【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第30练 导数的综合应用【讲义+习题】

第30练　导数的综合应用

一、选择题

1．曲线y＝ln x＋1在(1,1)处的切线也为y＝ex＋a的切线，则a等于(　　)

A．0  B．1  C．－1  D．2

答案　C

解析　对y＝ln x＋1求导得y′＝，

则曲线y＝ln x＋1在(1,1)处的切线斜率为1，切线方程为y＝x，

设直线y＝x与曲线y＝ex＋a相切的切点为(t，et＋a)，

由y＝ex＋a求导得y′＝ex，

于是得

解得

所以a＝－1.

2．若1和2是函数f(x)＝4ln x＋ax2＋bx的两个极值点，则log2(2a－b)等于(　　)

A．－3   B．－2

C．2   D．3

答案　D

解析　由函数f(x)＝4ln x＋ax2＋bx，可得

f′(x)＝＋2ax＋b，

因为1和2是函数f(x)＝4ln x＋ax2＋bx的两个极值点，

所以

解得a＝1，b＝－6，

所以log2(2a－b)＝log28＝3.

3.在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f′(x)<0的解集为(　　)

A．(－∞，－1)∪(0,1)

B．(－1,0)∪(1，＋∞)

C．(－2，－1)∪(1,2)

D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

答案　A

解析　由题意f′(x)>0的解集为(－∞，－1)，(1，＋∞)，f′(x)<0的解集为(－1,1)，

xf′(x)<0⇔或

所以x<－1或0<x<1.

4．已知某圆锥的底面半径为2，母线长为4，该圆锥有一内接圆柱，要使圆柱的体积最大，则圆柱的底面半径应为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　如图为此几何体的轴截面，设圆柱的底面圆半径为r，母线长为l，由已知条件得AO＝＝2，

∵△AOB∽△DCB，

∴＝，即l＝(2－r)，其中0<r<2，

∴圆柱的体积为V＝πr2l＝π(2r2－r3)，

又∵V′＝π(4r－3r2)，

∴函数在上单调递增，

在上单调递减，

∴函数在r＝时，圆柱的体积V取得最大值．

5．(多选)对于函数f(x)＝，下列说法正确的有(　　)

A．f(x)在x＝1处取得极大值

B．f(x)有两个不同的零点

C．f(4)<f(π)<f(3)

D．πe2>2eπ

答案　AC

解析　由函数f(x)＝，可得函数f(x)的导数为f′(x)＝.

当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，可得函数f(x)在x＝1处取得极大值，所以A正确；

因为f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)>0恒成立，所以函数f(x)只有一个零点，所以B错误；

由f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且4>π>3>1，可得f(4)<f(π)<f(3)，所以C正确；

由f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且π>2>1，可得<，即πe2<2eπ，所以D错误．

二、填空题

6．函数f(x)＝在(0，e2]上的最大值是__________．

答案　

解析　由题设，f′(x)＝，

易知当0<x<e时，

f′(x)>0，当e<x<e2时，f′(x)<0，

∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，e2)上单调递减，

∴f(x)max＝f(e)＝.

7．已知函数f(x)＝x－－2ln x在(0，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是________．

答案　k≥1

解析　若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

则f′(x)＝1＋－≥0在(0，＋∞)上恒成立，

即k≥－x2＋2x，

∵－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，故k≥1.

8．若函数f(x)＝x3－3x＋m在[0,2]上有零点，则实数m的取值范围为________．

答案　[－2,2]

解析　令f(x)＝0可得m＝－x3＋3x，

令g(x)＝－x3＋3x，x∈[0,2]，

则g′(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)，

由g′(x)>0可得0<x<1，

由g′(x)<0可得1<x<2，

∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，

∴g(x)max＝g(1)＝2，

又g(0)＝0，g(2)＝－2，

∴g(x)min＝－2，

则要使f(x)在[0,2]上有零点，则－2≤m≤2.

9．定义在R上的函数满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)－<0，则不等式f(x)－>的解集为__________．

答案　(－∞，1)

解析　构造函数F(x)＝f(x)－－，

F(1)＝f(1)－－＝0，

F′(x)＝f′(x)－<0，

所以F(x)在R上单调递减，

由f(x)－>，得f(x)－－>0，

即F(x)>F(1)，

所以x<1，即f(x)－>的解集为(－∞，1)．

三、解答题

10．已知函数f(x)＝ax3－9x＋1，a∈R.

(1)若a＝3，求函数f(x)的极值；

(2)若函数f(x)恰有三个零点，求实数a的取值范围．

解　(1)因为a＝3，所以f(x)＝3x3－9x＋1，

f′(x)＝9x2－9，

所以当x<－1或x>1时，

f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0；

所以f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，

所以f(x)的极大值为f(－1)＝7，

f(x)的极小值为f(1)＝－5.

(2)f′(x)＝3ax2－9＝3(ax2－3)，

当a≤0时，f′(x)＝3(ax2－3)≤0恒成立，f(x)在R上单调递减，

f(x)至多有一个零点，不符合题意；

当a>0时，令f′(x)＝0，则x＝±，

所以当x<－或x>时，f′(x)>0；

当－<x<时，f′(x)<0，

所以f(x)在和上单调递增，在上单调递减，

所以f(x)的极大值为f ＝6＋1，

f(x)的极小值为f ＝－6＋1，

又f(x)恰有三个零点，所以

解得0<a<108.

综上，a的取值范围为0<a<108.