【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一再练一课(范围：§1.1～§1.5)【讲义+习题】

再练一课(范围：§1.1～§1.5)

一、单项选择题

1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于(　　)

A．7  B．5  C．3  D．2

答案　A

解析　由点到直线的距离公式可得

d＝＝7.

2．直线2x＋y＋1＝0与直线x－y＋2＝0的交点在(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

答案　B

解析　联立解得

∴交点(－1,1)在第二象限．

3．若直线l经过点(2a－1，－1)和(－1,1)，且与直线2x＋y＋1＝0垂直，则实数a的值为(　　)

A.  B．－  C．2  D．－2

答案　D

解析　直线l经过点(2a－1，－1)和(－1,1)，斜率为＝－，直线2x＋y＋1＝0的斜率为－2.因为直线l经过点(2a－1，－1)和(－1,1)，且与直线2x＋y＋1＝0垂直，所以－×

(－2)＝－1，解得a＝－2.

4．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)

A.   B．－

C．－   D.

答案　B

解析　依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有解得从而可知直线l的斜率为＝－.

5．一束光线从点A(1,0)处射到y轴上一点B(0,2)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是(　　)

A．x＋2y－2＝0   B．2x－y＋2＝0

C．x－2y＋2＝0   D．2x＋y－2＝0

答案　B

解析　如图所示，反射光线所在直线的倾斜角与直线AB的倾斜角互补．

∴反射光线所在直线的斜率为

k＝－kAB＝－＝2.

因此所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.

6．已知P1(a1，b1)与P2(a2，b2)是直线y＝kx＋1(k为常数)上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是(　　)

A．无论k，P1，P2如何，总是无解

B．无论k，P1，P2如何，总有唯一的一组解

C．存在k，P1，P2，使之恰有两组解

D．存在k，P1，P2，使之有无穷多组解

答案　B

解析　易知直线y＝kx＋1一定不过原点O，因为P1，P2是直线y＝kx＋1上不同的两点，所以OP1与OP2不平行，因此a1b2－a2b1≠0.所以二元一次方程组一定有唯一的一组解．

二、多项选择题

7．下列说法正确的是(　　)

A．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2

B．点(0,2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1,1)

C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为＝

D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0

答案　AB

解析　A选项，直线在坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成三角形的面积是2，故正确；

B选项，在直线y＝x＋1上，且(0,2)，(1,1)连线的斜率为－1，故正确；

C选项，需要条件y2≠y1，x2≠x1，故错误；

D选项，还有一条截距都为0的直线y＝x，故错误．

8．在平面直角坐标系中，记d为点P(cos α，sin α)到直线mx＋y－2＝0的距离，当α，m变化时，d的值可以为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　ABC

解析　直线mx＋y－2＝0过定点A(0,2)，因此点P到直线距离的最大值为PA.

∵PA＝＝，

∴当sin α＝－1时，PAmax＝＝3，当sin α＝1时，PAmin＝＝1，故选ABC.

三、填空题

9．已知点A(1,2)，B(2,1)，则线段AB的长为______，过A，B两点直线的倾斜角为________．

答案　　

解析　根据两点之间的距离公式，得线段AB的长为＝，

根据斜率公式，得过A，B两点直线的斜率为kAB＝＝－1，

又因为直线的倾斜角的范围为[0，π)，

所以过A，B两点直线的倾斜角为.

10．设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线sin A·x＋ay－c＝0与bx－

sin B·y＋sin C＝0的位置关系是________．

答案　垂直

解析　由题意可得直线sin A·x＋ay－c＝0的斜率k1＝－，直线bx－sin B·y＋sin C＝0的斜率k2＝，故k1k2＝－·＝－1，则直线sin A·x＋ay－c＝0与直线bx－sin B·y＋sin C＝0垂直．

11．已知点O(0,0)，A(4,0)，B(0,4)．若从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射后过点Q(－2,0)，则反射光线所在直线的方程为____________；若从点M(m，0)，m∈(0,4)射出的光线经直线AB反射，再经直线OB反射后回到点M，则光线所经过的路程是______．(结果用m表示)

答案　x－2y＋2＝0　

解析　设点P(1,0)关于直线AB的对称点为P′(x0，y0)，直线AB：x＋y－4＝0，

∴

解得x0＝4，y0＝3，

故P′(4,3)，又Q(－2,0)，

∴直线P′Q：y－0＝(x＋2)，即x－2y＋2＝0. 点M(m，0)，m∈(0,4)关于y轴的对称点为M1(－m，0)，

设点M(m，0)关于直线AB的对称点为M2(x1，y1)，

由

解得x1＝4，y1＝4－m，故M2(4,4－m)．

故M1M2＝＝.

12．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：2x＋y－7＝0和l2：2x＋y－5＝0上移动，则AB的中点到原点的距离的最小值为________．

答案　

解析　设AB的中点坐标为(x，y)，

因为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

所以

又A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：2x＋y－7＝0和l2：2x＋y－5＝0上移动，

所以

两式相加得2(x1＋x2)＋(y1＋y2)－12＝0，

所以4x＋2y－12＝0，即2x＋y－6＝0，即为AB的中点所在的直线方程，

因此原点到直线2x＋y－6＝0的距离，

即为AB的中点到原点的距离的最小值，

由点到直线的距离公式，

可得距离的最小值为＝.

四、解答题

13．已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．

(1)若l1∥l2，求b的取值范围；

(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．

解　(1)因为l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，

即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－2＋，因为a2≥0，所以b≤0.又因为a2＋1≠3，所以b≠－6.故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．

(2)因为l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，显然a≠0，

所以ab＝a＋，|ab|＝≥2，

当且仅当a＝±1时等号成立，

因此|ab|的最小值为2.

14.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)的直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．

解　由题意可得kOA＝tan 45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－，

所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.

设A(m，m)，B(－n，n)，

所以AB的中点C，

由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线，

得

解得m＝，所以A(，)．

又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，

所以lAB：y＝(x－1)，

即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.

15．在平面直角坐标系中，已知一动直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积比直线l在y轴上的截距和在x轴上的截距之和大1，求该三角形面积的最小值．

解　设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，

则直线l与两坐标轴的正半轴围成的面积

S＝ab，

又由面积比直线l在y轴上的截距和在x轴上的截距之和大1，

得ab＝a＋b＋1；①

因为a>0，b>0⇒a＋b＋1≥2＋1，

结合①得ab≥2＋1⇒()2－4－2≥0⇒≥2＋(≤2－舍去)；

所以ab≥(2＋)2＝10＋4，

当且仅当a＝b＝2＋时等号成立，

即当a＝b＝2＋时，该三角形面积最小，为(10＋4)＝5＋2.