初中数学人教版九年级上册第二十三章 旋转综合与测试单元测试精练

人教版数学九年级上册 第23章旋转 单元检测

一．利用轴对称设计图案（共1小题）

1．如图，由边长为1的小等边三角形构成的网格图中，有3个小等边三角形已涂上阴影．在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影等边三角形组成一个轴对称图形，符合选取条件的空白小等边三角形有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二．利用平移设计图案（共1小题）

2．下列四幅名车标志设计中能用平移得到的是（　　）

A．              B． 

C．                 D．

三．生活中的旋转现象（共1小题）

3．以下生活现象中，属于旋转变换得是（　　）

A．钟表的指针和钟摆的运动        B．站在电梯上的人的运动 

C．坐在火车上睡觉                D．地下水位线逐年下降

四．旋转的性质（共3小题）

4．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，若∠E＝65°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（　　）

A．65° B．70° C．75° D．80°

5．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A'B'CO的一个顶点，而且这两个正方形的边长都等于4，将正方形A'B'CO绕点O旋转，在这个过程中，请探究：

（1）正方形ABCD的边落在∠A'OC内的线段长的和（即EB+BF的长）是否发生变化？为什么？

（2）两个正方形重叠部分的面积（即四边形OEBF的面积）是否发生变化？为什么？若设AE＝x，△EOF的面积为y，试用含x的代数式表示y．

6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°中，把Rt△ACB绕点B顺时针旋转得到Rt△BDE，连接CD并延长交AE于点F．

（1）求证：∠CBD＝2∠EDF；

（2）若CD＝EF，求∠BAC的度数．

五．旋转对称图形（共2小题）

7．如果规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，就称此图形为旋转对称图形，旋转的角度称为旋转角．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（　　）

A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形

8．如图，已知△ABC和△AEF中，∠B＝∠E，AB＝AE，BC＝EF，∠EAB＝25°，∠F＝57°；

（1）请说明∠EAB＝∠FAC的理由；

（2）△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换；

（3）求∠AMB的度数．

六．中心对称（共4小题）

9．如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（3，3）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（　　）

A．（﹣3，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，﹣4）

10．如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝2，∠CAB＝90°，则AE的长是 　   　．

11．如图，在直角坐标系中，平行四边形ABCD的BC边在x轴上，点A（0，3），B（﹣1，0），若直线y＝﹣2x+4恰好平分平行四边形ABCD的面积，则点D的坐标是 　   　．

12．有一张矩形纸片ABCD，E，F分别是边BC，AD上的点（不与顶点重合），如图所示，若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分．求证：AF＝EC．

七．中心对称图形（共2小题）

13．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．B． C．D．

14．已知：BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE＝AF．

（1）如图1，求证：四边形ADEF是平行四边形；

（2）如图2，若△ABC为等边三角形，在不添加辅助线的情况下，请你直接写出所有是轴对称但不是中心对称的图形．

八．关于原点对称的点的坐标（共2小题）

15．平面直角坐标系中，点（a，﹣3）关于原点的对称点是（1，b），则ab＝（　　）

A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3

16．如图，在直角坐标平面内，横坐标与纵坐标都是整数的点叫做格点，顶点都是格点的三角形叫做格点三角形．已知格点A（﹣2，1）与点B关于y轴对称，点C与点B关于原点对称．

（1）写出点B的坐标，点C的坐标，并在图中描出点B、C；

（2）求△ABC的面积；

（3）平面内有一格点D，若格点△ACD与△ABC全等，写出所有点D的坐标．

九．坐标与图形变化-旋转（共2小题）

17．如图，将△ABC绕点P按逆时针方向旋转45°，得到△A′B′C′，则点C的对应点C′的坐标是（　　）

A．（1，2） B．（1，+1） C．（2，1） D．（+1，1）

18．如图所示，在平面直角坐标系中A（0，4），点B（﹣6，0）．△AOB绕点O逆时针旋转30°得到△A1OB1．

（1）求点B1的坐标；

（2）点C（4，0），连接CA1交OA于点D，求点D的坐标．

一十．作图-旋转变换（共1小题）

19．在平面直角坐标系xOy中，第一次将△ABC作原点的中心对称图形得到△A1B1C1，第二次在作△A1B1C1关于x轴的对称图形得到△A2B2C2，第三次△A2B2C2作原点的中心对称图形得到△A3B3C3，第四次再作△A3B3C3关于x轴的对称图形得到△A4B4C4，按照此规律作图形的变换，可以得到△A2022B2022C2022的图形，若点C（3，2），则C2022的坐标为（　　）

A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2）

一十一．利用旋转设计图案（共1小题）

20．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：

（1）画出△ABC向上平移4个单位长度居所得到的△A1B1C1；

（2）画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1；

（3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是中心对称图形吗？　   　，它的对称中心为 　   　．

一十二．几何变换的类型（共2小题）

21．如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2）．按下列要求画出图形，并回答问题．

（1）将△ABC三个顶点的横坐标都减去3，纵坐标不变，分别得到点A1，B1，C1，连接A1B1、B1C1，C1A1，所得△A1B1C1可以由△ABC经历怎样的变换得到？

（2）将△ABC绕原点O旋转180度，分别得到点A2，B2，C2，连接A2B2，B2C2，C2A2，所得△A2B2C2与△ABC的位置有什么关系？

22．如图1，把△ABC沿直线BC平移线段BC的长度，得到△ECD；如图2，以BC为轴，把△ABC沿BC翻折180°，可以得到△DBC；如图3，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以得到△AED．像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、翻折、旋转等方法得到的，这种只改变位置，不改变形状、大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题：

（1）在图4中，可以使△ABE通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法得到△ADF？

（2）图中线段BE与DF相等吗？为什么？

参考答案与试题解析

一．利用轴对称设计图案（共1小题）

1．【解答】解：轴对称图形如1所示．

故符合选取条件的空白小等边三角形有4个，

故选：C．

二．利用平移设计图案（共1小题）

2．【解答】解：根据平移的定义可知，只有B选项是由一个圆作为基本图形，经过平移得到．

故选：B．

三．生活中的旋转现象（共1小题）

3．【解答】解：A、钟表的指针和钟摆的运动都是旋转变换，故本选项正确；

B、站在电梯上的人的运动属于平移现象，故本选项错误；

C、坐在火车上睡觉，属于平移现象，故本选项错误；

D、地下水位线逐年下降属于平移现象，故本选项错误；

故选：A．

四．旋转的性质（共3小题）

4．【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，

∴∠C＝∠E＝65°，∠BAD＝50°，

∵AD⊥BC，

∴∠AFC＝90°，

∴∠CAF＝90°﹣∠C＝25°，

∴∠BAC＝∠CAF+∠BAD＝25°+50°＝75°，

故选：C．

5．【解答】解：（1）EB+BF的长不会发生变化，理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，四边形A'B'CO是正方形，

∴AO＝BO，∠BAC＝∠DBC＝45°，∠AOB＝∠A'OC'＝90°，

∴∠AOE＝∠BOF，

在△AOE和△BOF中，

，

∴△AOE≌△BOF（ASA），

∴AE＝BF，

∴BE+BF＝AE+BE＝AB＝4；

（2）四边形OEBF的面积不会发生变化，理由如下：

∵△AOE≌△BOF，

∴S△AOE＝S△BOF，

∴四边形OEBF的面积＝S△BOE+S△BOF＝S△BOE+S△AOE＝S△AOB＝S正方形ABCD＝4；

如图，连接EF，

∵△AOE≌△BOF，

∴EO＝OF，

∴EF＝OE，

∴△EOF的面积＝OE2＝EF2，

∵AE＝x＝BF，BE＝4﹣x，

∴EF2＝x2+（4﹣x）2＝2x2﹣8x+16，

∴y＝﹣2x+4．

6．【解答】（1）证明：由旋转得BD＝BC，∠EDB＝∠ACB＝90°，

∴∠BDC＝∠BCD，

∴∠CBD＝180°﹣∠BDC﹣∠BCD＝180°﹣2∠BDC＝2（90°﹣∠BDC），

∵∠EDF＝180°﹣∠EDB﹣∠DBC＝90°﹣∠DBC，

∴∠CBD＝2∠EDF．

（2）解：连接BF交DE于点H，设CF交AB于点G，

∵BC＝BD，AB＝EB，

∴，

∵∠CBD＝∠ABE，

∴△CBD∽△ABE，

∴∠GCB＝∠GAF，

∵∠CGB＝∠AGF，

∴△CGB∽△AGF，

∴，

∴，

∵∠AGC＝∠FGB，

∴△AGC∽△FGB，

∴∠BAC＝∠BFG，

∵∠BAC＝∠BED，

∴∠BFG＝∠BED，

∵∠DHF＝∠BHE，

∴△DHF∽△BHE，

∴，

∴，

∵∠DHB＝∠FHE，

∴△DHB∽△FHE，

∴∠EFH＝∠BDH＝90°，

∴BF⊥AE，

∴AF＝EF＝AE，

∴CD＝EF＝AE，

∴，

∴sin∠BAC＝＝，

∴∠BAC＝30°．

五．旋转对称图形（共2小题）

7．【解答】解：A．正三角形的最小旋转角是120°，故此选项不合题意；

B．正方形的旋转角度是90°，故此选项不合题意；

C．正六边形的最小旋转角是60°，故此选项符合题意；

D．正八边形的最小旋转角是45°，故此选项不合题意；

故选：C．

8．【解答】解：（1）∵∠B＝∠E，AB＝AE，BC＝EF，

∴△ABC≌△AEF，

∴∠C＝∠F，∠BAC＝∠EAF，

∴∠BAC﹣∠PAF＝∠EAF﹣∠PAF，

∴∠BAE＝∠CAF＝25°；

（2）通过观察可知△ABC绕点A顺时针旋转25°，可以得到△AEF；

（3）由（1）知∠C＝∠F＝57°，∠BAE＝∠CAF＝25°，

∴∠AMB＝∠C+∠CAF＝57°+25°＝82°．

六．中心对称（共4小题）

9．【解答】解：∵B（5，1）、D（﹣3，﹣1）关于点P对称，

＝1，＝0，

∴点P的坐标为（1，0）．

设点C（x，y），

∵A（3，3），

∴＝1，＝0，

∴x＝﹣1，y＝﹣3．

∴C（﹣1，﹣3）．

故选：B．

10．【解答】解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，

∴△ACB≌△DCE，

∴AC＝CD＝2，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE＝3，

∴AD＝4，

∴AE＝＝＝5，

故答案为：5．

11．【解答】解：连接BD，设D（m，3），BD的中点为T．

∵B（﹣1，0），

∴T（，），

∵直线y＝﹣2x+4平分平行四边形ABCD的面积，

∴直线y＝﹣2x+4经过点T，

∴＝﹣2×+4，

∴m＝，

∴D（，3），

故答案为：（，3）．

12．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，AD＝BC，DF＝AD﹣AF，BE＝BC﹣EC，

∵S梯形ABEF＝S梯形ABEF，

∴，

∴AF+BE＝EC+DF，

∴AF+（BC﹣EC）＝EC+（AD﹣AF），

∴AF﹣EC＝EC﹣AF，

∴AF＝EC．

七．中心对称图形（共2小题）

13．【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；

C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：B．

14．【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠ABD＝∠DBE，

∵DE∥AB，

∴∠ABD＝∠BDE，

∴∠DBE＝∠BDE，

∴BE＝DE；

∵BE＝AF，

∴AF＝DE；

∴四边形ADEF是平行四边形；

（2）解：∵△ABC为等边三角形，BD是△ABC的角平分线，

∴AD＝DC，D为AC的中点，BD⊥AC

∴△BDA和△BDC是以BD为轴的轴对称图形；

∵DE∥AB，

∴E为BAB的中点，

∵EF∥AC

∴F为BC的中点，

∴BG⊥EF

∴△BGF和△BGE是以BG为轴的轴对称图形，

轴对称图形为：△BDA和△BDC，△BGF和△BGE．

八．关于原点对称的点的坐标（共2小题）

15．【解答】解：∵点（a，﹣3）关于原点的对称点是（1，b），

∴a＝﹣1，b＝3，

ab＝（﹣1）3＝﹣1，

故选：B．

16．【解答】解：（1）∵点A（﹣2，1）与点B关于y轴对称，

∴点B的坐标为（2，1），

又∵点C与点B关于原点对称，

∴点C的坐标为（﹣2，﹣1），

在平面直角坐标系中描出的点如图所示：

（2）S△ABC＝AB•AC＝×4×2＝4，

答：△ABC的面积为4；

（3）点D的坐标为（2，﹣1）或（﹣6，1）或（﹣6，﹣1）或（2，1）．

九．坐标与图形变化-旋转（共2小题）

17．【解答】解：如图，

∵P（1，1），C（2，2），

∴PC＝＝，

∵将△ABC绕点P按逆时针方向旋转45°，得到△A′B′C′，

∴点C′在点P的正上方，

∴C′（1，1+），

故选：B．

18．【解答】解：（1）过点B1作B1H⊥y轴于H．

∵B（﹣6，0），

∴OB＝OB1＝6，

∵∠BOB1＝30°，∠BOH＝90°，

∴∠B1OH＝60°，

∴OH＝OB1•cos60°＝3，HB1•sin60°＝3，

∴B1（﹣3，﹣3）；

（2）过点A1作A1T⊥y轴于T

∵A（0，4），

∴OA＝OA1＝4，

∵∠AOA1＝30°，∠AOB＝90°，

∴∠A1OT＝60°，

∴OT＝OA1•cos60°＝2，A1T＝OA1•sin60°＝2，

∴A1（﹣2，2），

∵C（4，0），

设直线CA1的解析式为y＝kx+b，则有，

解得，

∴直线CA1的解析式为y＝﹣x+．

∴D（0，）．

一十．作图-旋转变换（共1小题）

19．【解答】解：根据题意画出图形，由图形知每四次一个循环，

∵2022÷4＝505……2，

∴C2022的坐标在第二象限，

∴C2022（﹣3，2），

故选：C．

一十一．利用旋转设计图案（共1小题）

20．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；

（2）如图所示：△D1E1F1即为所求；

（3））△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是中心对称图形，它的对称中心为 （﹣1，﹣1）．

故答案为：是，（﹣1，﹣1）．

一十二．几何变换的类型（共2小题）

21．【解答】解：如图：

（1）∵将△ABC三个顶点的横坐标都减去3，纵坐标不变，

∴A1（1，3），B1（0，1），C1（﹣2，2），

∴△ABC向x轴负方向平移3个单位长度得到△A1B1C1；

（2）∵将△ABC绕原点O旋转180度，

∴A2（﹣4，﹣3），B2（﹣3，﹣1），C2（﹣1，﹣2），

∴△ABC与△A2B2C2关于坐标原点中心对称．

22．【解答】解：（1）△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADF．这里是旋转变换．

（2）BE＝DF．理由：

因为△ABE 绕点 A 按逆时针方向旋转 90° 后得到△ADF，根据旋转的性质，旋转不改变图形的形状和大小，所以 BE＝DF