初中数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题精练

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人教版数学八年级册 13.4最短路径问题 一．选择题（共8小题）1．如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，则下列图形正确的是（　　）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，面积是24；AC的中垂线分别交AB，AC的边于E，F；若点D是BC边的中点，点M是线段EF上的一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）A．8 B．9 C．10 D．113．如图，等边△ABC，AB＝3，CD＝AC，P为BC边上一点，则△APD周长的最小值为（　　）A．2+ B． C．3 D．24．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AB于点E、AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为（　　）A．10 B．11 C．12 D．135．如图，△ABC中，AD垂直BC于点D，且AD＝BC，BC上方有一动点P满足，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为（　　）A．30° B．45° C．60° D．90°6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，AD，CE是△ABC的两条中线，CE＝4cm，P是AD上的一个动点，则BP+EP的最小值是（　　）A．3cm B．4cm C．6cm D．10cm7．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积为12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一点，则△BDM的周长最小值为（　　）A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm8．如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的一动点，点P为BD上一动点，连接PE、PC，则PE+PC的最小值为（　　）A．3 B． C． D．二．填空题（共6小题）9．四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为 　   　．10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AC的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，点P是直线EF上一动点，连接PA，PB，当|PA﹣PB|取最大值时，AP的长为 　   　．11．如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD＝6，则EP+CP的最小值为 　   　．12．函数的最小值是　   　．13．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是48，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 　   　．14．如图，∠BOC＝45°，点A在∠BOC的内部，OA＝1，点P、Q分别是边OC、OB上的动点，则△APQ周长的最小值为　   　．三．解答题（共6小题）15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE和CE．（1）补全图形；（2）若点F是AC的中点，请在BC上找一点P使AP+FP的值最小，并求出最小值．  16．如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）．请回答下列问题：（1）△ABC关于x轴的对称图形为△A1B1C1，则A1点坐标为 　   　．（2）△ABC的面积＝　   　，点C到AB的距离为 　   　．（3）P为x轴上一点，PA+PB最小值＝　   　．17．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？    18．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC＝65°，则∠NMA的度数是　   　度．（2）若AB＝10cm，△MBC的周长是18cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．  19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是　   　；（2）探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由；（3）连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长；②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，说明理由．    20．如图，直线l∥m，在直线l，m上分别取点M，N，使MN⊥线l，连接AM，MN，BN，当AM+MN+BN最小时，求点M，N的位置．
参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【解答】解：∵点A，B在直线l的同侧，∴作A点关于l的对称点A'，连接A'B与l的交点为P，由对称性可知AP＝A'P，∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B为最小，故选：B．2．【解答】解：连接AM，∵EF是AC的垂直平分线，∴AM＝CM，∴△CDM周长＝CM+DM+CD＝AM+MD+CD≥AD+CD，∴△CDM周长的最小值为AD+CD的长，∵D是BC的中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，∵BC＝6，△ABC的面积是24，∴AD＝8，∵BC＝6，D是BC的中点，∴CD＝3，∴AD+CD＝8+3＝11，∴△CDM周长的最小值为11，故选：D．3．【解答】解：如图，作点A关于BC的对称点A′，作A′H⊥BC于H，连接PA′，连接A′D交BC于P′．∵CD∥A′B，∴＝＝＝，∴BP′＝，在Rt△A′BH中，BH＝，A′H＝，∴HP′＝，P′A′＝＝，∴DP′＝，∴DA′＝，∵△APD周长＝PA+PD+AD＝PA+PD+2，∵PA+PD＝PA′+PD≥DA′，∴PA+PD的最小值为，∴△PAD的周长的最小值为2+，故选：A．4．【解答】解：∵AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，∴AD＝12，∵EF垂直平分AB，∴点A，B关于直线EF对称，∴EF与AD的交点即为P的，此时PA＝PB，PB+PD＝PA+PD＝AD，AD的长度＝PB+PD的最小值，即PB+PD的最小值为12，故选：C．5．【解答】解：∵，∴P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，∴l∥BC，作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，如图所示：则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，∵AD⊥BC，AD＝BC，∴BB'＝BC，BB'⊥BC，∴△BB'C是等腰直角三角形，∴∠B'＝45°，∵PB＝PB'，∴∠PBB'＝∠B'＝45°，∴∠PBC＝90°﹣45°＝45°；故选：B．6．【解答】解：连接CE交AD于点P，∵AB＝AC，AD是BC的中线，∴AD⊥BC，∴BP＝CP，∴BP+EP＝CP+EP≥CE，∴BP+EP的最小值为CE的长，∵CE＝4cm，∴BP+EP的最小值为4cm，故选：B．7．【解答】解：如图，连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6cm，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8cm．故选：C．8．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC的中点，∴BD⊥AC，EC＝BC＝3，连接AE，交BD于P，∴PA＝PC，∴PE+PC＝PE+PA＝AE，线段AE的长即为PE+PC最小值，∵点E是边BC的中点，∴AE⊥BC，在Rt△ACE中，AE＝＝＝3，∴PE+PC的最小值是3．故选：C．二．填空题（共6小题）9．【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝125°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝55°，∴∠AMN+∠ANM＝2×55°＝110°．∴∠MAN＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70°10．【解答】解：如图，连接PC，∵EF垂直平分线段AC，∴CF＝AC＝5，AP＝CP，∴|PA﹣PB|＝|PC﹣PB|，∵PC﹣PB≤BC，当点P在直线BC上时，|PC﹣PB|最大，此时，|PA﹣PB|最大，延长CB交EF于P'，此时，|P'C﹣P'B|最大，过点A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝10，BC＝8，∴CH＝BC＝4，在Rt△AHC中，根据勾股定理得，AH＝＝2，在Rt△AHP'中，P'H＝P'C﹣CH＝P'A﹣4，根据勾股定理得，P'A2＝AH2+P'H2，∴P'A2＝84+（P'A﹣4）2，∴P'A＝，即PA＝，故答案为：．11．【解答】解：连接BE交AD于点P，连接CP，∵△ABC是等边三角形，AD垂直平分BC，∴B点与C点关于AD对称，∴BP＝CP，∴EP+CP＝BP+CP≥BE，∴EP+CP的最小值为BE的长，∵E为AC边的中点，∴BE⊥AC，∵AD＝6，∴BE＝6，故答案为：6．12．【解答】解：如图，作线段AB＝4，AC⊥AB，DB⊥AB，且AC＝1，BD＝2，对于AB上的任意一点O，令OA＝x，则OC＝，OD＝，设点C关于AB的对称点为E，则DE与AB的交点即为点O．此时，OC+OD＝OE+OD＝DE，作EF∥AB与DB的延长线交于F，在Rt△DEF中，易知EF＝AB＝4，DF＝3，所以DE＝5，因此，函数的最小值是5．故答案为：5．13．【解答】解：连接AD，AD与EF的交点即为M，∵EF是AC的垂直平分线，∴C点与A点关于直线EF对称，∴AM＝CM，∴CM+MD＝AD，此时△CDM周长最小，∵△ABC是等腰三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵BC长为8，面积是48，∴AD＝12，∴△CDM周长＝AD+CD＝12+4＝16，故答案为16．14．【解答】解：作A点关于OC的对称点A'，作A点关于OB的对称点A''，连结A'A''交OC、OB于点P、Q，连结A'O、OA''，由对称可知，AP＝A'P，AQ＝A''Q，∴△APQ的周长＝AP+AQ+PQ＝A'P+PQ+QA''＝A'A''，∴△APQ周长的最小值为A'A''的长，∵∠BOC＝45°，∴∠A'OA''＝90°，∵由对称性可得AO＝OA'＝OA''，∵OA＝1，∴A'O＝A''O＝1，∴△OA'A''是等腰直角三角形，∴A'A''＝，∴△APQ周长的最小值为，故答案为．三．解答题（共6小题）15．【解答】解：（1）补全图形如下： （2）连接EF交BC于点P，此时AP+FP的值最小．∵DE＝AD，AD⊥BC，∴BC为AE的垂直平分线∴CA＝CE＝2，AP＝EP，∴AP+FP＝EP+PF，∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°，∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∴△ACE为等边三角形，∵点F是AC的中点，∴EF⊥AC，AF＝CF＝1，在Rt△CEF中，∠CFE＝90°，CF＝1，EC＝2，∴EF＝．∴AP+FP的最小值为．16．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为（1，﹣4）；故答案为：（1，﹣4）．（2）S△ABC＝3×3﹣3×2﹣﹣＝；设C到AB的距离为h，∵AB＝＝，∴S△ABC＝＝，即×h＝，∴h＝，∴点C到AB的距离为；故答案为：，；（3）A1B交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，最小值为A1B，∵A1（1，﹣4），B（4，2），∴A1B＝＝3，∴PA+PB最小值为3，故答案为：3．17．【解答】解：过E作EM∥BC，交AD于N，∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM＝AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝∠ACB＝30°．18．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C∵∠ABC＝65°，∴∠C＝65°，∴∠A＝50°，MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴∠A＝∠ABM＝50°，∴∠MBC＝∠ABC﹣∠ABM＝15°，∴∠AMB＝∠MBC+∠C＝80°，∴∠NMA＝∠AMB＝40°．故答案为40度．（2）①∵AB＝AC＝10，△MBC的周长是18cm，即BM+MC+BC＝18∵AM＝BM，∴AM+MC+BC＝18，∴AC+BC＝18，∴BC＝8．答：BC的长度为8cm．②当点P与点M重合时，△PBC周长的值最小，答：△PBC的周长的最小值为18cm．19．【解答】解：（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是 50°，故答案为：50°；（2）猜想的结论为：∠NMA＝2∠B﹣90°．理由：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠A＝180°﹣2∠B，又∵MN垂直平分AB，∴∠NMA＝90°﹣∠A＝90°﹣（180°﹣2∠B）＝2∠B﹣90°．（3）如图：①∵MN垂直平分AB．∴MB＝MA，又∵△MBC的周长是14cm，∴AC+BC＝14cm，∴BC＝6cm．②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是8cm．20．【解答】解：过A作AA1⊥l，且AA1＝MN，连A1B，交m于N，过N作MN⊥m交l1于M，连AM，则AM+MN+BN最小