【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第28练 导数与函数的单调性【讲义+习题】

第28练　导数与函数的单调性

一、选择题

1．函数f(x)＝(a>0)的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，－1)

B．(－1,1)

C．(1，＋∞)

D．(－∞，－1)和(1，＋∞)

答案　B

解析　f′(x)＝a·(a>0)，

令f′(x)>0，解得－1<x<1，故f(x)在(－1,1)上单调递增．

2．函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为(　　)

A．(－1,1)   B．(－1,1]

C．(0,1)   D．(0，＋∞)

答案　C

解析　函数f(x)＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝x－＝，令f′(x)＝<0，∵x>0，

∴0<x<1，因此函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为(0,1)．

3．已知函数f(x)＝在(－1,1)上为减函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1]   B．(－∞，1)

C．(－∞，－1]   D．(－∞，－1)

答案　B

解析　由题意，得f′(x)＝，又f′(x)＝≤0在(－1,1)上恒成立，所以a≤1.

而当a＝1时，f′(x)恒为0，

此时f(x)＝1(x≠－1)，不具有单调性，

所以a<1，即实数a的取值范围为(－∞，1)．

4．已知函数f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象可能为(　　)

答案　D

解析　由函数f(x)的图象，知当x<0时，f(x)是单调递减的，所以f′(x)<0；

当x>0时，f(x)先单调递增，后单调递减，最后单调递增，所以f′(x)先正后负，最后为正．

5．(多选)已知函数f(x)＝x3＋，则(　　)

A．f(x)在上是减函数

B．f(x)在，上是减函数

C．f(x)的单调递增区间为和

D．f(x)在和上是增函数

答案　BCD

解析　f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

f′(x)＝′＝16x2－＝＝

＝，

令f′(x)>0，得x<－或x>，

所以f(x)的单调递增区间为和，

f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数．

令f′(x)<0，得－<x<0或0<x<.

所以f(x)在和上是减函数．

二、填空题

6．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1,3)，则b＝________，c＝________.

答案　－3　－9

解析　由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d求导得

f′(x)＝3x2＋2bx＋c，

因为函数f(x)的单调递减区间为(－1,3)，

则－1,3是方程f′(x)＝0即3x2＋2bx＋c＝0的两个根，于是得－＝－1＋3，且＝－1×3，解得b＝－3，c＝－9，

此时，f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，

由f′(x)<0得－1<x<3，

即函数f(x)的单调递减区间是(－1,3)，符合题意，所以b＝－3，c＝－9.

7．函数f(x)＝的单调递增区间为________．

答案　(－1,1)

解析　函数f(x)＝的定义域为R，f′(x)＝＝，

令f′(x)>0，可得x2－1<0，解得－1<x<1.

因此，函数f(x)＝的单调递增区间为(－1,1)．

8．若函数f(x)＝x3－2x2＋ax＋1在区间[－1,4]上具有单调性，则a的取值范围是____________________．

答案　(－∞，－16]∪[2，＋∞)

解析　f′(x)＝2x2－4x＋a，函数f(x)在区间[－1,4]上具有单调性等价于f′(x)＝2x2－4x＋a≤0或f′(x)＝2x2－4x＋a≥0在[－1,4]上恒成立，

即a≤(－2x2＋4x)min或a≥(－2x2＋4x)max，即a≤－16或a≥2.

9．若函数f(x)＝－2x＋sin x，则满足不等式f(2m2－m＋π－1)≤－2π的m的取值范围为__________________．

答案　∪[1，＋∞)

解析　函数的定义域为R，

由f′(x)＝－2＋cos x<0可知f(x)为减函数，

且f(2m2－m＋π－1)≤－2π＝f(π)，

所以2m2－m＋π－1≥π，

即2m2－m－1≥0，

解得m≤－或m≥1.

三、解答题

10．求函数y＝ln(2x＋3)＋x2的单调区间．

解　函数y＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为，

∵y＝ln(2x＋3)＋x2，

∴y′＝＋2x＝，

当y′＞0，即－＜x＜－1或x＞－时，

函数y＝ln(2x＋3)＋x2在区间，上单调递增，

当y′＜0，即－1＜x＜－时，

函数y＝ln(2x＋3)＋x2在区间上单调递减，

故函数y＝ln(2x＋3)＋x2的单调递增区间为，，

单调递减区间为.