【培优分阶练】高中数学(人教A版2019)选修第一册 第三章《圆锥曲线的方程》（章节综合测试）（含解析）

第三章 圆锥曲线的方程考点达标练一、单选题1．若双曲线(a＞0，b＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为双曲线的渐近线方程为，而，所以，故两条渐近线中一条的倾斜角为，一条的倾斜角为，它们所成的锐角为．故选：A．2．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】抛物线的焦点为， 双曲线的一条渐近线可设为，即，焦点到的距离为 .故选：B.3．已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则（       ）A．1 B． C． D．【答案】A【详解】解：根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为，即 ，又，所以，由，所以；故选：A4．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造饮就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】双曲线的渐近线方程为，下焦点为，因为双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，所以，因为焦距为，所以，所以，所以所以双曲线的渐近线方程，故选：B5．已知椭圆与圆，过椭圆的顶点作圆的两条切线，若两切线互相垂直，则椭圆的离心率是（        ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可知，若两切线垂直，则过椭圆的左右顶点作圆的切线.两切线垂直，只需要,所以 故选：B课后培优练级练培优第一阶——基础过关练一、单选题1．已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点对应的准线的距离为（       ）A． B．5 C． D． 【答案】D【详解】令椭圆二焦点分别为，显然椭圆长半轴长，短半轴长，半焦距，离心率，由对称性不妨令，则由椭圆第一定义知，由椭圆第二定义得点P到焦点对应准线的距离.故选：D2．已知双曲线C：（，）的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为双曲线的一条渐近线为,所以,所以双曲线的离心率为.故选：D.3．抛物线的焦点到准线的距离为（       ）A． B． C．1 D．2【答案】D【详解】由，焦点到准线的距离是，故选：D.4．已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由双曲线定义可得：|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==+4a+|PF1| ≥8a，当且仅当=|PF1|，即|PF1|=2a时取得等号.此时由双曲线的几何性质可得，，即可，又双曲线的离心率，∴.故选:C.5．已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由抛物线的定义可知，，所以．故选：C.6．已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（        ）A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．直线【答案】C【详解】由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点的轨迹是抛物线.故选：C7．已知抛物线的焦点为，且与圆上的点之间距离的最小值为4，则的值为（       ）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【详解】由题意知，点与圆上的点之间的最小距离为，所以．故选：D8．已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：因为离心率，解得，，分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以.所以，因为所以，将代入，解得，故椭圆的方程为.故选：B.9．已知为双曲线的左､右焦点，点P在E上，的平分线交x轴于点D，若，且，则双曲线的方程为（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据双曲线的对称性不妨设点P在右支上，因为，，所以解得，因为角平分线的上点到角的两边距离相等，所以，两边平方化简为：，在三角形中，由余弦定理可知：而，解得，故选：B10．已知分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，且直线l的倾斜角为，则的值为（       ）A．2 B．3 C． D．【答案】B【详解】记的内切圆圆心为C，边上的切点分别为M，N，E，则C，E横坐标相等，则，由，即，得，即，记C的横坐标为，则，于是，得，同理的内心D的横坐标也为a，则有轴，由直线的倾斜角为，则，，在中，，可得，在中，，可得，可得．故选：B二、多选题11．已知为曲线上一动点，则（       ）A．的最小值为2B．到直线的距离的最小值为C．的最小值为6D．存在一个定点和一条定直线，使得到定点的距离等于到定直线的距离【答案】BCD【详解】由题意，曲线，化简可得，则曲线为抛物线的右班部分，如图所示，因为抛物线，可得抛物线的焦点坐标为，准线方程为 对于A中，由，所以A错误；对于B中，结合图象可得，原点到直线的距离取得最小值，最小值为，所以B正确；对于C中，由点到准线的距离为，点到准线的距离为，则，所以的最小值为，所以C正确；对于D中，根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于点到准线的距离，所以D正确.故选：BCD.12．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是（       ）A．椭圆C的方程为 B．椭圆C的方程为C． D．的周长为【答案】AC【详解】由题意得：，所以，因为，，解得：，，因为焦点在y轴上，所以椭圆C的方程为，A正确，B错误；不妨设，则P，Q两点的纵坐标也为，令中，解得：，所以不妨令，，所以，C正确；根据椭圆的定义可知，的周长为，故D错误.故选：AC三、解答题13．已知椭圆的左焦点为，右顶点为A，点E的坐标为，的面积为．(1)求椭圆的离心率；(2)设点Q在线段上，，延长线段与椭圆交于点P，若．（ⅰ）求直线的斜率；（ⅱ）求椭圆的方程．【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）.【解析】(1)设椭圆的离心率为e．由已知，可得．又由，可得，即．又因为，解得．所以，椭圆的离心率为(2)（ⅰ）依题意，设直线的方程为，则直线的斜率为．由（Ⅰ）知，可得直线的方程为，即，与直线的方程联立，可解得，即点的坐标为．由已知，有，整理得，所以，即直线的斜率为．（ⅱ）解：由，可得，故椭圆方程可以表示为．由（ⅰ）得直线的方程为与椭圆方程联立 消去整理得解得（舍去）或．因此可得点，进而可得所以．得．所以，椭圆的方程为14．已知抛物线（为常数，）的焦点与椭圆的右焦点重合，过点的直线与抛物线交于，两点.(1)求抛物线的标准方程；(2)若直线的斜率为，求.【答案】(1)(2)【解析】(1)解：因为椭圆的右焦为，所以，所以，即，所以抛物线的标准方程；(2)解：由（1）可知，直线的方程为，联立方程，得，设，所以,所以.15．离心率为的双曲线上的动点到两焦点的距离之和的最小值为，抛物线的焦点与双曲线的上顶点重合．(1)求抛物线的方程；(2)过直线为负常数）上任意一点向抛物线引两条切线，切点分别为，坐标原点恒在以为直径的圆内，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】(1)由已知：双曲线焦距为，离心率为，则长轴长为2，故双曲线的上顶点为，即为抛物线焦点.∴抛物线的方程为；(2)设，，，故直线的方程为，即，所以，同理可得：，∴，是方程的两个不同的根，则，，由恒在以为直径的圆内，，即．培优第二阶——拓展培优练一、单选题1．已知圆与抛物线的准线相切，则（       ）A． B． C．4 D．8【答案】C【详解】因为圆的圆心为，半径为，抛物线的准线为，所以，∴，故选：C.2．若直线过椭圆短轴端点和左顶点，则椭圆方程为（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】直线交x轴于，交y轴于，依题意，，所以椭圆方程为.故选：B3．已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由可知， ，且双曲线焦点位于x轴上故该双曲线的渐近线方程为 ，故选：C4．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则双曲线C的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：B5．已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（       ）A．2 B． C． D．4【答案】B【详解】解法1：抛物线的焦点坐标为，准线方程为，设，，则∵，由抛物线定义可知，∴，又因为，所以即，由①②可得：所以.∵，当时，，当时，，∴，则弦AB的中点到C的准线的距离，d最大值是.∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是，故选：B.解法2：弦AB的中点到C的准线的距离，根据结论，，，故选：B.6．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（       ）A． B．C． D．【答案】C【详解】设抛物线的焦点为，则抛物线的定义可得，解得，所以抛物线的方程为，因为点在抛物线上，所以，得，所以，由题意得，双曲线的渐近线方程为，因为离心率为，所以，所以，得，因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，所以，得，所以由，得，所以双曲线的方程为，即，故选：C二、多选题7．已知椭圆C：（）的离心率为，过点P（1，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足.动点Q满足，则下列结论正确的是（       ）A．B．动点Q的轨迹方程为C．线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为D．线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为【答案】ABD【详解】对于A：由椭圆的离心率为，得，所以，故正确；对于B：设，由，得两式相乘得，同理可得，由题意知且，否则与矛盾，动点的轨迹方程为，即直线，故正确；对于C、D：所以线段长度的最小值即为原点到直线的距离，min，故C错误，D正确.故选：ABD.8．已知双曲线，的左右焦点分别为，，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线C右支上上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为，，若，，则下列说法正确的是（       ）A． B．C．的面积为 D．的面积为1【答案】BD【详解】，，因为A，B关于坐标原点对称，则，曲已知得，，两式相减得，所以，因为，所以，得，所以选项B正确A错误；因为P在右支上，记，则，因为，所以，解得或（舍去），所以的面积为．所以选项D正确C错误．故选：BD．三、解答题9．设抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，且.(1)求抛物线的方程；(2)若，为抛物线上异于点的两点，且，设直线的方程为，点，到直线的距离分别为，，求证：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】(1)解：抛物线的焦点，准线方程为，因为是抛物线上一点，，，即，抛物线的方程为，(2)证明是抛物线上一点，，，，设，，又直线的方程，联立直线与抛物线方程，化简整理可得，，即，，点到直线的距离为，，又，用代入，可得，，，即为定值．10．已知椭圆的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，，点在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程；(2)设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点，．若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记，的面积分别为，，求的值．【答案】(1)(2)【解析】(1)由，得（c为半焦距），∵点在椭圆E上，则．又，解得，，．∴椭圆E的方程为．(2)由（1）知．设直线，，．由消去x，得．显然．则，．∴．由，，得直线AP的斜率，直线的斜率．又，，，∴．∴．∵．∴．培优第三阶——高考沙场点兵一、单选题1．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：，设，则，则，故，又，则，所以，即，所以椭圆的离心率.故选：A.2．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（       ）A．2 B． C．3 D．【答案】B【详解】由题意得，，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，，所以.故选：B3．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（       ）A． B． C．2 D．3【答案】A【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线的准线为，令，则，解得，所以,又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的离心率.故选：A.4．已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.（1）求抛物线的标准方程；（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）由椭圆可知，，所以，，则，因为抛物线的焦点为，可设抛物线方程为，所以，即.所以抛物线的标准方程为.（2）由椭圆可知，，若直线无斜率，则其方程为，经检验，不符合要求.所以直线的斜率存在，设为，直线过点，则直线的方程为，设点，，联立方程组，消去，得.①因为直线与抛物线有两个交点，所以，即，解得，且.由①可知，所以，则，因为，且，所以，解得或，因为，且，所以不符合题意，舍去，所以直线的方程为，即.5．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在上；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)(2)见解析【解析】(1)右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程为：；(2)由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为,直线方程为,则条件①在上，等价于；两渐近线的方程合并为,联立消去y并化简整理得：设,线段中点为,则,设,则条件③等价于,移项并利用平方差公式整理得：，,即,即；由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,∴由,∴,所以直线的斜率,直线,即,代入双曲线的方程,即中，得：,解得的横坐标：,同理：，∴∴,∴条件②等价于，综上所述：条件①在上，等价于；条件②等价于；条件③等价于；选①②推③:由①②解得：,∴③成立；选①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；选②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.