【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第29练 导数与函数的极值、最值【讲义+习题】

第29练　导数与函数的极值、最值

一、选择题

1.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在区间(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在区间(a，b)上的极大值点的个数为(　　)

A．4  B．3  C．2  D．1

答案　B

解析　极大值点在导函数f′(x)的零点处，且满足零点的左侧为正，右侧为负，由导函数的图象可知极大值点共有3个．

2．函数f(x)＝x2－ln x的极值点为(　　)

A．1   B.

C．－   D.，－

答案　B

解析　由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，

且f′(x)＝3x－＝，

令f′(x)＝0，得x＝.

当x>时，f′(x)>0；当0<x<时，f′(x)<0，

∴当x＝时，f(x)取得极小值，故f(x)的极小值点为x＝，无极大值点．

3．函数f(x)＝x3－4x＋4在区间[0,3]上的最大值与最小值分别是(　　)

A．1，－   B．4，－

C．4，   D.，－4

答案　B

解析　由题意得f′(x)＝x2－4.令f′(x)＝0，

即x2－4＝0，

解得x＝2或x＝－2(舍去)，

当x∈[0,2)时，f′(x)<0，函数单调递减；

当x∈(2,3]时，f′(x)>0，函数单调递增．

故函数f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝－，

又f(0)＝4，f(3)＝1，

所以函数f(x)的最大值与最小值分别为4和－.

4.一窗户的上部是半圆，下部是矩形，大致图形如图所示，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为(　　)

A.   B.

C.   D．2

答案　C

解析　设窗户面积为S，周长为L，圆的半径为x，矩形高为h，

则S＝x2＋2hx，

∴h＝－x，

∴窗户的周长L＝πx＋2x＋2h＝＋2x＋x，

∴L′＝2＋－，由L′＝0，得x＝，

当x∈时，L′<0，即L单调递减；

当x∈时，L′>0，即L单调递增，

∴当x＝时，L取最小值．

5.(多选)如图为函数f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是(　　)

A．f(x)在x＝1处取得极大值

B．x＝－1是f(x)的极小值点

C．f(x)在(2,4)上单调递减，在(－1,2)上单调递增

D．x＝2是f(x)的极小值点

答案　BC

解析　当x＝1时，f′(1)≠0，

∴x＝1不是 f(x)的极值点，

∴A错误；

当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，

当x∈(－1,2)时，f′(x)>0，

∴f(x)在(－3，－1)上单调递减，在(－1,2)上单调递增，

∴x＝－1是 f(x)的极小值点，

∴B正确；

当x∈(2,4)时，f′(x)<0，

∴f(x)在(2,4)上单调递减，

∴x＝2是f(x)的极大值点，

∴C正确，D错误．

二、填空题

6．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为________．

答案　

解析　f(x)＝x2－ln x，x>0，f′(x)

＝x－＝，

令f′(x)>0，解得x>1，令f′(x)<0，

解得0<x<1，

所以函数在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝.

7．若函数f(x)＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．

答案　(－∞，－1)

解析　由题意得f′(x)＝ex＋a＝0在(0，＋∞)上有解．

当x>0时，可得a＝－ex<－1，

故实数a的取值范围是(－∞，－1)．

8．函数f(x)＝x3＋2ax2＋(a＋1)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为__________．

答案　a>1或a<－

解析　由题意可得f′(x)＝3x2＋4ax＋(a＋1)，函数f(x)既有极大值又有极小值，

则一元二次方程3x2＋4ax＋(a＋1)＝0有两个不相等的实数根，

即Δ＝(4a)2－4×3×(a＋1)>0，

解得a>1或a<－.

9．当x∈(0,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是__________．

答案　[－6，＋∞)

解析　根据题意，当x∈(0,1]时，分离参数a，

得a≥－－恒成立．

令＝t，

∴当t≥1时，a≥t－4t2－3t3恒成立．

令g(t)＝t－4t2－3t3，

则g′(t)＝1－8t－9t2＝(－9t＋1)(t＋1)，

当t≥1时，g′(t)<0，

∴函数g(t)在[1，＋∞)上是减函数．

则g(t)≤g(1)＝－6，

∴a≥－6.

∴实数a的取值范围是[－6，＋∞)．

三、解答题

10．已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．

解　因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，

所以

即

解得或

当a＝1，b＝3时，

f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，

所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．

当a＝2，b＝9时，

f′(x)＝3x2＋12x＋9

＝3(x＋1)(x＋3)．

当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；

当x∈(－∞，－3)和(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x＝－1时取得极小值，符合题意．

因此a＝2，b＝9.