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【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一章末检测试卷(五)【讲义+习题】
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章末检测试卷(五)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0) 的几何意义是( )
A．在x＝x0处的函数值
B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值
C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率
D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率
答案 C
2．已知函数f(x)＝ln x，导函数为f′(x)，那么f′(2)等于( )
A．－ B．－ C. D．1
答案 C
解析 因为f(x)＝ln x，则f′(x)＝，所以f′(2)＝.
3．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 ∵y＝f′(x)的图象过第一、二、三象限，故二次函数y＝f(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又其图象过原点，故顶点在第三象限．
4．以正弦曲线y＝sin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.∪ B．[0，π)
C. D.∪
答案 A
解析 y′＝cos x，∵cos x∈[－1,1]，∴切线的斜率的取值范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是∪.
5．设曲线y＝在点(1,0)处的切线与直线x－ay＋1＝0垂直，则a等于( )
A．－ B. C．－2 D．2
答案 A
解析 由题意得，y′＝＝(x>0)，∵曲线在点(1,0)处的切线与直线x－ay＋1＝0垂直，∴＝－a，解得a＝－.
6．函数f(x)＝的部分图象大致为( )
答案 C
解析 f(x)＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵f(－x)＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；f(1)＝<1，故排除A；∵当x>0时，f′(x)＝，又当x>1时，f′(x)>0，
∴f(x)在(1，＋∞)上是增函数，故排除D.
7．若函数f(x)＝(x>1)有最大值－4，则实数a的值是( )
A．1 B．－1 C．4 D．－4
答案 B
解析 由函数f(x)＝(x>1)，得f′(x)＝＝，要使得函数f(x)有最大值－4，则a<0，
则当x∈(1,2)时，f′(x)>0，函数f(x)在(1,2)上是增函数，
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)在(2，＋∞)上是减函数，
所以当x＝2时，函数f(x)取得最大值，即f(x)max＝f(2)＝＝－4，解得a＝－1，满足题意．
8．已知函数f(x)＝(2x2－3x)ex，则函数y＝3f2(x)＋2f(x)－1零点的个数是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
答案 B
解析 f(x)＝(2x2－3x)ex，
f′(x)＝(2x2＋x－3)ex＝(2x＋3)(x－1)ex，
令f′(x)>0，得x<－或x>1，
令f′(x)<0，得－
且f ＝，f(1)＝－e，
且当x→－∞时，f(x)→0，
令3f2(x)＋2f(x)－1＝0，
得f(x)＝－1或f(x)＝，
又f(x)＝－1有两个解，f(x)＝有三个解，
所以函数y＝3f2(x)＋2f(x)－1零点的个数是5.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的图象的一部分如图所示，则( )
A．函数f(x)有极大值f(3)
B．函数f(x)有极小值f(－)
C．函数f(x)有极大值f()
D．函数f(x)有极小值f(－3)
答案 AD
解析 当x<－3时，y＝xf′(x)>0，即f′(x)<0；
当－3≤x≤3时，f′(x)≥0；当x>3时，f′(x)<0.
∴f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(－3)．
10．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的值可以是( )
A．－ B．－1 C. D．2
答案 ABC
解析 由题意得f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，则Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.
11．设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则y＝f(x)( )
A．在区间内无零点
B．在区间内有零点
C．在区间(1，e)内无零点
D．在区间(1，e)内有零点
答案 AD
解析 由题意得f′(x)＝(x>0)，
令f′(x)>0，得x>3；
令f′(x)<0，得0
故函数f(x)在区间(0,3)上是减函数，
在区间(3，＋∞)上是增函数，
所以f(x)的极小值为f(3)＝1－ln 3<0，
又f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，f ＝＋1>0.所以f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．
12．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是( )
A．f(x)＝sin x＋cos x B．f(x)＝ln x－2x
C．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝xex
答案 ABC
解析 A中，f′(x)＝cos x－sin x，
f″(x)＝－sin x－cos x＝－sin<0在区间上恒成立；
B中，f′(x)＝－2(x>0)，f″(x)＝－<0在区间上恒成立；
C中，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x在区间上恒小于0；
D中，f′(x)＝ex＋xex，f″(x)＝2ex＋xex＝ex(x＋2)>0在区间上恒成立，故D中函数不是凸函数．
故ABC为凸函数．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若函数的导数为f′(x)，且f(x)＝2f′(2)x＋x3，则f′(2)＝________.
答案 －12
解析 由题意得f′(x)＝2f′(2)＋3x2，
∴f′(2)＝2f′(2)＋12，
∴f′(2)＝－12.
14．函数g(x)＝x3－6x2＋9x－10的零点有______个．
答案 1
解析 g(x)＝x3－6x2＋9x－10，
故g′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，
故函数在(－∞，1)和(3，＋∞)上是增函数，在[1,3]上是减函数，
则函数的极大值为g(1)＝1－6＋9－10＝－6<0，
函数的极小值为g(3)＝27－54＋27－10＝－10<0，
当x→＋∞时，f(x)→＋∞，故函数共有1个零点．
15．若函数y＝ex－ax在[1，＋∞)上单调递增，则a的最大值是________．
答案 e
解析 y′＝ex－a，由题意得ex－a≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，
即a≤ex在区间[1，＋∞)上恒成立．
∴a≤e，即a的最大值是e.
16.已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如表所示，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．下列关于f(x)的命题：
x
－1
0
4
5
f(x)
1
2
2
1
①函数f(x)的极大值点为0,4；
②函数f(x)在[0,2]上是减函数；
③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1
答案 ①②⑤
解析 由f(x)的导函数y＝f′(x)的图象知，函数f(x)的极大值点为0,4，故①正确；
因为在[0,2]上f′(x)≤0，故函数f(x)在[0,2]上是减函数，故②正确；
由表和图象知0≤t≤5，所以③不正确；
由f(x)＝a知，因为极小值f(2)未知，所以函数y＝f(x)－a的零点个数可能为0,1,2,3,4，所以④不正确，⑤正确．
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(10分)已知函数f(x)＝aln x＋x2－3b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－4＝0.
(1)求实数a，b的值；
(2)若曲线C：y＝－x3－4b，求曲线C过点(2,4)的切线方程．
解 (1)f′(x)＝＋2x，
因为直线2x＋y－4＝0的斜率为－2，且过点(1,2)，
所以即解得
(2)由(1)知y＝＋，则y′＝x2.
设切点为(x0，y0)，则切线斜率k＝x，
故切线方程为y－－＝x(x－x0)．
由切线过点(2,4)，代入可解得x0＝2或x0＝－1，
所以切点为(2,4)或(－1,1)，
则切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
18．(12分)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋4，x＝1是函数f(x)的一个极值点．
(1)求函数f(x)的增区间；
(2)当x∈[－1,2]时，求函数f(x)的最小值．
解 (1)由题意，得f′(x)＝6x2－2ax，
f′(1)＝0，则a＝3.
f(x)＝2x3－3x2＋4，f′(x)＝6x(x－1)，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；
当x∈(0,1)时，f′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
所以函数f(x)的增区间为(－∞，0)和(1，＋∞)．
(2)当x∈[－1,2]时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
x
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－1
↗
极大值
↘
极小值
↗
8
当x＝－1时，f(－1)＝2×(－1)3－3×(－1)2＋4＝－1；
当x＝1时，f(1)＝2－3＋4＝3，
所以当x∈[－1,2]时，函数f(x)的最小值为－1.
19．(12分)设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有3个不同的实根，求实数a的取值范围．
解 (1)f′(x)＝3(x2－2)，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝，
当x<－或x>时，f′(x)>0；
当－
∴当x＝－时，f(x)取得极大值为f(－)＝5＋4，
当x＝时，f(x)取得极小值为f()＝5－4 .
(2)令g(x)＝f(x)－a，则g′(x)＝f′(x)，
由(1)可得g(x)的极大值为5＋4－a，
极小值为5－4－a，
∵g(x)＝0有3个不同的实根，故
解得5－4
20．(12分)已知函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.
(1)若对任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；
(2)若函数f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．
解 (1)f′(x)＝3x2－9x＋6
＝32－≥－，
由f′(x)≥m恒成立，可得m≤－，
即m的最大值为－.
(2)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－2)(x－1)，
由f′(x)>0，得x>2或x<1；
由f′(x)<0，得1
∴f(x)极大值＝f(1)＝－a，
f(x)极小值＝f(2)＝2－a.
∵f(x)恰有一个零点，
∴－a<0或2－a>0，
即a<2或a>.
∴a的取值范围为(－∞，2)∪.
21．(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a元(a为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为(e为自然对数的底数)万件．已知当每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件，经物价部门核定，每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元．
(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L(x)最大？并求出L(x)的最大值．
解 (1)设该产品一年的销售量为Q(x)＝，
则＝500，所以k＝500e40，
则该产品一年的销售量Q(x)＝，
则该产品一年的利润L(x)＝(x－a－30)
＝500e40·(35≤x≤41)．
(2)L′(x)＝500e40·.
①若2≤a≤4，则33≤a＋31≤35，
当35≤x≤41时，L′(x)≤0，L(x)单调递减，
所以当x＝35时，L(x)取得最大值为500(5－a)e5；
②若4
易知当x＝a＋31时，L(x)取得最大值为500e9－a.
综上所述，当2≤a≤4，且每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500(5－a)e5万元；
当4
(1)若f(x)在x＝1，x＝处取得极值．
①求a，b的值；
②若存在x∈，使得不等式f(x)－c≤0成立，求c的最小值；
(2)当b＝a时，若f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，求a的取值范围．
解 (1)①函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2a＋＋.
∵f(x)在x＝1，x＝处取得极值，
∴f′(1)＝0，f′＝0，
即
解得
②若存在x∈，使得不等式f(x)－c≤0成立，
则只需c≥f(x)min.
∵f′(x)＝－－＋＝－
＝－，
∴当x∈时，f′(x)≤0，函数f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增；
当x∈[1,2]时，f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，
∴f(x)在x＝处取得极小值，
即f ＝＋ln ＝－ln 2，
又f(2)＝－＋ln 2，
∴f(x)min＝f(2)，
∴c≥f(x)min＝－＋ln 2，
∴c∈，
故cmin＝－＋ln 2.
(2)当a＝b时，f′(x)＝.
当a＝0时，f(x)＝ln x，
则f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
当a>0时，∵x>0，
∴2ax2＋x＋a>0，
∴f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
当a<0时，
设g(x)＝2ax2＋x＋a＝2a2＋a－，
∵－>0，
故只需Δ≤0，从而得a≤－，
此时f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
综上可得，a∈∪[0，＋∞)．
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0) 的几何意义是( )
A．在x＝x0处的函数值
B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值
C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率
D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率
答案 C
2．已知函数f(x)＝ln x，导函数为f′(x)，那么f′(2)等于( )
A．－ B．－ C. D．1
答案 C
解析 因为f(x)＝ln x，则f′(x)＝，所以f′(2)＝.
3．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 ∵y＝f′(x)的图象过第一、二、三象限，故二次函数y＝f(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又其图象过原点，故顶点在第三象限．
4．以正弦曲线y＝sin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.∪ B．[0，π)
C. D.∪
答案 A
解析 y′＝cos x，∵cos x∈[－1,1]，∴切线的斜率的取值范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是∪.
5．设曲线y＝在点(1,0)处的切线与直线x－ay＋1＝0垂直，则a等于( )
A．－ B. C．－2 D．2
答案 A
解析 由题意得，y′＝＝(x>0)，∵曲线在点(1,0)处的切线与直线x－ay＋1＝0垂直，∴＝－a，解得a＝－.
6．函数f(x)＝的部分图象大致为( )
答案 C
解析 f(x)＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵f(－x)＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；f(1)＝<1，故排除A；∵当x>0时，f′(x)＝，又当x>1时，f′(x)>0，
∴f(x)在(1，＋∞)上是增函数，故排除D.
7．若函数f(x)＝(x>1)有最大值－4，则实数a的值是( )
A．1 B．－1 C．4 D．－4
答案 B
解析 由函数f(x)＝(x>1)，得f′(x)＝＝，要使得函数f(x)有最大值－4，则a<0，
则当x∈(1,2)时，f′(x)>0，函数f(x)在(1,2)上是增函数，
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)在(2，＋∞)上是减函数，
所以当x＝2时，函数f(x)取得最大值，即f(x)max＝f(2)＝＝－4，解得a＝－1，满足题意．
8．已知函数f(x)＝(2x2－3x)ex，则函数y＝3f2(x)＋2f(x)－1零点的个数是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
答案 B
解析 f(x)＝(2x2－3x)ex，
f′(x)＝(2x2＋x－3)ex＝(2x＋3)(x－1)ex，
令f′(x)>0，得x<－或x>1，
令f′(x)<0，得－
且f ＝，f(1)＝－e，
且当x→－∞时，f(x)→0，
令3f2(x)＋2f(x)－1＝0，
得f(x)＝－1或f(x)＝，
又f(x)＝－1有两个解，f(x)＝有三个解，
所以函数y＝3f2(x)＋2f(x)－1零点的个数是5.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的图象的一部分如图所示，则( )
A．函数f(x)有极大值f(3)
B．函数f(x)有极小值f(－)
C．函数f(x)有极大值f()
D．函数f(x)有极小值f(－3)
答案 AD
解析 当x<－3时，y＝xf′(x)>0，即f′(x)<0；
当－3≤x≤3时，f′(x)≥0；当x>3时，f′(x)<0.
∴f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(－3)．
10．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的值可以是( )
A．－ B．－1 C. D．2
答案 ABC
解析 由题意得f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，则Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.
11．设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则y＝f(x)( )
A．在区间内无零点
B．在区间内有零点
C．在区间(1，e)内无零点
D．在区间(1，e)内有零点
答案 AD
解析 由题意得f′(x)＝(x>0)，
令f′(x)>0，得x>3；
令f′(x)<0，得0
故函数f(x)在区间(0,3)上是减函数，
在区间(3，＋∞)上是增函数，
所以f(x)的极小值为f(3)＝1－ln 3<0，
又f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，f ＝＋1>0.所以f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．
12．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是( )
A．f(x)＝sin x＋cos x B．f(x)＝ln x－2x
C．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝xex
答案 ABC
解析 A中，f′(x)＝cos x－sin x，
f″(x)＝－sin x－cos x＝－sin<0在区间上恒成立；
B中，f′(x)＝－2(x>0)，f″(x)＝－<0在区间上恒成立；
C中，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x在区间上恒小于0；
D中，f′(x)＝ex＋xex，f″(x)＝2ex＋xex＝ex(x＋2)>0在区间上恒成立，故D中函数不是凸函数．
故ABC为凸函数．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若函数的导数为f′(x)，且f(x)＝2f′(2)x＋x3，则f′(2)＝________.
答案 －12
解析 由题意得f′(x)＝2f′(2)＋3x2，
∴f′(2)＝2f′(2)＋12，
∴f′(2)＝－12.
14．函数g(x)＝x3－6x2＋9x－10的零点有______个．
答案 1
解析 g(x)＝x3－6x2＋9x－10，
故g′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，
故函数在(－∞，1)和(3，＋∞)上是增函数，在[1,3]上是减函数，
则函数的极大值为g(1)＝1－6＋9－10＝－6<0，
函数的极小值为g(3)＝27－54＋27－10＝－10<0，
当x→＋∞时，f(x)→＋∞，故函数共有1个零点．
15．若函数y＝ex－ax在[1，＋∞)上单调递增，则a的最大值是________．
答案 e
解析 y′＝ex－a，由题意得ex－a≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，
即a≤ex在区间[1，＋∞)上恒成立．
∴a≤e，即a的最大值是e.
16.已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如表所示，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．下列关于f(x)的命题：
x
－1
0
4
5
f(x)
1
2
2
1
①函数f(x)的极大值点为0,4；
②函数f(x)在[0,2]上是减函数；
③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1
答案 ①②⑤
解析 由f(x)的导函数y＝f′(x)的图象知，函数f(x)的极大值点为0,4，故①正确；
因为在[0,2]上f′(x)≤0，故函数f(x)在[0,2]上是减函数，故②正确；
由表和图象知0≤t≤5，所以③不正确；
由f(x)＝a知，因为极小值f(2)未知，所以函数y＝f(x)－a的零点个数可能为0,1,2,3,4，所以④不正确，⑤正确．
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(10分)已知函数f(x)＝aln x＋x2－3b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－4＝0.
(1)求实数a，b的值；
(2)若曲线C：y＝－x3－4b，求曲线C过点(2,4)的切线方程．
解 (1)f′(x)＝＋2x，
因为直线2x＋y－4＝0的斜率为－2，且过点(1,2)，
所以即解得
(2)由(1)知y＝＋，则y′＝x2.
设切点为(x0，y0)，则切线斜率k＝x，
故切线方程为y－－＝x(x－x0)．
由切线过点(2,4)，代入可解得x0＝2或x0＝－1，
所以切点为(2,4)或(－1,1)，
则切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
18．(12分)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋4，x＝1是函数f(x)的一个极值点．
(1)求函数f(x)的增区间；
(2)当x∈[－1,2]时，求函数f(x)的最小值．
解 (1)由题意，得f′(x)＝6x2－2ax，
f′(1)＝0，则a＝3.
f(x)＝2x3－3x2＋4，f′(x)＝6x(x－1)，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；
当x∈(0,1)时，f′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
所以函数f(x)的增区间为(－∞，0)和(1，＋∞)．
(2)当x∈[－1,2]时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
x
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－1
↗
极大值
↘
极小值
↗
8
当x＝－1时，f(－1)＝2×(－1)3－3×(－1)2＋4＝－1；
当x＝1时，f(1)＝2－3＋4＝3，
所以当x∈[－1,2]时，函数f(x)的最小值为－1.
19．(12分)设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有3个不同的实根，求实数a的取值范围．
解 (1)f′(x)＝3(x2－2)，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝，
当x<－或x>时，f′(x)>0；
当－
∴当x＝－时，f(x)取得极大值为f(－)＝5＋4，
当x＝时，f(x)取得极小值为f()＝5－4 .
(2)令g(x)＝f(x)－a，则g′(x)＝f′(x)，
由(1)可得g(x)的极大值为5＋4－a，
极小值为5－4－a，
∵g(x)＝0有3个不同的实根，故
解得5－4
20．(12分)已知函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.
(1)若对任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；
(2)若函数f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．
解 (1)f′(x)＝3x2－9x＋6
＝32－≥－，
由f′(x)≥m恒成立，可得m≤－，
即m的最大值为－.
(2)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－2)(x－1)，
由f′(x)>0，得x>2或x<1；
由f′(x)<0，得1
∴f(x)极大值＝f(1)＝－a，
f(x)极小值＝f(2)＝2－a.
∵f(x)恰有一个零点，
∴－a<0或2－a>0，
即a<2或a>.
∴a的取值范围为(－∞，2)∪.
21．(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a元(a为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为(e为自然对数的底数)万件．已知当每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件，经物价部门核定，每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元．
(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L(x)最大？并求出L(x)的最大值．
解 (1)设该产品一年的销售量为Q(x)＝，
则＝500，所以k＝500e40，
则该产品一年的销售量Q(x)＝，
则该产品一年的利润L(x)＝(x－a－30)
＝500e40·(35≤x≤41)．
(2)L′(x)＝500e40·.
①若2≤a≤4，则33≤a＋31≤35，
当35≤x≤41时，L′(x)≤0，L(x)单调递减，
所以当x＝35时，L(x)取得最大值为500(5－a)e5；
②若4
易知当x＝a＋31时，L(x)取得最大值为500e9－a.
综上所述，当2≤a≤4，且每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500(5－a)e5万元；
当4
(1)若f(x)在x＝1，x＝处取得极值．
①求a，b的值；
②若存在x∈，使得不等式f(x)－c≤0成立，求c的最小值；
(2)当b＝a时，若f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，求a的取值范围．
解 (1)①函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2a＋＋.
∵f(x)在x＝1，x＝处取得极值，
∴f′(1)＝0，f′＝0，
即
解得
②若存在x∈，使得不等式f(x)－c≤0成立，
则只需c≥f(x)min.
∵f′(x)＝－－＋＝－
＝－，
∴当x∈时，f′(x)≤0，函数f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增；
当x∈[1,2]时，f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，
∴f(x)在x＝处取得极小值，
即f ＝＋ln ＝－ln 2，
又f(2)＝－＋ln 2，
∴f(x)min＝f(2)，
∴c≥f(x)min＝－＋ln 2，
∴c∈，
故cmin＝－＋ln 2.
(2)当a＝b时，f′(x)＝.
当a＝0时，f(x)＝ln x，
则f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
当a>0时，∵x>0，
∴2ax2＋x＋a>0，
∴f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
当a<0时，
设g(x)＝2ax2＋x＋a＝2a2＋a－，
∵－>0，
故只需Δ≤0，从而得a≤－，
此时f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
综上可得，a∈∪[0，＋∞)．
