（9-2）×180°=1260°．
故选C.
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，能正确求出多边形的边数是解此题的关键，注意：多边形的外角和等于360°，边数为n的多边形的内角和=(n−2)×180°.
6．如图，小明从正八边形（各边相等，各内角也相等）草地的一边AB上一点S出发，步行一周回到原处在步行的过程中，小明转过的角度的和是（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正八边形的内角和求出每个内角，再求出每次转过的角度45°，一共转8次，利用45°×8计算即可.
【详解】解：∵ABCDEFGH为正八边形，
∴每个内角为（8-2）×180°÷8=135°，
小明每转一次转过的角为180°-135°=45°，
步行一周回到原处，小明一共转八次所有转过的角度之和为45°×8=360°，
故选:D．
【点睛】本题考查正八边形的内角和、每个内角、外角与外角和，掌握正多边形相关知识是解题关键．
7．如图，五边形ABCDE是正五边形，F，G是边CD，DE上的点，且BF∥AG．若∠CFB=57°，则∠AGD=（　　）

A．108° B．36° C．129° D．72°
【答案】C
【分析】过点D作交AB于点H，根据平行线的性质先求出，然后求出，最后利用平行线的性质求得即可．
【详解】解：过点D作交AB于点H，
，
，
在正五边形ABCDE中，，
，
，
，
故选：C．

【点睛】本题考查了正五边形的性质，平行线的判定和性质，构造辅助线是解决本题的关键．
8．若正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数为（       ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】D
【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【详解】解：外角是，
，
这个正多边形是正十五边形．
故选D．
【点睛】考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数是解题关键．
9．若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（       ）
A．10 B．9 C．8 D．6
【答案】D
【分析】根据多边形的外角和等于360°计算即可．
【详解】解：360°÷60°＝6，即正多边形的边数是6．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于360°，正多边形的每个外角都相等是解题的关键．
10．若一个正多边形的一个外角是72°，则这个正多边形的边数是（       ）
A．10 B．9 C．8 D．5
【答案】D
【分析】正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，因而用除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．
【详解】解：这个正多边形的边数：．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角的关系，解题的关键是熟记正多边形的边数与外角的关系．
11．若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是（       ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【答案】A
【分析】根据多边形内角和公式和任意多边形外角和为定值360°列方程求解即可．
【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得，
，
，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点多边形的内角和与外角和，熟记多边形内角和公式是解题的关键．
12．如图，，，是五边形的3个外角，若，则等于（       ）

A．130° B．180° C．230° D．330°
【答案】C
【分析】根据多边形的外角和为360°，以及已知条件，求得，即可求得答案．
【详解】如图，

，，


故选C
【点睛】本题考查了多边形的外角和，掌握多边形的外角和是360度是解题的关键．
13．八边形的外角和是（       ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案．
【详解】解：八边形的外角和是360°．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，任何多边形的外角和是360度．外角和与多边形的边数无关．
14．若一个正多边形的每个内角都是120°，则这个正多边形是（       ）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
【答案】A
【分析】设所求正多边形边数为n，根据内角与外角互为邻补角，可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，由60°•n=360°，求解即可．
【详解】解：设所求正多边形边数为n，
∵正n边形的每个内角都等于120°，
∴正n边形的每个外角都等于180°-120°=60°．
又因为多边形的外角和为360°，
即60°•n=360°，
∴n=6．
所以这个正多边形是正六边形．
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形内角和外角和的知识，解答本题的关键在于熟练掌握任何多边形的外角和都是360°．
15．已知一个多边形的内角和与外角和的和为，这个多边形的边数为（       ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据多边形的外角和为360°求得这个多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式求解即可．
【详解】解：由题意可知，多边形的内角和为，
设多边形的边数为n，则，
解得，，
故选：C
【点睛】此题考查了多边形内角和和外角和的性质，解题的关键是掌握多边形内角和公式．

培优第二阶——拓展培优练
16．下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（       ）
A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2
【答案】D
【分析】若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成．
【详解】A、1+1+1