高中数学3.3 抛物线习题ppt课件

这是一份高中数学3.3 抛物线习题ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了Δ＝0，注意点，反思感悟，－11，弦长问题，x1＋x2＋p，求弦长问题的方法，抛物线的轨迹问题，随堂演练，课时对点练等内容，欢迎下载使用。

1.了解抛物线的简单应用.
2.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题.
3.掌握与抛物线有关的轨迹求法.
直线与抛物线的位置关系
问题1　类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系.
提示　如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：没有交点、一个交点、两个交点.
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.(1)若k≠0，当 时，直线与抛物线相交，有两个交点；当 时，直线与抛物线相切，有一个交点；当 时，直线与抛物线相离，没有公共点.(2)若k＝0，直线与抛物线有 交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况.
已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.
得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
此时直线l平行于x轴.当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k).
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离.综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；当k>1时，l与C没有公共点.
判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点.
已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.
由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k<0或0问题2　过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫作焦点弦，如图.如何求弦AB的长度？
提示　1.利用弦长公式.2.根据抛物线的定义AB＝x1＋x2＋p.
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝ .
　　已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且AB＝ p，求AB所在的直线方程.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以直线AB的斜率存在，设为k，
消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.
解得k＝±2.所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.
延伸探究若本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离.
(2)焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝x1＋x2＋p.
已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点.(1)若AB＝10，求实数m的值；
得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m<2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2，y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m.
(2)若OA⊥OB，求实数m的值.
因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，解得m＝－8或m＝0(舍去).所以m＝－8，经检验符合题意.
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
求轨迹问题的两种方法(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程.(2)定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程.
若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程.
设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2，0)，半径r＝1.因为两圆外切，所以MC＝R＋1.又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.所以MC＝d＋1.即动点M到定点C(2，0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离.
故动圆圆心M的轨迹方程为y2＝8x.
1.知识清单： (1)直线和抛物线的位置关系. (2)抛物线的弦长问题. (3)抛物线的轨迹问题.2.方法归纳：直接法、定义法、代数法.3.常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误.
依题意可知动点P(x，y)在直线x＋2＝0的右侧，设P到直线x＋2＝0的距离为d，则PF＝d＋1，所以动点P到F(3，0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线.
1.动点P(x，y)到点F(3，0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是A.椭圆 B.双曲线C.双曲线的一支 D.抛物线
2.已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若AB＝8，则线段AB的中点Q的横坐标为A.2 B.3 C.4 D.5
由题意，抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，如图所示，线段AB的中点为Q，准线为l，分别作AM⊥l，BN⊥l，QP⊥l，M，N，P为垂足，若AB＝8，由抛物线的性质可得BN＋AM＝8，所以PQ＝4，设Q(x，y)，则x＋1＝4，解得x＝3.
3.若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，故线段AB的中点坐标为(4，2).
4.直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.
当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.综上，k＝0或1.
一、选择题1.设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆心C的轨迹为A.抛物线 B.双曲线C.椭圆 D.圆
设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r，由两圆外切可得，圆心C到点(0，3)的距离为r＋1，所以圆心C到点(0，3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故圆心C的轨迹是抛物线.
因为E为线段AB的中点，
得3y2＋16y＋48＝0，Δ＝256－12×48<0，故方程无解，∴直线3x＋4y＋12＝0与抛物线相离.又d1＋d2＝d1＋1＋d2－1，而d1＋1为P到准线x＝－1的距离，故d1＋1为P到焦点F(1，0)的距离，从而d1＋1＋d2的最小值为F到直线3x＋4y＋12＝0的距离，
故d1＋d2的最小值为2.
设直线l的方程为y＝k(x－x0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1x2＋y1y2＝3，
解得x0＝3(负值舍去).
设AB的方程为x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，Δ>0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，
7.已知抛物线C：x2＝4y，过点P(1，0)作直线l.(1)若直线l的斜率存在，且与抛物线C只有一个公共点，求直线l的方程.
设直线l的方程为y＝k(x－1)，
则Δ＝16k2－16k＝0，解得k＝0或k＝1.∴直线l的方程为y＝0或y＝x－1.
抛物线C的焦点为F(0，1)，则直线l的方程为y＝－x＋1.
消x得y2－6y＋1＝0，则y1＋y2＝6.∴AB＝y1＋y2＋2＝8.
(2)若直线l过抛物线C的焦点F，且交抛物线C于A，B两点，求弦长AB.
8.已知抛物线y2＝2x，过点Q(2，1)作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点的轨迹方程.
①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，
方法二　当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)(k≠0)，
所以k∈(－∞，0)∪(0，＋∞).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为P(x，y)，
当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，AB的中点为(2，0)，适合上式.
9.如图，已知抛物线y2＝4x，其焦点为F.
(1)求以M(1，1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程；
由题意知，中点弦所在的直线斜率存在.设所求直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∴所求直线方程为2x－y－1＝0.
(2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值.