河南省新未来2022-2023学年高三上学期8月联考文科数学试题

河南省新未来2022-2023学年高三上学期8月联考文科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合，，则（       ）

A． B． C． D．

2．已知复数，则的虚部为（       ）

A． B． C．2 D．3

3．函数在上的大致图象为（       ）

A． B．

C． D．

4．随着我国经济社会加快发展，人们思想观念不断更新，女性在企业管理中占据着越来越重要的地位，2021年12月21日，国家统计局发布了《中国妇女发展纲要（2011—2020年）》终期统计监测报告．下图为2010—2020年企业职工董事和职工监事中女性所占比重条形统计图，根据此图，判断下列说法错误的是（       ）

A．2010—2020年企业职工董事中女性所占比重的平均值为35.0个百分点

B．2020年企业职工董事中女性比重比2010年提高2.2个百分点

C．2020年企业职工监事中女性比重比2010年提高3.0个百分点

D．2011年企业职工监事中女性比重与董事中女性比重的差最大

5．在中，已知，AC＝7，BC＝8，则AB＝（       ）

A．3 B．4 C．3或5 D．4或5

6．若x，y满足约束条件则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

7．已知正项等比数列的前n项和为，且满足，，则（       ）

A．18 B．34 C．66 D．130

8．函数（且）在一个周期内的图象如图所示，将函数图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（       ）

A． B．1 C．－1 D．

9．花窗是一种在窗洞中用镂空图案进行装饰的建筑结构，这是中国古代建筑中常见的美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果．如图所示是一个花窗图案，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA上的三等分点；点P，M，N，O分别为EF，FG，GH，HE上的三等分点；同样，点Q，R，S，T分别为PM，MN，NO，OP上的三等分点．若在大正方形中随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（       ）

A． B． C． D．

10．如图，“爱心”图案是由函数的图象的一部分及其关于直线的对称图形组成．若该图案经过点，点M是该图案上一动点，N是其图象上点M关于直线的对称点，连接，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

11．函数的零点个数为(       )

A．0 B．1 C．2 D．3

12．已知椭圆C：的离心率为，直线l：交椭圆C于A，B两点，点D在椭圆C上（与点A，B不重合）．若直线AD，BD的斜率分别为，，则的最小值为（       ）

A． B．2 C． D．

二、填空题

13．已知向量，，且，则m＝______．

14．直线与圆C：相交于M，N两点，则______．

15．双曲线与曲线的四个交点构成的四边形的边恰好经过双曲线的焦点，则双曲线的离心率为______．

16．六氟化硫是一种无机化合物，化学式为，常温常压下为无色无臭无毒不燃的稳定气体，密度约为空气密度的5倍，是强电负性气体，广泛用于超高压和特高压电力系统．六氟化硫分子结构呈正八面体排布（8个面都是正三角形）．若此正八面体的表面积为，则该正八面体的内切球的体积为______．

三、解答题

17．3月30日，由中国教育国际交流协会主办的2022联合国国际教育日—中国活动在京举办，活动主题为“她改变：女童和妇女教育与可持续发展”，教育部副部长、中国联合国教科文组织全国委员会主任田学军以视频方式出席活动，来自20多个国家的驻华使节、国际组织代表和专家学者在线参加活动．会前调查组对甲、乙两地区妇女受教育情况进行了调查，获得了一个容量为300的样本，调查表如下．

(1)完成上面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为受教育程度与地区有关；

(2)调查组从该样本的完成义务教育中根据地区按分层抽样抽取出7人，参加一次交流活动，若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言，求被选中的2位妇女都是来自甲地的概率．

附：，其中n＝a＋b＋c＋d．

18．已知数列的前n项和为，且满足，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，求数列的前n项和．

19．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，且侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2AD＝4．E，F，H分别是PA，PD，AB的中点，点G在线段PD上，且．

(1)当时，证明：平面BEF；

(2)当三棱锥F－EGH的体积为时，求的值．

20．已知抛物线：，直线，都经过点．当两条直线与抛物线相切时，两切点间的距离为4．

(1)求抛物线的标准方程；

(2)若直线，分别与抛物线依次交于点 E，F 和 G，H，直线 EH，FG 相交于点．若直线，关于 轴对称，则点是否为定点？请说明理由．

21．已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)当时，证明：．

22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

(1)求直线l的一般式方程和曲线C的标准方程；

(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值．

23．已知．

(1)解不等式；

(2)若关于x的不等式在R上恒成立，求实数m的取值范围．

参考答案：

1．D

【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.

【详解】因为，，所以，．

故选：D．

2．B

【分析】根据复数的运算求解即可.

【详解】解：∵，

∴，∴的虚部为.

故选:B．

3．C

【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值判断即可.

【详解】解：∵，∴在上为偶函数．

又，

∴只有选项C的图象符合．

故选：C．

4．A

【分析】本题考查学生筛选整合信息，处理信息的能力。此类题要求学生在对题目内容的理解与辨析，找出文章条形统计图中相对应的信息并进行计算，即可得到结论.

【详解】解：2010—2020年企业职工董事中女性所占比重的平均值为个百分点，选项A错误；

2020年企业职工董事中女性比重比2010年提高34.9－32.7＝2.2个百分点，选项B正确；

2020年企业职工监事中女性比重比2010年提高38.2－35.2＝3.0个百分点，选项C正确；

2011年企业职工监事中女性比重与董事中女性比重的差最大，为4个百分点，选项D正确．

故选:A．

5．C

【分析】根据余弦定理直接求解.

【详解】解：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c,

结合余弦定理，得，

即，解得c＝3或c＝5．故AB＝3或5．

故选:C．

6．D

【分析】根据约束条件，画出可行域，根据目标函数的几何意义：函数表示可行域内的点与点的距离的平方即可求解.

【详解】解：由约束条件作出可行域如图．

的几何意义为可行域内的动点到坐标原点距离的平方．

由图可得A与坐标原点距离最远，

∵点A的坐标为，∴的最大值为．

故选：D．

7．B

【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式求出，再由等比数列的通项公式求解.

【详解】解：∵，∴，

整理得，，解得q＝2．

∵，∴，

∴，∴．

故选:B．

8．A

【分析】由图象得的解析式，再由三角函数的图象变换可得函数的解析式，即可求.

【详解】解：由图象可知，则．由，得．

则．

∵点在函数图象上，∴，∴，．

∵，∴.

∴函数解析式为．

将函数图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得．

故．

故选:A．

9．C

【分析】根据题意可以得到图形里面由多对相似三角形，可得到，利用边长的比例可以得到面积的比例为，继而得到和与的关系，通过面积比即可得到答案

【详解】解：由题意，根据三角形相似可知．

则．

故即，

即

故．

故选：C．

10．B

【分析】首先根据题意得到，设直线与函数相切，得到，再根据平行线间距离公式求解即可.

【详解】函数经过点，所以.

设直线与函数相切，

联立消去y，得．

，解得．

则直线与直线间的距离为．

故MN的最大值为．

故选：B

11．B

【分析】求f(x)的导数，根据导数正负判断f(x)单调性，根据f(x)单调性和极值或最值即可判断其零点的个数．

【详解】，

令，，

则，故h(x)在上单调递增，

∵，，

∴存在唯一的，使得，即，即，，

∴当时，，，单调递减，

当时，，，单调递增，

∴，

∴函数的零点个数为1．

故选：B．

【点睛】本题关键是求出f(x)导数，通过零点存在性定理判断导数的零点范围，从而得到f(x)的单调性和最小值，利用设而不求的替换思想解决隐零点问题．

12．B

【分析】不妨假设，，则可求，将B，D代入椭圆，然后两式进行相减可得，整理出，代入之后再结合基本不等式即可求出答案

【详解】解：设，，则．

∵点B，D都在椭圆C上，∴两式相减，得．

∴，即．

∴．当且仅当时取“=”．

故选：B．

13．

【分析】利用向量平行的坐标表示即得.

【详解】∵，，

∴，

∵，

∴，

解得．

故答案为：.

14．4

【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理求解.

【详解】解：圆C：，其圆心坐标为，半径为3．

圆心到直线2x－y＋1＝0的距离，

则．

故答案为:4.

15．

【分析】曲线为两条直线和，不妨假设双曲线的左、右焦点分别为，，所以易得两曲线在第一象限的交点坐标为，继而算出，利用双曲线的定义算出，再通过离心率公式再算出答案

【详解】解：设双曲线的左、右焦点分别为，．

故依题意，两曲线在第一象限的交点坐标为，易知四边形为正方形．

则，，故．

故双曲线的离心率．

故答案为：

16．

【分析】先由正八面体的结构特征求出内切球半径，求出a＝4，即可求出正八面体的体积.

【详解】解：设该正八面体的棱长为a，则，解得a＝4．

故内切球圆心O到各顶点的距离为．

故在正三棱锥O－ABC中，，

故．

由正八面体的结构特征可得的长为内切球半径.

所以该正八面体的内切球体积为．

故答案为：.

17．(1)列联表见解析；有95%的把握认为受教育程度与地区有关；

(2).

【分析】（1）由题可得列联表，根据公式可得，进而即得；

（2）利用列举法，根据古典概型概率公式即得.

（1）完成列联表如下：

∵，∴有95%的把握认为受教育程度与地区有关；

（2）在完成了义务教育的140人中，甲地的有100人，乙地的有40人．采取分层抽样抽取7人，则其中甲地有5人，记为A，B，C，D，E；乙地有2人，记为X，Y．从这7人中随机选取2人作交流发言，所有可能的情况为：AB，AC，AD，AE，AX，AY，BC，BD，BE，BX，BY，CD，CE，CX，CY，DE，DX，DY，EX，EY，XY，共21种，被选中的2位妇女都来自甲地的情况有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种，故所求概率为．

18．(1);(2).

【分析】(1)根据与关系可得是等比数列，根据等比数列的通项公式即可求解；

(2)利用分组求和法与等比数列的求和公式直接求解.

【详解】解：(1)当n＝1时，，

∵，∴．可得，当时，，，

两式相减，得，即，

故数列是首项为1，公比为的等比数列，则；

(2)由(1)知，，

故．

19．(1)证明见解析;(2)或.

【分析】(1)取AE中点M，根据面面平行的判定定理可得平面平面BEF，根据面面平行的性质即可证明；

(2)由可得，根据等体积法可求解.

【详解】解：（1）证明：依题意，当时，G为FD中点，

取AE中点M，连接MG，MH，

∵E，F分别是PA，PD的中点，∴，

又G，M分别是DF，AE的中点，∴，

∵平面BEF，平面BEF，∴平面BEF，

同理，M，H分别是AE，AB的中点，∴，

∵平面BEF，平面BEF，∴平面BEF，

又∵平面，∴平面平面BEF，

∵平面MHG，∴平面BEF；

（2）∵，∴，∴，

∴，

解得或．

20．(1)；

(2)点是定点，坐标为.

【分析】（1）设切线方程，联立抛物线方程进而可得切点，即得；

（2）由题可设：与抛物线方程联立，利用韦达定理法，结合条件可表示出直线的方程，进而即得.

（1）设经过点的直线为：，由消去y，得，，当直线与抛物线相切时，，∵，∴，所以，解得，∴切点为，又∵两切点间的距离为4，∴，即，∴抛物线的标准方程为；

（2）设点，，：，则，，联立，消去得，则，，∵直线，关于轴对称，∴直线 也关于 轴对称，∴交点在 轴上，∴直线的方程为，令，得，∴，∴，∴点的坐标为定点．

21．(1)单调递增区间：，单调递减区间：

(2)证明见解析

【分析】（1）对求导后得到，通过的正负可确定的单调区间；

（2）通过第（1）问不妨设，构造函数，通过求导可以到在上单调递减，所以能得到，结合和的单调性即可证明

（1）解：∵，∴，令，得x＝1，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故函数的减区间为，增区间为；

（2）证明：由（1）知，不妨设，构造函数，，故，故在上单调递减，，∵，∴，又∵，∴，即，∵，∴，，又∵在上单调递增，∴，即，得证．

【点睛】本题考查导数中的极值点偏移问题的证明，证明此问题的基本思路是结合函数的单调性，将所证不等式进行转化，将问题变为关于一个变量的函数恒大于零或恒小于零的证明问题，利用导数求最值的方法证得结论即可.

22．(1)直线l：，曲线C：

(2)

【分析】(1)对于直线l消去参数t即可求得一般方程，对于曲线C，运用 ， ，即可求得标准方程；

(2)由于点P在直线l上，重新设定直线l的参数方程，

使得参数t表示直线上的点到P点的带符号的距离，与椭圆C联立方程，

运用韦达定理即可求解.

（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去t化为一般式方程为；曲线C的极坐标方程为，由于，代入上式， 化为标准方程为；

（2）设直线l的参数方程为 （t为参数），则参数t表示直线l上的点到P点的带符号的几何距离，代入，得，由韦达定理得：，则；综上，直线l的一般方程为：，曲线C的标准方程为：，.

23．(1)

(2)

【分析】（1）分别讨论，去掉绝对值，分别求出每个不等式的解集，再求并集即可.

（2）由题可得，再利用绝对值三角不等式求出，解不等式即可.

（1）解： ①当时，可化为，解得，无解；②当时，可化为，解得，故；③当时，可化为，解得，故．综上所示，不等式的解集为；

（2）关于x的不等式在R上恒成立，即，∵，当且仅当，即时等号成立，∴，∴，解得，故实数m的取值范围为．