【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一1.2.3 直线的一般式方程【讲义+习题】

1.2.3　直线的一般式方程
学习目标　1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．
导语
前面我们学习了直线的点斜式、斜截式、两点式方程，经过化简后可以发现它们都是二元一次方程．现在请同学们思考一下，在平面直角坐标系中的每一条直线是否都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示呢？
一、直线的一般式方程
问题1　任何一条直线的方程都是关于x，y的二元一次方程吗？
提示　当直线与x轴不垂直时，直线的斜率存在，于是经过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线的方程为y－y1＝k(x－x1)，即kx－y＋y1－kx1＝0，此方程是关于x，y的二元一次方程．
当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在，于是经过点P1(x1，y1)的直线的方程为x＝x1，即x＋0×y－x1＝0.此方程也可看作是关于x，y的二元一次方程．
因此，平面直角坐标系中的任意一条直线的方程都可以用关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)来表示．
问题2　关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示平面直角坐标系中的一条直线吗？
提示　当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可以写成y＝－x－，它表示斜率为－，在y轴上的截距为－的直线．
当B＝0时，A≠0，方程Ax＋By＋C＝0可以写成x＝－，它表示垂直于x轴的直线．
因此，在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示一条直线．
知识梳理
方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程．
注意点：
(1)方程是关于x，y的二元一次方程．
(2)当A≠0，B＝0时，直线与x轴垂直，即直线与y轴平行或重合．
(3)当A＝0，B≠0时，直线与y轴垂直，即直线与x轴平行或重合．
例1　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是，且经过点A(5,3)；
(2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；
(3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1；
(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴．
解　(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)，
即x－y－5＋3＝0.
(2)由两点式，得直线方程为＝，
即2x＋y－3＝0.
(3)由截距式，得直线方程为＋＝1，
即x＋3y＋3＝0.
(4)y－2＝0.
反思感悟　求直线一般式方程的策略
在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．
跟踪训练1　(1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式．
①斜率是－，且经过点A(8，－6)的直线方程为________________；
②在x轴和y轴上的截距分别是和－3的直线方程为________________；
③经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为________________．
答案　①x＋2y＋4＝0　②2x－y－3＝0　③x＋y－1＝0
(2)在y轴上的截距为－6，且倾斜角为45°的直线的一般式方程为______________．
答案　x－y－6＝0
解析　设直线的斜截式方程为y＝kx＋b(k≠0)，则由题意得k＝tan 45°＝1，b＝－6，所以
y＝x－6，即x－y－6＝0.
二、直线的一般式方程化为其他形式的方程
例2　(1)已知直线Ax＋By＋C＝0(AB>0，BC>0)，则直线不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　A
解析　直线Ax＋By＋C＝0化为y＝－x－，
又AB>0，BC>0，所以－<0，－<0，则直线不经过第一象限．

(2)设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值：
①l在x轴上的截距是－3；
②l的斜率是－1.
解　①当直线在x轴上的截距为－3时，有＝－3，且m2－2m－3≠0，
解得m＝－.
②当斜率为－1时，有－＝－1，且2m2＋m－1≠0，解得m＝－2.
延伸探究
对于本例(2)中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值．
解　∵直线l与y轴平行，
∴∴m＝.
反思感悟　含参直线方程的研究策略
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不全为0.
(2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．
(3)解分式方程要注意验根．
跟踪训练2　(1)直线x－y－1＝0与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A. B．2 C．1 D.
答案　D
解析　由题意得直线与坐标轴交点为(1,0)，(0，－1)，故所求三角形的面积为.
(2)若a，b，c都大于0，则直线ax＋by＋c＝0的图象大致是图中的(　　)

答案　D
解析　直线ax＋by＋c＝0化为y＝－x－，因为a，b，c都大于0，所以－<0，－<0，所以直线ax＋by＋c＝0的图象大致是图中的D.


三、直线一般式方程的应用
例3　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．
(1)证明　将直线l的方程整理为y－＝a，
∴直线l的斜率为a，且过定点A，又点A在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限．
(2)解　直线OA的斜率为
k＝＝3.
如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3，

∴a≥3.
延伸探究　
1．本例中若直线在y轴上的截距为2，求a的值，这时直线的一般式方程是什么？
解　把方程5ax－5y－a＋3＝0化成斜截式方程为y＝ax＋.
由条件可知＝2，
解得a＝－7，
这时直线方程的一般式为7x＋y－2＝0.
2．本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？
解　(1)当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过第二象限，满足要求．
(2)当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝x－，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即解得综上，可知a≥1.
反思感悟　已知含参直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤

跟踪训练3　直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解　(1)①当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，显然不符合题意；
②当a≠－1时，令x＝0，则y＝a－2，
令y＝0，则x＝.
∵l在两坐标轴上的截距相等，
∴a－2＝，
解得a＝2或a＝0.
综上，a的值为2或0.
(2)直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2，故要使l不经过第二象限，只需解得a≤－1.
∴实数a的取值范围为(－∞，－1]．

1．知识清单：
(1)直线方程的一般式方程．
(2)直线五种形式方程的互化．
(3)直线一般式方程的应用．
2．方法归纳：分类讨论法、转化与化归．
3．常见误区：忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况．

1．在平面直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　)
A．30° B．60°
C．150° D．120°
答案　C
解析　直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°.
2．直线l：(2a－3)x－ay＋2＝0不过第二象限，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，0] B．[0,3)
C．[3，＋∞) D．(－∞，0]∪(3，＋∞)
答案　A
解析　若a＝0，则直线l的方程为x＝，该直线不过第二象限，合乎题意；若a≠0，可得直线l的斜截式方程为y＝x＋，因为直线l不过第二象限，所以解得a<0.综上所述，a≤0.
3．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)，则该直线过定点________．
答案　(－2,1)
解析　直线l：kx－y＋1＋2k＝0，
即k(x＋2)＋(－y＋1)＝0，
∴当x＋2＝0，－y＋1＝0时过定点，
∴x＝－2，y＝1，
∴该直线过定点(－2,1)．
4．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是________．
答案　3
解析　由已知得∴m＝3.


1．过点(2,1)，斜率k＝－2的直线方程为(　　)
A．x－1＝－2(y－2) B．2x＋y－1＝0
C．y－2＝－2(x－1) D．2x＋y－5＝0
答案　D
解析　根据直线方程的点斜式可得，y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
2．如果ax＋by＋c＝0表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足条件(　　)
A．bc＝0 B．a≠0
C．bc＝0且a≠0 D．a≠0且b＝c＝0
答案　D
解析　y轴方程表示为x＝0，所以a，b，c满足的条件为
b＝c＝0，a≠0.
3．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是(　　)

答案　C
解析　将l1与l2的方程化为l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a.
A中，由l1的图象可知，a<0，b<0，由l2的图象可知，b<0，a>0，两者矛盾，故A错误；
B中，由l1的图象可知，a<0，b>0，由l2的图象知，b>0，a>0，两者矛盾，故B错误；
C中，由l1的图象可知，a>0，b>0，由l2的图象可知，a>0，b>0，故C正确；
D中，由l1的图象可知，a>0，b<0，由l2的图象可知，a>0，b>0，两者矛盾，故D错误．
4．直线ax＋by＋c＝0经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(　　)
A．ab>0，bc>0 B．ab>0，bc<0
C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0
答案　B
解析　直线ax＋by＋c＝0化为y＝－x－，因为直线ax＋by＋c＝0经过第一、第二、第四象限，所以－<0，－>0，所以ab>0，bc<0.
5．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为(　　)
A．－，－1 B.，－1 C．－，1 D.，1
答案　A
解析　原方程化为＋＝1，
∴＝－1，∴b＝－1.
∴ax＋by－1＝0的斜率k＝－＝a，
∵x－y－＝0的倾斜角为60°，
∴k＝tan 120°＝－，
∴a＝－.
6．(多选)下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是(　　)
A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0 D．8x＋6y＋17＝0
答案　BD
解析　A选项直线的斜率为－，不满足条件；B，C，D选项直线的斜率为－，而C选项直线4x＋3y－42＝0经过第一象限，应舍去．
7．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________________．
答案　2x－y＋1＝0
解析　由y－3＝2(x－1)得2x－y＋1＝0.
8．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．
答案　－
解析　把(3,0)代入已知方程，
得(a＋2)×3－2a＝0，
∴a＝－6，
∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0，
令x＝0，得y＝－.
9．已知直线l：x－2y＋2m－2＝0.若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积等于4，求实数m的值．
解　直线l与两坐标轴的交点分别为(－2m＋2,0)，(0，m－1)，
则所围成的三角形的面积为
×|－2m＋2|×|m－1|，
由题意可知×|－2m＋2|×|m－1|＝4，
化简得(m－1)2＝4，解得m＝3或m＝－1.
10．已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程．
解　设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点，
∵点B在中线BE：y－1＝0上，
∴设B点坐标为(x，1)．
又∵A点坐标为(1,3)，D为AB的中点，
∴由中点坐标公式得D点坐标为.
又∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上，
∴－2×2＋1＝0，解得x＝5，
∴B点坐标为(5,1)．
同理可求出C点的坐标是(－3，－1)．
故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和
x－y＋2＝0.

11．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A. B.∪
C. D.
答案　D
解析　∵k＝－，∴－1≤k<0.
∴倾斜角的取值范围是.
12．设A(－2,2)，B(1,1)，若直线l：ax＋y＋1＝0与线段AB有交点，则a的取值范围是(　　)
A.∪[2，＋∞)
B.
C．(－∞，－2]∪
D.
答案　C
解析　由ax＋y＋1＝0得，
y＝－ax－1，
因此直线l过定点P(0，－1)，且斜率k＝－a，
如图所示，当直线l由直线PA按顺时针方向旋转到直线PB的位置时，符合题意．

易得kPB＝＝2，kPA＝＝－.
结合图形知，－a≥2或－a≤－，解得a≤－2或a≥.
13．已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________．
答案　2x＋3y＋4＝0
解析　∵两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，
∴2a1＋3b1＋4＝0,2a2＋3b2＋4＝0，
因此过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程为2x＋3y＋4＝0.
14．若直线(m＋1)x＋(m2－m－2)y＝m＋1在y轴上的截距等于1，则实数m的值为________．
答案　3
解析　由题意可知直线过点(0,1)，
代入可得m2－m－2＝m＋1，变形可得m2－2m－3＝0，解得m＝3或m＝－1，
当m＝－1时，m＋1＝m2－m－2＝0，不满足题意，所以m＝3.

15.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2)，B(－2,0)，C(1,0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为______________________.

答案　x＋4y－14＝0
解析　过点H，F分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N(图略)．
∵四边形ACGH为正方形，
∴Rt△AMH≌Rt△COA，
∵OC＝1，
∴AM＝OC＝1，又MH＝OA＝2，
∴OM＝OA＋AM＝3，
∴点H的坐标为(2,3)，同理得到F(－2,4)，
∴直线FH的方程为＝，
化为一般式方程为x＋4y－14＝0.
16.已知直线l：ax＋by－1＝0，若a∈{－1,1}，b∈{－2，－1,1}，求l不经过第二象限的概率．
解　由l：ax＋by－1＝0得y＝－x＋，
要使直线l：ax＋by－1＝0恰好不经过第二象限，
则或
即或
∵a∈{－1,1}，b∈{－2，－1,1}，
∴a＝1，b＝－2或a＝1，b＝－1，共有2个结果．
而a，b的选择共有6个结果，
则根据古典概率的概率公式，
得所求的概率P＝＝.