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【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第3练 两条直线的交点与平面上的距离【讲义+习题】
展开第3练 两条直线的交点与平面上的距离
一、选择题
1.已知直线l1:ax+by+a=0,l2:x+ay+b=0,若l1∥l2,且这两条直线间的距离为1,则点P(a,b)到坐标原点的距离为( )
A.2 B.3 C.12 D.27
答案 A
解析 由题意可知,a≠0,因为l1∥l2,
所以a2=b,
又直线l2的方程可化为ax+a2y+ab=0,则两条直线间的距离d==1,
解得a2=3,b=3,所以点P(a,b)到坐标原点的距离为=2.
2.若两条平行直线分别经过点A(5,0),B(0,12),则它们之间的距离d满足的条件是( )
A.0<d≤5 B.0<d≤13
C.0<d<12 D.5≤d≤12
答案 B
解析 当两平行线与AB垂直时,两平行线间的距离最大,为=13,
所以0<d≤13.
3.已知直线y=kx+2k+1与直线y=-x+2的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 直线y=-x+2与两坐标轴的交点为A(0,2),B(2,0).直线y=kx+2k+1恒过定点P(-2,1),要使两直线的交点位于第一象限,只需实数k满足:kPB<k<kPA,即-<k<.
4.台球运动中反弹球技法是常见的技巧,其中无旋转反弹球是最简单的技法,主球撞击目标球后,目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出,想要让目标球沿着理想的方向反弹,就要事先根据需要确认台边的撞击点,同时做到用力适当,方向精确,这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图,现有一目标球从点A(-2,3)无旋转射入,经过直线y=1(桌边)上的点P反弹后,经过点B(5,7),则点P的坐标为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 点A(-2,3)关于y=1对称的点为A′(-2,-1),
∴直线A′B的方程为=,即8x-7y+9=0,由得
∴点P的坐标为.
5.(多选)已知点P是直线3x-4y+5=0上的动点,定点Q(1,1),则下列说法正确的是( )
A.线段PQ的长度的最小值为
B.当PQ最短时,直线PQ的方程是3x+4y-7=0
C.当PQ最短时,P的坐标为
D.线段PQ的长度可能是
答案 AC
解析 当PQ垂直于直线3x-4y+5=0时,PQ最短,Q到直线的距离为=,故A正确;故PQ的长度取值范围为,<,故D错误;设P,则kPQ==-,解得m=,故P,故C正确;此时直线PQ的方程是=,即4x+3y-7=0,故B错误.
二、填空题
6.已知△ABC中,点A(1,1),B(4,2),C(-4,6),则△ABC的面积为________.
答案 10
解析 由两点式得直线BC的方程为=,即x+2y-8=0,
由点A到直线的距离公式得BC边上的高d==,
BC两点之间的距离为
=4,
∴△ABC的面积为×4×=10.
7.已知点A(1,-2),B(5,6)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值为__________.
答案 -2或-1
解析 ∵A(1,-2),B(5,6)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,
∴=,
解得a=-2或a=-1.
8.在直线x+3y=0上求一点,使它到原点的距离和到直线x+3y+2=0的距离相等,则此点的坐标是__________.
答案 或
解析 由题意可设所求点的坐标为(-3a,a),
因为直线x+3y=0与直线x+3y+2=0平行,
所以两平行线间的距离为=,
根据题意有=,
解得a=±,
所以所求点的坐标为或.
9.若直线l1:ax+2y-10=0与直线l2:2x+(a+3)y+5=0平行,则l1与l2之间的距离为________.
答案
解析 ∵直线l1:ax+2y-10=0与直线l2:2x+(a+3)y+5=0平行,
∴=≠,解得a=1,
∴直线l1:x+2y-10=0,即2x+4y-20=0,
直线l2:2x+4y+5=0.
∴l1与l2之间的距离为d==.
三、解答题
10.已知三角形的顶点为A(1,4),B(0,-1),C(-2,1).
(1)求直线AC的方程;
(2)从下面①,②两个问题中选择一个作答.
①求点B关于直线AC的对称点D的坐标;②若直线l过点B且与直线AC交于点E,BE=4,求直线l的方程.
解 (1)三角形的顶点为A(1,4),B(0,-1),C(-2,1).
所以kAC==1,
所以直线AC的方程为y-4=1×(x-1),
整理得x-y+3=0.
(2)选①,设点D(m,n).
因为kAC=1,所以kBD=-1,直线BD的中点坐标满足直线AC的方程,
故解得
故D(-4,3).
选②,当直线斜率存在时,设经过点B的直线方程为y=kx-1,
且k≠1,若k=1,则与AC平行,所以k≠1.
设与直线AC:x-y+3=0的交点坐标为E(x,y),
所以解得
由于BE=4,
故BE==4,
解得k=0,即经过点B的直线的方程为y=-1;
当直线的斜率不存在时,直线的方程为x=0,
故与直线AC的交点E的坐标为E(0,3),又B(0,-1),所以满足BE=4,故直线l的方程为y=-1或x=0.