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【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一章末检测试卷(二)【讲义+习题】
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章末检测试卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于( )
A. B．2 C．2 D．4
答案 B
解析 由题意，得圆心为(－1,0)，半径r＝，圆心到直线的距离d＝＝，
所以所求的弦长为2＝2.
2．若点P(1,1)为圆A：x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0
C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0
答案 D
解析 由题意，知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心A(3,0)．
因为点P(1,1)为弦MN的中点，所以AP⊥MN.
又AP的斜率k＝＝－，
所以直线MN的斜率为2，
所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0.
3．圆C：x2＋y2－ax＋2＝0与直线l相切于点A(3,1)，则直线l的方程为( )
A．2x－y－5＝0 B．x－2y－1＝0
C．x－y－2＝0 D．x＋y－4＝0
答案 D
解析 由已知条件，得32＋12－3a＋2＝0，解得a＝4，则圆C：x2＋y2－4x＋2＝0的圆心为C(2,0)，半径为，直线AC的斜率k＝1，则直线l的斜率为－1，故直线l的方程为y－1＝－(x－3)＝－x＋3，即x＋y－4＝0.
4．已知直线l过点(－2,0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是( )
A．(－2，2) B．(－，)
C. D.
答案 C
解析 易知圆心坐标是(1,0)，半径是1，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，由点到直线的距离公式，得<1，即k2<，解得－
A．(－2，0)∪(0,2) B．(－2，2)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－1,1)
答案 A
解析 ∵圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，
∴圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1相交．
OC＝，
由2－1
∴－2
A．2 B. C. D.
答案 B
解析 因为圆C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝1的圆心C1(－a，2)，半径r1＝1，圆C2：(x－b)2＋
(y－2)2＝4的圆心C2(b，2)，半径r2＝2，所以C1C2＝＝|a＋b|＝1＋2，所以a2＋b2＋2ab＝9，所以(a－b)2＋4ab＝9，所以ab＝－≤，即当a＝b时，ab取得最大值，最大值为.
7．若过定点M(－1,0)且斜率为k的直线与圆C：x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则实数k的取值范围是( )
A．(0，) B．(－，0)
C．(0，) D．(0,5)
答案 A
解析 圆C的方程x2＋4x＋y2－5＝0化为(x＋2)2＋y2＝9，圆C与x轴正半轴交于点A(1,0)，与y轴正半轴交于点B(0，)，如图所示，因为过定点M(－1,0)且斜率为k的直线与圆C：x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，
所以kMA
A．x＋y＝0 B．x－y＝0
C．2x－2y＋1＝0 D．2x＋2y＋1＝0
答案 A
解析 由圆的知识可知，P，A，B，C四点共圆，且AB⊥PC，圆C的圆心C(1,0)，半径r＝1，
所以PC·AB＝4S△PAC＝4××PA·AC＝2PA，而PA＝，
当直线PC⊥l时，PC最小，从而PA最小，此时PC·AB最小，
直线PC的方程为y－0＝x－1，即y＝x－1，
联立解得P(0，－1)，所以PC的中点坐标为，PC＝，
所以以点P和点C为直径的圆的方程为x2＋y2－x＋y＝0，
又圆C：x2＋y2－2x＝0，
两圆的方程相减可得x＋y＝0，
即直线AB的方程为x＋y＝0.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36
答案 CD
解析 ∵半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b＝6.再由＝5，解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.
10．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2,3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程可以为( )
A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝37
C．x2＋y2＝4 D．x2＋y2＝
答案 AB
解析 过点A，C的直线方程为＝，化为一般式为x＋2y－4＝0，过点A，B的直线方程为x＝－2，过点B，C的直线方程为y＝－1，所以原点O到直线x＋2y－4＝0的距离dAC＝，原点O到直线x＝－2的距离dAB＝2，原点O到直线y＝－1的距离dBC＝1，所以dAB>dAC>dBC，又OA＝＝，OB＝＝，且OC＝＝.结合图形(图略)可知，若以原点为圆心的圆与△ABC有唯一公共点，则公共点为
(0，－1)或(6，－1)，所以圆的半径为1或，
圆的方程为x2＋y2＝1或x2＋y2＝37.
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”，在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，点P满足＝.设点P的轨迹为C，则( )
A．轨迹C的方程为(x＋4)2＋y2＝9
B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E，使得＝
C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的角平分线
D．在C上存在点M，使得MO＝2MA
答案 BC
解析 在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，点P满足＝，
设P(x，y)，则＝，化简得x2＋y2＋8x＝0，
即(x＋4)2＋y2＝16，所以A错误；
假设在x轴上存在异于A，B的两点D，E，使得＝，
设D(m，0)，E(n，0)，则＝2，
化简得3x2＋3y2－(8m－2n)x＋4m2－n2＝0，
由轨迹C的方程为x2＋y2＋8x＝0，可得8m－2n＝－24,4m2－n2＝0，
解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，n＝4(舍去)，所以B正确；
当A，B，P三点不共线时，＝＝，
可得射线PO是∠APB的角平分线，所以C正确；
若在C上存在点M，使得MO＝2MA，可设M(x0，y0)，
则＝2，化简得x＋y＋x0＋＝0，
与x＋y＋8x0＝0联立，方程组无解，故不存在点M，所以D错误．
12．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1,3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M：(x－3)2＋y2＝r2相切，则下列结论正确的是( )
A．圆M上的点到直线x－y＋3＝0的最小距离为2
B．圆M上的点到直线x－y＋3＝0的最大距离为3
C．若点(z，y)在圆M上，则x＋y的最小值是3－2
D．圆(x－a－1)2＋(y－a)2＝8与圆M有公共点，则a的取值范围是[1－2，1＋2]
答案 ACD
解析 由AB＝AC可得△ABC的外心、重心、垂心均在线段BC的垂直平分线上，
即△ABC的“欧拉线”为线段BC的垂直平分线，
由点B(－1,3)，点C(4，－2)可得线段BC的中点为，且直线BC的斜率kBC＝＝－1，
所以线段BC的垂直平分线的斜率k＝1，
所以线段BC的垂直平分线的方程为y－＝x－，即x－y－1＝0，
又圆M：(x－3)2＋y2＝r2的圆心为(3,0)，
半径为r，
所以点(3,0)到直线x－y－1＝0的距离为＝＝r，
所以圆M：(x－3)2＋y2＝2，
对于A，B选项，圆M的圆心(3,0)到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝3，
所以圆上的点到直线x－y＋3＝0的最小距离为3－＝2，最大距离为3＋＝4，
故A正确，B错误；
对于C选项，令z＝x＋y，即x＋y－z＝0，
当直线x＋y－z＝0与圆M相切时，圆心(3,0)到直线的距离为＝，
解得z＝3＋2或z＝3－2，
则x＋y的最小值是3－2，故C正确；
对于D选项，圆(x－a－1)2＋(y－a)2＝8的圆心为(a＋1，a)，半径为2，
若该圆与圆M有公共点，
则2－≤≤2＋，
即2≤(a－2)2＋a2≤18，解得1－2≤a≤1＋2，故D正确．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．过点(1,2)可作圆x2＋y2＋2x－4y＋k－2＝0的两条切线，则实数k的取值范围是________．
答案 (3,7)
解析 把圆的方程化为标准方程得
(x＋1)2＋(y－2)2＝7－k，
∴圆心坐标为(－1,2)，半径r＝，
则点(1,2)到圆心的距离d＝2.
由题意，可知点(1,2)在圆外，
∴d>r，即<2，且7－k>0，
解得3
答案 4
解析 由题意知O1(0,0)，O2(m，0)，
且<|m|<3.
因为O1A⊥O2A，所以m2＝()2＋(2)2＝25，
所以m＝±5，所以AB＝2×＝4.
15．已知P(a，b)为圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0上任意一点，则的最大值为________．
答案
解析 圆的方程即(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心坐标为(1,2)，半径为1，代数式表示圆上的点(a，b)与定点(－1,1)连线的斜率，设过点(－1,1)的直线方程为y－1＝k(x＋1)，与圆的方程联立，可得(k2＋1)x2＋(2k2－2k－2)x＋(k－1)2＝0，考虑临界条件，令Δ＝(2k2－2k－2)2－
4(k2＋1)(k－1)2＝0，可得k1＝0，k2＝，则的最大值为.
16．若直线xsin θ＋ycos θ＝1与圆x2＋y2－2x－2ycos θ＋cos2θ＋＝0相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是________．
答案 －
解析 圆x2＋y2－2x－2ycos θ＋cos2θ＋＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－cos θ)2＝，圆心为(1，cos θ)，半径为，由题意得，圆心到直线的距离d＝＝，所以
|sin θ－sin2θ|＝.因为θ为锐角，所以0
17．(10分)已知圆C的圆心为(2,1)，若圆C与圆O：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点
(5，－2)，求圆C的方程．
解 设圆C的半径长为r，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2，圆C与圆O的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，因为该直线过点
(5，－2)，所以r2＝4，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
18．(12分)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，直线l：(m＋2)x＋(2m＋1)y＝7m＋8.
(1)求证：直线l与圆C恒相交；
(2)当m＝1时，过圆C上的点(0,3)作圆的切线l1交直线l于点P，Q为圆C上的动点，求PQ的取值范围．
(1)证明 直线l的方程可化为m(x＋2y－7)＋2x＋y－8＝0，联立解得
故直线l恒过点A(3,2)．
∵(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，
即点A在圆C内，
∴直线l与圆C恒相交．
(2)解 由题意知直线l1的方程为x＝0.
又当m＝1时，l：x＋y＝5，
∴联立得交点P(0,5)，
∴PC＝2，∴PQ∈[2－2,2＋2]．
19．(12分)红谷隧道是江西南昌穿越赣江的一条过江行车通道，总长2 997 m，在南昌大桥和新八一大桥之间，也是国内最大的水下立交系统．如图，已知隧道截面是一圆拱形(圆拱形是取某一圆周的一部分构成巷道拱部的形状)，路面宽为4 m，高4 m．车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.5 m，高为3.5 m的货车能否驶入这个隧道？请说明理由．(参考数据：≈3.74)
解 如图，建立平面直角坐标系，设圆心M(0，m)，A(2，0)，B(0,4)，
由MA＝MB得，m＝－，
则圆的方程为x2＋2＝2，
所以当x＝2.5时，y＝－≈3.24<3.5.
即一辆宽为2.5 m，高为3.5 m的货车不能驶入这个隧道．
20．(12分) 已知圆M过C(1，－1)，D(－1,1)两点，且圆心M在直线x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
解 (1)设圆M的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
根据题意得⇒
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)如图，
四边形PAMB的面积为S＝S△PAM＋S△PBM，
即S＝(AM·PA＋BM·PB)，
又AM＝BM＝2，PA＝PB，所以S＝2PA，
而PA＝，即S＝2.
因此要求S的最小值，只需求PM的最小值即可，
PM的最小值即为点M到直线3x＋4y＋8＝0的距离，
所以PMmin＝＝3，
四边形PAMB面积的最小值为
2＝2.
21．(12分)已知圆O：x2＋y2＝r2(r>0)经过点A(0,5)，与x轴正半轴交于点B.
(1)求r的值；
(2)圆O上是否存在点P，使得△PAB的面积为15？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
解 (1)因为圆O：x2＋y2＝r2(r>0)经过点A(0,5)，所以r2＝25，解得r＝5.
(2)存在．因为r＝5，
所以圆O的方程为x2＋y2＝25，
依题意，得A(0,5)，B(5,0)，
所以AB＝5，
直线AB的方程为x＋y－5＝0，
又因为△PAB的面积为15，
所以点P到直线AB的距离为3，
设点P(x0，y0)，
所以点P到直线AB的距离为
＝3，
解得x0＋y0＝－1或x0＋y0＝11(显然此时点P不在圆上，故舍去)，
建立方程组
解得或
所以存在点P(－4,3)或P(3，－4)满足题意．
22．(12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求△OMN的面积．
解 (1)设直线l的方程为y＝kx＋1.
因为直线l与圆C交于两点，所以<1，
解得
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得
(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.
由题设得＋8＝12，解得k＝1，
所以直线l的方程为y＝x＋1，
所以圆心C在直线l上，所以MN＝2.
原点O到直线l的距离d＝＝，
所以△OMN的面积
S＝MN·d＝×2×＝.
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于( )
A. B．2 C．2 D．4
答案 B
解析 由题意，得圆心为(－1,0)，半径r＝，圆心到直线的距离d＝＝，
所以所求的弦长为2＝2.
2．若点P(1,1)为圆A：x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0
C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0
答案 D
解析 由题意，知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心A(3,0)．
因为点P(1,1)为弦MN的中点，所以AP⊥MN.
又AP的斜率k＝＝－，
所以直线MN的斜率为2，
所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0.
3．圆C：x2＋y2－ax＋2＝0与直线l相切于点A(3,1)，则直线l的方程为( )
A．2x－y－5＝0 B．x－2y－1＝0
C．x－y－2＝0 D．x＋y－4＝0
答案 D
解析 由已知条件，得32＋12－3a＋2＝0，解得a＝4，则圆C：x2＋y2－4x＋2＝0的圆心为C(2,0)，半径为，直线AC的斜率k＝1，则直线l的斜率为－1，故直线l的方程为y－1＝－(x－3)＝－x＋3，即x＋y－4＝0.
4．已知直线l过点(－2,0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是( )
A．(－2，2) B．(－，)
C. D.
答案 C
解析 易知圆心坐标是(1,0)，半径是1，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，由点到直线的距离公式，得<1，即k2<，解得－
A．(－2，0)∪(0,2) B．(－2，2)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－1,1)
答案 A
解析 ∵圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，
∴圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1相交．
OC＝，
由2－1
∴－2
A．2 B. C. D.
答案 B
解析 因为圆C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝1的圆心C1(－a，2)，半径r1＝1，圆C2：(x－b)2＋
(y－2)2＝4的圆心C2(b，2)，半径r2＝2，所以C1C2＝＝|a＋b|＝1＋2，所以a2＋b2＋2ab＝9，所以(a－b)2＋4ab＝9，所以ab＝－≤，即当a＝b时，ab取得最大值，最大值为.
7．若过定点M(－1,0)且斜率为k的直线与圆C：x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则实数k的取值范围是( )
A．(0，) B．(－，0)
C．(0，) D．(0,5)
答案 A
解析 圆C的方程x2＋4x＋y2－5＝0化为(x＋2)2＋y2＝9，圆C与x轴正半轴交于点A(1,0)，与y轴正半轴交于点B(0，)，如图所示，因为过定点M(－1,0)且斜率为k的直线与圆C：x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，
所以kMA
A．x＋y＝0 B．x－y＝0
C．2x－2y＋1＝0 D．2x＋2y＋1＝0
答案 A
解析 由圆的知识可知，P，A，B，C四点共圆，且AB⊥PC，圆C的圆心C(1,0)，半径r＝1，
所以PC·AB＝4S△PAC＝4××PA·AC＝2PA，而PA＝，
当直线PC⊥l时，PC最小，从而PA最小，此时PC·AB最小，
直线PC的方程为y－0＝x－1，即y＝x－1，
联立解得P(0，－1)，所以PC的中点坐标为，PC＝，
所以以点P和点C为直径的圆的方程为x2＋y2－x＋y＝0，
又圆C：x2＋y2－2x＝0，
两圆的方程相减可得x＋y＝0，
即直线AB的方程为x＋y＝0.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36
答案 CD
解析 ∵半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b＝6.再由＝5，解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.
10．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2,3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程可以为( )
A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝37
C．x2＋y2＝4 D．x2＋y2＝
答案 AB
解析 过点A，C的直线方程为＝，化为一般式为x＋2y－4＝0，过点A，B的直线方程为x＝－2，过点B，C的直线方程为y＝－1，所以原点O到直线x＋2y－4＝0的距离dAC＝，原点O到直线x＝－2的距离dAB＝2，原点O到直线y＝－1的距离dBC＝1，所以dAB>dAC>dBC，又OA＝＝，OB＝＝，且OC＝＝.结合图形(图略)可知，若以原点为圆心的圆与△ABC有唯一公共点，则公共点为
(0，－1)或(6，－1)，所以圆的半径为1或，
圆的方程为x2＋y2＝1或x2＋y2＝37.
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”，在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，点P满足＝.设点P的轨迹为C，则( )
A．轨迹C的方程为(x＋4)2＋y2＝9
B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E，使得＝
C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的角平分线
D．在C上存在点M，使得MO＝2MA
答案 BC
解析 在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，点P满足＝，
设P(x，y)，则＝，化简得x2＋y2＋8x＝0，
即(x＋4)2＋y2＝16，所以A错误；
假设在x轴上存在异于A，B的两点D，E，使得＝，
设D(m，0)，E(n，0)，则＝2，
化简得3x2＋3y2－(8m－2n)x＋4m2－n2＝0，
由轨迹C的方程为x2＋y2＋8x＝0，可得8m－2n＝－24,4m2－n2＝0，
解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，n＝4(舍去)，所以B正确；
当A，B，P三点不共线时，＝＝，
可得射线PO是∠APB的角平分线，所以C正确；
若在C上存在点M，使得MO＝2MA，可设M(x0，y0)，
则＝2，化简得x＋y＋x0＋＝0，
与x＋y＋8x0＝0联立，方程组无解，故不存在点M，所以D错误．
12．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1,3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M：(x－3)2＋y2＝r2相切，则下列结论正确的是( )
A．圆M上的点到直线x－y＋3＝0的最小距离为2
B．圆M上的点到直线x－y＋3＝0的最大距离为3
C．若点(z，y)在圆M上，则x＋y的最小值是3－2
D．圆(x－a－1)2＋(y－a)2＝8与圆M有公共点，则a的取值范围是[1－2，1＋2]
答案 ACD
解析 由AB＝AC可得△ABC的外心、重心、垂心均在线段BC的垂直平分线上，
即△ABC的“欧拉线”为线段BC的垂直平分线，
由点B(－1,3)，点C(4，－2)可得线段BC的中点为，且直线BC的斜率kBC＝＝－1，
所以线段BC的垂直平分线的斜率k＝1，
所以线段BC的垂直平分线的方程为y－＝x－，即x－y－1＝0，
又圆M：(x－3)2＋y2＝r2的圆心为(3,0)，
半径为r，
所以点(3,0)到直线x－y－1＝0的距离为＝＝r，
所以圆M：(x－3)2＋y2＝2，
对于A，B选项，圆M的圆心(3,0)到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝3，
所以圆上的点到直线x－y＋3＝0的最小距离为3－＝2，最大距离为3＋＝4，
故A正确，B错误；
对于C选项，令z＝x＋y，即x＋y－z＝0，
当直线x＋y－z＝0与圆M相切时，圆心(3,0)到直线的距离为＝，
解得z＝3＋2或z＝3－2，
则x＋y的最小值是3－2，故C正确；
对于D选项，圆(x－a－1)2＋(y－a)2＝8的圆心为(a＋1，a)，半径为2，
若该圆与圆M有公共点，
则2－≤≤2＋，
即2≤(a－2)2＋a2≤18，解得1－2≤a≤1＋2，故D正确．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．过点(1,2)可作圆x2＋y2＋2x－4y＋k－2＝0的两条切线，则实数k的取值范围是________．
答案 (3,7)
解析 把圆的方程化为标准方程得
(x＋1)2＋(y－2)2＝7－k，
∴圆心坐标为(－1,2)，半径r＝，
则点(1,2)到圆心的距离d＝2.
由题意，可知点(1,2)在圆外，
∴d>r，即<2，且7－k>0，
解得3
答案 4
解析 由题意知O1(0,0)，O2(m，0)，
且<|m|<3.
因为O1A⊥O2A，所以m2＝()2＋(2)2＝25，
所以m＝±5，所以AB＝2×＝4.
15．已知P(a，b)为圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0上任意一点，则的最大值为________．
答案
解析 圆的方程即(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心坐标为(1,2)，半径为1，代数式表示圆上的点(a，b)与定点(－1,1)连线的斜率，设过点(－1,1)的直线方程为y－1＝k(x＋1)，与圆的方程联立，可得(k2＋1)x2＋(2k2－2k－2)x＋(k－1)2＝0，考虑临界条件，令Δ＝(2k2－2k－2)2－
4(k2＋1)(k－1)2＝0，可得k1＝0，k2＝，则的最大值为.
16．若直线xsin θ＋ycos θ＝1与圆x2＋y2－2x－2ycos θ＋cos2θ＋＝0相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是________．
答案 －
解析 圆x2＋y2－2x－2ycos θ＋cos2θ＋＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－cos θ)2＝，圆心为(1，cos θ)，半径为，由题意得，圆心到直线的距离d＝＝，所以
|sin θ－sin2θ|＝.因为θ为锐角，所以0
17．(10分)已知圆C的圆心为(2,1)，若圆C与圆O：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点
(5，－2)，求圆C的方程．
解 设圆C的半径长为r，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2，圆C与圆O的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，因为该直线过点
(5，－2)，所以r2＝4，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
18．(12分)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，直线l：(m＋2)x＋(2m＋1)y＝7m＋8.
(1)求证：直线l与圆C恒相交；
(2)当m＝1时，过圆C上的点(0,3)作圆的切线l1交直线l于点P，Q为圆C上的动点，求PQ的取值范围．
(1)证明 直线l的方程可化为m(x＋2y－7)＋2x＋y－8＝0，联立解得
故直线l恒过点A(3,2)．
∵(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，
即点A在圆C内，
∴直线l与圆C恒相交．
(2)解 由题意知直线l1的方程为x＝0.
又当m＝1时，l：x＋y＝5，
∴联立得交点P(0,5)，
∴PC＝2，∴PQ∈[2－2,2＋2]．
19．(12分)红谷隧道是江西南昌穿越赣江的一条过江行车通道，总长2 997 m，在南昌大桥和新八一大桥之间，也是国内最大的水下立交系统．如图，已知隧道截面是一圆拱形(圆拱形是取某一圆周的一部分构成巷道拱部的形状)，路面宽为4 m，高4 m．车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.5 m，高为3.5 m的货车能否驶入这个隧道？请说明理由．(参考数据：≈3.74)
解 如图，建立平面直角坐标系，设圆心M(0，m)，A(2，0)，B(0,4)，
由MA＝MB得，m＝－，
则圆的方程为x2＋2＝2，
所以当x＝2.5时，y＝－≈3.24<3.5.
即一辆宽为2.5 m，高为3.5 m的货车不能驶入这个隧道．
20．(12分) 已知圆M过C(1，－1)，D(－1,1)两点，且圆心M在直线x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
解 (1)设圆M的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
根据题意得⇒
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)如图，
四边形PAMB的面积为S＝S△PAM＋S△PBM，
即S＝(AM·PA＋BM·PB)，
又AM＝BM＝2，PA＝PB，所以S＝2PA，
而PA＝，即S＝2.
因此要求S的最小值，只需求PM的最小值即可，
PM的最小值即为点M到直线3x＋4y＋8＝0的距离，
所以PMmin＝＝3，
四边形PAMB面积的最小值为
2＝2.
21．(12分)已知圆O：x2＋y2＝r2(r>0)经过点A(0,5)，与x轴正半轴交于点B.
(1)求r的值；
(2)圆O上是否存在点P，使得△PAB的面积为15？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
解 (1)因为圆O：x2＋y2＝r2(r>0)经过点A(0,5)，所以r2＝25，解得r＝5.
(2)存在．因为r＝5，
所以圆O的方程为x2＋y2＝25，
依题意，得A(0,5)，B(5,0)，
所以AB＝5，
直线AB的方程为x＋y－5＝0，
又因为△PAB的面积为15，
所以点P到直线AB的距离为3，
设点P(x0，y0)，
所以点P到直线AB的距离为
＝3，
解得x0＋y0＝－1或x0＋y0＝11(显然此时点P不在圆上，故舍去)，
建立方程组
解得或
所以存在点P(－4,3)或P(3，－4)满足题意．
22．(12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求△OMN的面积．
解 (1)设直线l的方程为y＝kx＋1.
因为直线l与圆C交于两点，所以<1，
解得
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得
(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.
由题设得＋8＝12，解得k＝1，
所以直线l的方程为y＝x＋1，
所以圆心C在直线l上，所以MN＝2.
原点O到直线l的距离d＝＝，
所以△OMN的面积
S＝MN·d＝×2×＝.
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