【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一章末复习课【讲义+习题】

一、直线方程的求法及应用

1．直线方程的几种形式的转化

2．通过求直线方程，提升了学生逻辑推理、数学运算的核心素养．

例1　在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(0,1)，B(3,2)．

(1)若C点坐标为(1,0)，求AB边上的高所在的直线方程；

(2)若点M(1,1)为边AC的中点，求边BC所在的直线方程．

解　(1)∵A(0,1)，B(3,2)，

∴kAB＝＝，

由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率为k＝－3，

∴AB边上的高所在直线方程为

y－0＝－3(x－1)，

化为一般式可得3x＋y－3＝0.

(2)∵M(1,1)为AC的中点，A(0,1)，

∴C(2,1)，

∴kBC＝＝1，

∴边BC所在直线方程为y－1＝x－2，

化为一般式可得x－y－1＝0.

反思感悟　求直线方程的一种重要方法就是待定系数法．运用此方法，要注意各种形式的方程的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．

跟踪训练1　已知△ABC的顶点A(6,1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.求：

(1)顶点C的坐标；

(2)直线BC的方程．

解　(1)由题意知AC边上的高所在直线斜率为，

故AC边所在的直线的斜率为－2，则它的方程为y－1＝－2(x－6)，即2x＋y－13＝0.

由

得故点C的坐标为.

(2)设B(m，n)，则M.

把M的坐标代入直线方程2x－y－5＝0，把点B的坐标代入直线方程x－2y－5＝0，

可得

解得故点B.

再用两点式求得直线BC的方程为＝，化简为46x－41y－43＝0.

二、两直线的平行与垂直

1．判断两直线平行、垂直的方法

(1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1＝k2⇔l1∥l2.

(2) 若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－1⇔l1⊥l2.

(讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况)

2．讨论两直线的平行、垂直关系，可以提升学生的逻辑推理素养．

例2　(1)已知A，B，C(2－2a，1)，D(－a，0)四点，若直线AB与直线CD平行，则a＝________.

答案　3

解析　kAB＝＝－，

当2－2a＝－a，即a＝2时，

kAB＝－，CD的斜率不存在．

∴AB和CD不平行；

当a≠2时，kCD＝＝.

由kAB＝kCD，得－＝，即a2－2a－3＝0.

∴a＝3或a＝－1.

当a＝3时，kAB＝－1，kBD＝＝－≠kAB，

∴AB与CD平行．

当a＝－1时，kAB＝，kBC＝＝，kCD＝＝，

∴AB与CD重合．

∴当a＝3时，直线AB和直线CD平行．

(2)若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是________．

答案　垂直

解析　将点A(4，－1)的坐标代入ax－y＋1＝0，

得a＝－，则＝－×2＝－1，∴l1⊥l2.

反思感悟　一般式方程下两直线的平行与垂直：

已知两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

跟踪训练2　(1)若直线mx＋ny＋2＝0平行于直线x－2y＋5＝0，且在y轴上的截距为1，则m，n的值分别为(　　)

A．1和2   B．－1和2

C．1和－2   D．－1和－2

答案　C

解析　由已知得直线mx＋ny＋2＝0过点(0,1)，则n＝－2，又因为两直线平行，所以－＝，解得m＝1.

(2)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________．

答案　－3

三、两直线的交点与距离问题

1．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题．

2．两直线的交点与距离问题，培养学生的数学运算的核心素养．

例3　(1)若点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，则实数a的值为(　　)

A．－1   B．5

C．－1或5   D．－3或3

答案　C

解析　∵点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，

∴＝，即|a－2|＝3，

解得a＝－1或a＝5，∴实数a的值为－1或5.

(2)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．

解　设l1与l的交点为A(a，8－2a)，

则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，

代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，

解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，

所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.

反思感悟　

跟踪训练3　(1)设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为(　　)

A．2  B.  C．2  D.

答案　D

解析　根据a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，可得a＋b＝－1，ab＝－2，

∴a＝1，b＝－2或a＝－2，b＝1，∴|a－b|＝3，

由已知得这两条直线互相平行，

故两条直线之间的距离d＝＝＝.

(2)已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0,4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　C

解析　方法一　由得

即直线l过点(1,2)．设点Q(1,2)，因为PQ＝＝＞2，所以满足条件的直线l有2条．故选C.

方法二　依题意，设经过直线l1与l2交点的直线l的方程为2x＋3y－8＋λ(x－2y＋3)＝0(λ∈R)，即(2＋λ)x＋(3－2λ)y＋3λ－8＝0.由题意得＝2，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或，代入得直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0，故选C.

四、坐标法的应用

1．平面几何中的证明题很多可以用坐标法证明，其基本思想是这样的：首先将几何证明中的点的坐标用符号来表示，然后将几何条件转化为代数求解问题，再对给定的符号用具体的数值来代替，从而达到证明的目的．

2．用坐标法证明几何问题，可以提升学生逻辑推理和数学运算核心素养．

例4　如图，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，试用坐标法证明：AE＝CD.

证明　如图所示，以B点为坐标原点，取AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，如图，

设△ABD和△BCE的边长分别为a和c.

则A(－a，0)，C(c，0)，E，D，

由距离公式，得

AE＝＝，CD＝＝，

所以AE＝CD.

反思感悟　利用坐标法证明几何问题的思路

(1)建立平面直角坐标系；

(2)设出各点的坐标；

(3)列出代数等式，并化简；

(4)验证结论成立．

跟踪训练4　已知△ABC为直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系，用坐标法证明：AM＝BC.

解　以A为坐标原点，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，

设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c)．

∵M是BC的中点，∴点M的坐标为，

由两点间的距离公式得

BC＝＝，

AM＝＝，

∴AM＝BC.