高中人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质集体备课课件ppt

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知识点　函数的奇偶性[巧梳理]1．偶函数(1)定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有_____________，且 _____________，那么函数f(x)就叫做偶函数．(2)图象特征：图象关于_____________对称．
2．奇函数(1)定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有_____________，且 _____________，那么函数f(x)就叫做奇函数．(2)图象特征：图象关于_____________对称．
f(－x)＝－f(x)
[微点拨]对函数奇偶性的再理解(1)定义域D具有对称性，即∀x∈D，－x∈D.定义域不关于原点对称时，f(x)是非奇非偶函数．(2)当f(x)的定义域关于原点对称时，要看f(x)与f(－x)的关系．特别地，若 f(－x)≠±f(x)⇔f(x)是非奇非偶函数；若f(－x)＝±f(x)⇔f(x)既是奇函数又是偶函数．
解析：C　A，D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．故选C.
2．下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)解析：①③关于y轴对称是偶函数，②④关于原点对称是奇函数．答案：②④　①③
3．若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝2，则f(－3)＝________，f(0)＝________．解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.答案：－2　0
解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)4＋2(－x)2＋3＝x4＋2x2＋3＝f(x)，∴函数f(x)＝x4＋2x2＋3是偶函数．
(5)函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称 .①当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)3＋3(－x)2－1＝－x3＋3x2－1＝－(x3－3x2＋1)＝－f(x)．②当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1＝－(x3＋3x2－1)＝－f(x)．由①②知，当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，都有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
定义法判断函数奇偶性的步骤
解析：A　利用图象或定义．
学习任务二　奇、偶函数的图象[例2]　(链接教材P85练习T1)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象；(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间；(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．解：(1)由题意作出函数图象如图所示．(2)由图可知，单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)．(3)由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2)．
[发散思维]1．(变问法)本例条件下，y取何值时，有四个不同的x值与之对应？解：结合图象可知，满足条件的y的取值范围是(－1，0)．
2．(变条件)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？解：(1)由题意作出函数图象如图所示：(2)由图可知，单调递增区间为(－1，1)．(3)由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞)．
巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性．(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象．(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象．[注意]　作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为 (－x0，－y0)，关于y轴的对称点为(－x0，y0)．
利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解．
[跟踪训练]2．若f(x)＝(ax＋1)(x－a)为偶函数，且函数y＝f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为(　　)A．±1　　　　　　B．－1C．1 D．0解析：C　因为f(x)＝(ax＋1)(x－a)＝ax2＋(1－a2)x－a为偶函数，所以1－a2＝0.所以a＝±1.当a＝1时，f(x)＝x2－1，在区间(0，＋∞)上单调递增，满足条件；当a＝－1时，f(x)＝－x2＋1，在区间(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．
解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，即a－1＋(－1)＋1＝0.故a＝1.答案：1
解析：CD　利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A；又奇函数需满足f(－x)＝－f(x)，排除选项B.
3．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．解析：由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.答案：0
4．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(－1)＝2，则f(0)＋f(1)＝________．解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)＝－2，所以f(0)＋f(1)＝－2.答案：－2
基础巩固练1．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　) A　 　 　　B　　 　 　C　　 　 　D
解析：B　选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C，D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数．
2．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是(　　)A．奇函数　　　　　　B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数解析：B　∵F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．
3．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是(　　)A．1B．2C．3 D．4解析：B　因为函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)＝(m－1)x2＋(－m＋2)x＋(m2－7m＋12)，即m－2＝－m＋2，解得m＝2.
解析：B　若x是有理数，则－x也是有理数，∴f(－x)＝f(x)＝1；若x是无理数，则－x也是无理数，∴f(－x)＝f(x)＝0.∴函数f(x)是偶函数．
5．(多选) 已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)A．这个函数有两个单调递增区间B．这个函数有三个单调递减区间C．这个函数在其定义域内有最大值7D．这个函数在其定义域内有最小值－7
解析：BC　根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出其在[－7，7]上的图象，如图所示．由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7.故选BC.
7．设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________．
解析：因为偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)<0的解集．因为当x∈[0，5]时，f(x)<0的解集为{x|29．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．
解：(1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于原点的对称点为P′(x，－f(－x))，图③为图①补充后的图象，易知f(3)＝－2.(2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于y轴的对称点为P′(x，f(－x))，图④为图②补充后的图象，易知f(1)>f(3)．
综合应用练10．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　 　)A．f(x)g(x)是奇函数B．|f(x)|g(x)是偶函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：ABC　依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．因此，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A正确；|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B正确；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错．故选ABC.
11．定义在(－8，a)上的奇函数f(x)在区间[2，7]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为a，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)＝________．解析：根据题意，f(x)是定义在(－8，a)上的奇函数，则a＝8.又由f(x)在区间[2，7]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为a＝8，最小值为－1，则f(6)＝a＝8，f(3)＝－1.函数是奇函数，则f(－6)＝－8，f(－3)＝1.则2f(－6)＋f(－3)＝2×(－8)＋1＝－15.答案：－15
13．已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．解：(1)证明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．
(2)由(1)知f(x)为奇函数．所以f(－3)＝－f(3)＝a.所以f(3)＝－a.又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，所以f(12)＝－4a.