【培优分级练】人教版数学八年级上册 15.2《分式的运算》培优三阶练（含解析）

15.2 分式的运算知识点01  分式的乘除1、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．2、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为【归纳】分式的乘法与分数的乘法类似，可类比分数的乘法学习．（1）分式与分式相乘时，①若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；②若分子、分母是多项式，先分解因式，看能否约分，然后再相乘．（2）当整式与分式相乘时，要把整式（看作是分母为1的式子）与分式的分子相乘作为积的分子，分式的分母作为积的分母．当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，然后再相乘．（3）分式除以分式，可以先确定商的符号，再转化为分式的乘法．也可先转化为分式的乘法后，再确定符号，这与实数的除法运算法则是一致的．当除式（或被除式）是整式时，可以看作是分母是“1”的式子，然后依照分式除法法则计算．（4）分式的乘除运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式．（5）分式的乘除混合运算，如果没有其他附加条件（如括号等），则应按照由左到右的顺序进行计算．知识点02  分式的乘方分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．【注意】（1）进行分式的乘方运算时，一定要把分子、分母分别乘方，不要把写成．（2）分式乘方时，先确定乘方结果的符号，它和实数乘方确定符号的方法相同：正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，负数的奇次方为负数．（3）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体．知识点03  分式的加减1、同分母分式相加减法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示为．2、异分母分式相加减法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．用式子表示为．【注意】（1）分式加减运算的结果要化成最简分式或整式．（2）同分母分式相加减时要注意：“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减，“分母不支”就是加减后所得分母是原分式中的分母．（3）异分母分式相加减的一般步骤：①通分：将异分母分式转化成同分母分式；②加减：写成分母不变，分子相加减的形式；③合并：分子去括号，合并同类项；④约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式．因此，异分母分式加减运算的关键是通分．知识点04  分式的混合运算1、分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便．2、分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式的前边．知识点05  整数指数幂与科学记数法1、整数指数幂：若m，n为正整数，a≠0，则．又因为，所以．一般地，当n是正整数时，，这就是说，是的倒数．2、整数指数幂的运算性质①；②；③；④；⑤．上述式子中，m，n均为任意整数．3、科学记数法用科学记数法表示小于1的正数时，可表示为a×10-n的形式，其中n为原数左起第1个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前的那个0），1≤a<10．培优第一阶——基础过关练1．计算的结果是（　　）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：．故选A．2．若，则x的值不可能是（     ）A．－5 B．5 C．-6 D．4【答案】A【详解】解：由零指数幂公式得：，解得：，故选A．3．下列运算正确的是（　　）A．a5+a5=a10 B．a6×a5=a30 C．a0÷a-1=a D．a4﹣a4=a0【答案】C【详解】A.a5+a5=2a5，故A错误；B. a6×a5=a11故B错误；C.同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以a0÷a-1=a，故C正确；D. a4﹣a4=0，故D错误；故选：C．4．下列算式，计算正确的有（    ）①；②；③；④．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【详解】解：①，此选项正确；②，此选项正确；③，故此选项错误；④，故此选项错误．故正确的有2个．故选：B．5．下列算式中，你认为正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】A．，故选项正确，符合题意；B．，故选项错误，不符合题意；C．，故选项错误，不符合题意；D．，当c=0时，等式不成立，故选项错误，不符合题意；故选：A．6．计算＝_____．【答案】6【详解】解：原式，故答案为：6．7．化简的结果是________．【答案】##【详解】解：故答案为：．8．计算(1)(2)【答案】(1)(2)【详解】（1）解：；（2）．9．若·a2m+1=a25，求m的值【答案】m=9【详解】解：∙，，∴，∴，解得：m=9．10．化简分式（ +）÷，并在2，3，4，这三个数中取一个合适的数作为a的值代入求值．【答案】【详解】解：原式＝，∵，∴当时，原式．培优第二阶——拓展培优练1．分式－化简后的结果为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：原式故选：B2．下列运算正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C正确；，故选项D错误；故选：C．3．若分式“”可以进行约分化简，则“○”不可以是（    ）A．1 B．x C． D．4【答案】C【详解】A．，可以进行约分化简，“○”可以是1，不合题意；B．，可以进行约分化简，“○”可以是x，不合题意；C．，不可以进行约分化简，“○”不可以是-x，合题意；D．， 可以进行约分化简，“○”可以是4，不合题意．故选：C．4．已知（且），，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵（且），∴⋯⋯∵2022÷3=674∴故选：A5．下列计算 ①；②；③ ；④；⑤正确的有（          ）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个【答案】A【详解】解：，故①错误；，故②错误；，故③正确；，故④错误；，，不一定等于，故⑤错误，综上，正确的有③，共1个，故选：A6．，则 =________．【答案】【详解】解：把代入得：故答案为：7．已知a为范围的整数，则的值是______．【答案】-1【详解】解：，根据题意有：，，，即，，，∵，且为整数，∴，将代入，有原式，故答案为：-1．8．计算(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)﹣【详解】（1）解： ＝；（2）解：＝＝＝＝；（3）解：＝＝＝；（4）解：＝＝﹣．9．先化简，再求值：÷（a﹣），其中a，b满足|a﹣3|+（b﹣2）2＝0．【答案】，1【详解】解：原式＝÷＝÷＝＝，∵|a﹣3|+（b﹣2）2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣2＝0，即a＝3，b＝2，当a＝3，b＝2时，原式==1．10．已知：，，，…，若（，都是正整数），(1)直接写出、的值，_____________，________________．(2)求分式的值【答案】(1)，(2)【详解】（1）解：观察题目可得，故答案为：，（2）解：原式==将，代入培优第三阶——中考沙场点兵1．下列运算正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；B、，选项错误，不符合题意；C、，选项正确，符合题意；D、，选项错误，不符合题意；故选：C．2．下列运算中，正确的是(   )A．x2+x2＝x4 B．3a3•2a2＝6a6C．6y6÷2y2＝3y3 D．（﹣b2）3＝﹣b6【答案】D【详解】解：A. x2+x2＝2x2，故该选项不正确，不符合题意；B. 3a3•2a2＝6a5，故该选项不正确，不符合题意；C. 6y6÷2y2＝3y4，故该选项不正确，不符合题意；D. （﹣b2）3＝﹣b6，故该选项正确，符合题意．故选D．3．若m－n＝2，则代数式的值是（    ）A．－2 B．2 C．－4 D．4【答案】D【详解】解：原式•＝2（m-n），当m-n＝2时，原式＝2×2＝4．故选：D．4．试卷上一个正确的式子（）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为(   )A． B． C． D．【答案】A【详解】解：★=★=★==，故选A．5．已知，且，则的值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：，∵，∴，∴，∵a>b>0，∴，∵，∴，∴，∵a>b>0，∴，∴原式=，故选：B．6．计算：﹣＝_____．【答案】2【详解】解：﹣＝ ＝＝2．故答案为：2.7．已知a、b为实数，且，设，则M、N的大小关系是M________ N（填=、>、<、≥、≤）．【答案】=【详解】解：，，∵，∴，∴M＝N，故答案为：＝．8．计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【详解】(1)解：==(2)解： ===9．先化简，再求值：，其中，．【答案】ab，4【详解】解：原式．当，时，原式．10．下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．第一步第二步第三步第四步任务一：填空①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．②第______步开始出现错误，错误的原因是______．任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．【答案】任务一：①一 ，分式的性质； ②二，去括号没有变号；任务二：【详解】任务一：以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质．第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．故答案为：一，分式的性质；②二，去括号没有变号．任务二： ．