【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一再练一课(范围：§5.1～§5.3)【讲义+习题】

再练一课(范围：§5.1～§5.3)

一、单项选择题

1．已知函数f(x)在x＝x0处的导数为12，则 等于(　　)

A．－4  B．4  C．－36  D．36

答案　A

解析　根据题意知，函数f(x)在x＝x0处的导数为12，

则

＝－ ＝－＝－4.

2．下列导数运算正确的是(　　)

A.′＝1＋   B．(2x)′＝x2x－1

C．(cos x)′＝sin x   D．(xln x)′＝ln x＋1

答案　D

解析　根据导数的运算公式可得′＝1－，故A错误；(2x)′＝2xln 2，故B错误；(cos x)′＝－sin x，故C错误；(xln x)′＝ln x＋1，故D正确．

3．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)的值等于(　　)

A．1  B.  C．3  D．0

答案　C

解析　由已知得点M(1，f(1))在切线上，

所以f(1)＝＋2＝，

切点处的导数为切线斜率，所以f′(1)＝，

所以f(1)＋f′(1)＝3.

4．函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是(　　)

A．a>0  B．a≥0  C．a<0  D．a≤0

答案　C

解析　因为f′(x)＝3ax2＋1，

令f′(x)＝3ax2＋1＝0，

所以3a＝－<0，即a<0.

5．对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是(　　)

A．－1是f(x)的零点

B．1是f(x)的极值点

C．3是f(x)的极值

D．点(2,8)在曲线y＝f(x)上

答案　A

解析　由A知a－b＋c＝0；由B知f′(x)＝2ax＋b,2a＋b＝0；由C知f′(x)＝2ax＋b，令f′(x)＝0，可得x＝－，则f ＝3，则＝3；

由D知4a＋2b＋c＝8，假设A选项错误，则解得满足题意，故A结论错误，同理易知当B或C或D选项错误时不符合题意，故选A.

6．若函数f(x)＝x3－3x2＋a有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－∞，0)∪(4，＋∞)

B．(－∞，－8)∪(0，＋∞)

C．[0,4]

D．(－8,0)

答案　A

解析　由题意知f′(x)＝3x2－6x，

∴当f′(x)>0时，3x2－6x>0，得x<0或x>2；

当f′(x)<0时，3x2－6x<0，得0<x<2.

∴f(x)在(－∞，0)上是增函数，在(0,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，

当x＝0时，有极大值f(0)＝a，当x＝2时，有极小值f(2)＝a－4，

∴只有当f(0)＝a<0或f(2)＝a－4>0时，函数f(x)有且仅有一个零点，∴a<0或a>4.

二、多项选择题

7．将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是(　　)

答案　ABD

解析　对于A选项，由函数y＝f′(x)的图象可知，f′(0)＝0，但函数y＝f(x)在x＝0处的切线斜率不存在，不符合题意；

对于B选项，由函数y＝f′(x)的图象可知，

函数y＝f(x)存在增区间，但B选项的图象中，

函数y＝f(x)没有增区间，不符合题意；

对于C选项，由函数y＝f′(x)的图象可知，

函数y＝f(x)在R上为增函数，符合题意；

对于D选项，由函数y＝f′(x)的图象可知，

函数y＝f(x)有两个单调区间，但D选项的图中，

函数y＝f(x)有三个单调区间，不符合题意．

8．定义在区间上的函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)

A．函数f(x)在区间(0,4)上是增函数

B．函数f(x)在区间上是减函数

C．函数f(x)在x＝1处取得极大值

D．函数f(x)在x＝0处取得极小值

答案　ABD

解析　根据导函数的图象可知，在区间上，f′(x)<0，f(x)单调递减，在区间(0,4)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝0处取得极小值，没有极大值，所以A，B，D选项正确，C选项错误．

三、填空题

9．已知曲线y＝x2－3ln x的一条切线的斜率为－1，则该切线的方程为________．

答案　x＋y－2＝0

解析　设切点为(x0，y0)，

∵y′＝2x－，∴2x0－＝－1，解得x0＝－(舍去)或x0＝1，∴y0＝1，

故切线方程为y－1＝－1×(x－1)，

即x＋y－2＝0.

10．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．根据以上发现，则函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为__________．

答案　

解析　由题意得， f′(x)＝x2－x＋3，故f″(x)＝2x－1，令f″(x)＝0可得x＝.代入可得f ＝×3－×2＋3×－＝1.故其对称中心为.

11．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则实数a的取值范围是________．

答案　(－1，＋∞)

解析　因为2x(x－a)<1，所以a>x－.

令f(x)＝x－，

所以f′(x)＝1＋2－xln 2>0，

所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

所以f(x)>f(0)＝0－1＝－1，

所以a的取值范围为(－1，＋∞)．

12．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)·x<f(x)，f(3)＝0，则>0的解集为________．

答案　(0,3)

解析　设g(x)＝，因为f′(x)·x<f(x)，

所以g′(x)＝<0，

所以g(x)在(0，＋∞)上是减函数，

又f(3)＝0，所以g(3)＝0，

则>0，即g(x)>0＝g(3)，

所以0<x<3.

即>0的解集为(0,3)．

四、解答题

13．设函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a>0)．

(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．

解　函数f(x)的定义域为(0,2)，

f′(x)＝－＋a.

(1)当a＝1时，f′(x)＝，

令f′(x)＝0，得x＝(负值舍去)．

当f′(x)>0时，0<x<；

当f′(x)<0时，<x<2，

所以f(x)的增区间为(0，)，

减区间为(，2)．

(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a>0，

即f(x)在(0,1]上是增函数，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.

14．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(2a－3)x－1.

(1)若f(x)的减区间为(－1,1)，求实数a的值；

(2)若f(x)在区间(－1,1)上是减函数，求实数a的取值范围．

解　由题意得f′(x)＝3x2＋2ax＋2a－3＝(x＋1)(3x＋2a－3)．

(1)∵f(x)的减区间为(－1,1)，

∴－1和1是方程f′(x)＝0的两个根，

∴＝1，∴a＝0.

当a＝0时，f′(x)＝(x＋1)(3x－3)，

由f′(x)<0得－1<x<1，

∴f(x)的减区间为(－1,1)，符合题意，

∴a＝0.

(2)∵f(x)在区间(－1,1)上是减函数，

∴f′(x)≤0在(－1,1)内恒成立．

又二次函数y＝f′(x)的图象开口向上，方程f′(x)＝0的一根为－1，

∴≥1，∴a≤0.

∴实数a的取值范围是{a|a≤0}．

15．已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x＋1.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)当a<0时，证明：f(x)≤－－1.

(1)解　因为f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x＋1，

所以f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝＝(x>0)，

当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，

则f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

当a<0时，令f′(x)>0，则2ax＋1>0，

所以0<x<－，

令f′(x)<0，则2ax＋1<0，

所以x>－，

综上，当a≥0时，f(x)的增区间为(0，＋∞)，无减区间；

当a<0时，f(x)的增区间为，减区间为.

(2)证明　由(1)知，当a<0时，f(x)在x＝－处取得最大值，最大值为f ＝ln－，

所以f(x)≤－－1等价于ln－≤－－1，即ln＋＋1≤0.

令g(t)＝ln t－t＋1(t>0)，

则g′(t)＝－1＝，

令g′(t)>0，则0<t<1.

令g′(t)<0，则t>1.

故g(t)max＝g(1)＝0，

所以当t>0时，g(t)≤0，

从而当a<0时，ln＋＋1≤0，

即f(x)≤－－1.